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1、第六部分 曲線積分與曲面積分 第 39 頁 共 39 頁 第六部分 曲線積分與曲面積分1設(shè)曲線是上半圓周 ，則。解法1 由于關(guān)于直線對稱，所以 ，從而。解法2 令，則。解法3 設(shè)曲線的質(zhì)量分布均勻，則其重心的橫坐標(biāo)為。又因為，所以。2設(shè)是上半橢圓周，是四分之一橢圓周，則(A) 。(B) 。(C) 。(D) 。 答 D解 由于關(guān)于軸對稱，所以 ，。注意到，從而可以排除(A)，(B)，(C)三個選項，或直接選出正確選項(D)。3計算 ，其中是圓周上從點經(jīng)點到點的一段。解法1 取為自變量，則的方程為，其中，所以解法2 取的參數(shù)方程為其中，所以。解法3 由于是圓周的外向單位發(fā)向量，所以此圓周的正向單位

2、切向量為。根據(jù)兩類曲線積分之間的關(guān)系，得，其中的方程為，起點為，終點為。因此。4計算，其中是圓周。解 由于圓周關(guān)于軸對稱，所以，從而因為的參數(shù)方程為 ，所以5已知曲線是平面與球面的交線，計算曲線積分 。解法1 由于曲線的方程中的變量具有輪換對稱性，所以，因此，從而 。解法2 直接化成定積分進(jìn)行計算。曲線：在平面的投影曲線是一橢圓，其方程是，即。令 ，則曲線的參數(shù)方程為，所以 。從而，因此 。6求柱面被球面包圍部分的面積。解 根據(jù)第一型曲線積分的幾何意義及對稱性，得，其中是平面曲線在第一象限中的部分。取的參數(shù)方程為 ，則，所以7計算，其中是從點經(jīng)過點到點的折線段。解 設(shè)從到；從到。根據(jù)路徑可加性

3、，得。8設(shè)是圓周，則。解1 根據(jù)格林公式，得。解2 由于是的外向單位法向量，所以就是的正向單位法向量。根據(jù)兩類曲線積分之間的關(guān)系，得。9計算，其中是圓周，順時針方向為正。解1 取的參數(shù)方程為 從到，則解2 由于具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并注意到的方向，根據(jù)格林公式得10計算，其中從點沿曲線到點，再沿直線到點。解1 設(shè)從點沿曲線到點；從點沿直線到點。則由于 ，所以 ，從而。解2 設(shè)從點沿直線到點；從點沿直線到點，與和圍成的區(qū)域記為。根據(jù)格林公式得11計算，其中是曲線從點到點的一段。解1 記，當(dāng)時，有。令是折線段，則根據(jù)格林公式易知解2 令是直線段，是圓周，足夠小。由于當(dāng)時，有，所以根據(jù)格林公式得12設(shè)

4、在全平面內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，記為包圍原點的正向簡單閉曲線，計算 。解 記，其中。由于，且 ，所以當(dāng) 時，。任取充分小，記為圓周，并取逆時針方向，根據(jù)格林公式可知，故。令：，則=。由于與的值無關(guān)，令，得 。13計算，其中為在第一象限中的部分，方向為從點到。解1 由于曲線積分與路徑無關(guān)，所以。又，所以。解2 取是從點經(jīng)點到點，根據(jù)格林公式，得14設(shè)是右半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，起點為，終點為。證明曲線積分與路徑無關(guān)，并求的值。解1 因為在右半平面內(nèi)處處成立，所以曲線積分在右半平面內(nèi)與路徑無關(guān)。取為從點經(jīng)過點到點的折線段，得解2 因為所以是在右半平面上的一個原函數(shù)，所以曲線積分在右半平面

5、內(nèi)與路徑無關(guān)，且15計算,是曲線在第一卦限中的部分,從點到點.解1 取的參數(shù)方程為 ，參數(shù)從變到，則16 計算，其中是球面與平面的交線，從軸正向看去為逆時針方向。解1 曲線在平面上的投影的方程為 ，這是一個橢圓。取的參數(shù)方程為參數(shù)從到，從而解2 由于曲線在平面上的投影曲線為 ：，所以解3 取為曲線在平面上圍成的半徑是圓盤，上側(cè)為正。根據(jù)斯托克斯公式得17計算，其中為與的交線，方向為從軸的正向往負(fù)向看去是順時針。解1 求解，得，所以的方程為，其參數(shù)方程為，參數(shù)從變到。因此解2 求解，得，所以的方程為。取，上側(cè)為正，根據(jù)斯托克斯公式，得18計算,其中是用平面切立方體所得的切痕,從軸正向看去為逆時針

