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1、固體物理總復習題一、填空題1原胞是 的晶格重復單元。對于布拉伐格子，原胞只包含 個原子。2在三維晶格中，對一定的波矢，有 支聲學波， 支光學波。3電子在三維周期性晶格中波函數(shù)方程的解具有 形式，式中 在晶格平移下保持不變。4如果一些能量區(qū)域中，波動方程不存在具有布洛赫函數(shù)形式的解，這些能量區(qū)域稱為 ；能帶的表示有 、 、 三種圖式。5按結構劃分，晶體可分為 大晶系，共 布喇菲格子。6由完全相同的一種原子構成的格子，格子中只有一個原子，稱為 格子，由若干個布喇菲格子相套而成的格子，叫做 格子。其原胞中有 以上的原子。7電子占據(jù)了一個能帶中的所有的狀態(tài)，稱該能帶為 ；沒有任何電子占據(jù)的能帶，稱為

2、；導帶以下的第一滿帶，或者最上面的一個滿帶稱為 ；最下面的一個空帶稱為 ；兩個能帶之間，不允許存在的能級寬度，稱為 。 8.基本對稱操作包括 ， ， 三種操作。 9.包含一個n重轉軸和n個垂直的二重軸的點群叫 。10.在晶體中，各原子都圍繞其平衡位置做簡諧振動，具有相同的位相和頻率，是一種最簡單的振動稱為 。11.具有晶格周期性勢場中的電子，其波動方程為 。12.在自由電子近似的模型中， 隨位置變化小，當作 來處理。13.晶體中的電子基本上圍繞原子核運動，主要受到該原子場的作用，其他原子場的作用可當作 處理。這是晶體中描述電子狀態(tài)的 模型。14.固體可分為 ， ， 。15.典型的晶格結構具有簡

3、立方結構， ， ， 四種結構。16.在自由電子模型中，由于周期勢場的微擾，能量函數(shù)將在K= 處斷開，能量的突變?yōu)?。17.在緊束縛近似中，由于微擾的作用，可以用原子軌道的線性組