6、方向.解 取為平面上由圍成的邊長是的正六邊形，方向向上。根據(jù)斯托克斯公式，得19計算，其中是平面與柱面的交線，從軸正向看去，為逆時針方向。解1 記分別為在第一、第二、第三和第四卦限中的部分，則解2 記為在平面上的投影，則的方程是，所以解3 取為上由圍成的平面區(qū)域，上側(cè)為正。根據(jù)斯托克斯公式，得解4 根據(jù)斯托克斯公式，得。而所以。20已知曲線積分與路徑無關(guān)，求的值，并求從到的積分值。解 因為函數(shù)都在整個空間上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以與路徑無關(guān)的充要條件是，即對任意的都成立。因此必有 。取是由平行于坐標(biāo)軸直線構(gòu)成的折線段，則21判斷是否是全微分式，若是，求它的原函數(shù)。解 因為函數(shù)在上存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

7、，且，所以微分形式是一個全微分式。它的所有原函數(shù)是另解 利用不定積分法求原函數(shù)的過程如下：設(shè)，則 ，由第一式得 ，所以 ，比較的兩個表達(dá)式，得 ，即，故。22已知曲線積分與路徑無關(guān)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且。求的值。解1 根據(jù)曲線積分與路徑無關(guān)，取積分路徑為從點經(jīng)過點到點的折線段，得解2 因為曲線積分與路徑無關(guān)，所以，故 ，考慮到，得 。從而23設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無關(guān)，且對任意的恒有，求的表達(dá)式。解 因為曲線積分與路徑無關(guān)，所以，因此 。從而 所以 對任意成立。由此得 ，所以。24已知，其中是繞原點一周的任意正向閉曲線，試求及.解 根據(jù)題中條件，可以證明，其中是任意一

8、條不包圍原點的封閉曲線。因此，從而，故，考慮到 ，得 。取為 ，得25設(shè)在變力的作用下，質(zhì)點由原點沿直線運(yùn)動到橢球面上第一掛限中的點處，問當(dāng)點在何處時，力作的功最大，并求出功的最大值。解 設(shè)從原點到點的直線的參數(shù)方程為 ，則?？紤]條件極值問題令 ，求解得 。根據(jù)實際情況可知，當(dāng)點在處時，力對質(zhì)點所作的功最大，功的最大值是。26設(shè)函數(shù)在有界閉域上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是的外向單位法向量。（1） 證明（2）當(dāng)，且時，證明。證明 （1）根據(jù)方向?qū)?shù)的計算公式，得，利用格林公式，得所以 （2）當(dāng)，且時，根據(jù)（1）的結(jié)果得。由于在上式非負(fù)連續(xù)函數(shù)，所以，從而 ?？紤]到函數(shù)在上的連續(xù)性和，得 ，故。27設(shè)函

9、數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明對上半平面中的任意封閉曲線都有成立的充要條件是：對任意的及上半平面中的任意點都成立。證明 設(shè)是上半平面中的任意一條封閉曲線，記是為成的平面域。根據(jù)格林公式，得因此 ?？紤]到上述積分域的任意性和被積函數(shù)的連續(xù)性，可得，即 。當(dāng)對任意的及上半平面中的任意點都成立時，在等式兩端關(guān)于求導(dǎo)，得，故，所以 。當(dāng)時，令，則所以 。由于 ，所以 ，故，從而。這樣就證明了 ，。綜上，結(jié)論得證。28計算，其中為柱面與平面所圍空間區(qū)域的表面。解 記 ，為柱面介于平面與之間的部分。根據(jù)第一型曲面積分的計算公式，并利用爾充積分的性質(zhì)，得，。對于，由于其方程為，所以不能寫成的形式，故只能考慮其在

10、或坐標(biāo)面上的投影。為了簡單起見，考慮在坐標(biāo)面上的投影域，根據(jù)題中條件易知 ，且可以分成與兩部分，其中。因為所以 。從而 。29計算，其中為球面，。解 記為球面在錐面內(nèi)的部分，則的參數(shù)方程為，所以另解 本題在直角坐標(biāo)下的計算如下：30計算，其中為球面。解 由于且，所以31計算，其中是球面在第一卦限中的部分。解1 直接化為二重積分計算。由于 ，所以 。記 ，則解2 記 ， ， 。取 ，方向向下；，方向向左； ，方向向后。根據(jù)Gauss公式，得其中是球體在第一掛限中的部分。32計算,其中 ， 是向上的法向量。解1 由于 ，所以。根據(jù)曲面關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性，得，同樣的理由，得，因此 。解2 記 ，方向

11、向下；。根據(jù)高斯公式，得33計算曲面積分，其中是由及圍成的圓柱體的表面，外側(cè)為正。解 記 ，方向向上； ，方向向下； ，方向向右； ，方向向左。則 34計算曲面積分，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面介于和之間的部分，上側(cè)為正。解1 記，則解2 設(shè)分別是曲面在三個坐標(biāo)面和上的投影區(qū)域，則，所以解3 取，下側(cè)為正，是由和圍成的區(qū)域，根據(jù)高斯公式得35計算曲面積分 ，其中為（1）；（2）。解 （1）根據(jù)高斯公式及三重積分的對稱性質(zhì)，得（2）記 ，根據(jù)高斯公式及三重積分的對稱性質(zhì)，得36計算曲面積分 ，其中。解 根據(jù)高斯公式，得由于積分域關(guān)于坐標(biāo)面對稱，所以。從而37計算，其中曲面是區(qū)域：的外表面.解 根據(jù)高斯公式，

12、得令則 ，根據(jù)三重積分的變量替換公式，得38計算 ，其中是球面，外側(cè)為正。解 因為 的正向單位法向量 ，所以根據(jù)兩類曲面積分的關(guān)系得根據(jù)第一型曲面積分的對稱性質(zhì)，得，,所以令 ，則 。39計算曲面積分 ，其中，為橢球面，為的外向單位法向量。解 記 ，則，所以令，則 ，所以當(dāng) 時，有 。取為球面 ，內(nèi)側(cè)為正，其中為足夠小的正數(shù)。在橢球面與球面圍成的區(qū)域內(nèi)，函數(shù)均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，根據(jù)高斯公式，得。又由于所以。40 設(shè)是中心在點，半徑為的球體，是的正向邊界面，是的體積，函數(shù)，均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求證。證 由于函數(shù)，均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，根據(jù)高斯公式，得。因為函數(shù)連續(xù)，所以存在點，使得，由于當(dāng)時

13、，且在點連續(xù)，所以41設(shè)函數(shù)在上半空間具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明對內(nèi)任意的封閉光滑曲面， 恒成立的充要條件是，其中。證 “”記是中以為邊界的區(qū)域，根據(jù)高斯公式得。因為 ，所以，考慮到的任意性，得。若不然，不妨設(shè)存在，使得，由于在點處連續(xù)，所以存在，當(dāng)時，有成立。取為中心在，半徑為的球域，則，這與上述結(jié)論矛盾，故。 “”由于 ，所以對內(nèi)任意的封閉光滑曲面，恒有成立。 42設(shè)對于半空間內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面，都有，其中，且，求的表達(dá)式。解 設(shè)是由曲面圍成的空間域，根據(jù)高斯公式，得利用題中條件，得，考慮到積分域任意性和被積函數(shù) 在時的連續(xù)性，可得，即 ，解得，由于 ，所以，從而。43設(shè)是以原點為頂點

14、的一張錐面，若與平面圍成一個錐體，且其底面積是，高是，體積是，求證 。證 根據(jù)題意，錐體W的表面由錐面與平面上的一塊平面組成。若記為的正向法向量，則當(dāng)時，=0；當(dāng)時，。所以根據(jù)高斯公式，得44設(shè)表示原點到橢球面上點處的切平面的距離，求證。證 橢球面上點處的切平面方程為，其中表示切平面上的任意點。根據(jù)題意可知。記 ：，則為的外向單位法向量，利用兩類曲面積分之間的關(guān)系得根據(jù)高斯公式，得所以 。45設(shè)函數(shù)連續(xù)，證明曲線積分與路徑無關(guān)。證 因為函數(shù)連續(xù)，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可知函數(shù)也連續(xù)，因此函數(shù)具有原函數(shù)。設(shè)是的一個原函數(shù)，則，所以 是一個全微分式，從而曲線積分與路徑無關(guān)。46設(shè)，求在點處方向?qū)?/p>

15、數(shù)最大的方向和方向?qū)?shù)的最大值。解 根據(jù)梯度的幾何意義，函數(shù)在一點沿其梯度方向的方向?qū)?shù)最大，且方向?qū)?shù)的最大值就是其梯度向量的長度，所以；。47設(shè)，求，。解 ；48設(shè)，求。解，所以；49求質(zhì)量均勻分布的半球面的重心。解 設(shè)半球面的半徑為，方程為。又設(shè)的重心坐標(biāo)為，則根據(jù)對稱性可知 。由于 ，所以 ，故的重心為。50求質(zhì)量均勻分布的圓柱面：關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動慣量。解 設(shè)圓柱面的密度為，由于圓柱面上任意一點到軸距離的平方是，所以要求的轉(zhuǎn)動慣量為。51設(shè)是球面，外側(cè)為正；是曲線，方向為從軸正向看是逆時針。求向量場通過曲面的通量和沿曲線的環(huán)量。解 根據(jù)通量概念，得，設(shè)是球體，利用高斯公式，得根據(jù)通量的概念，得，由于曲線的參數(shù)方程為 ，所以39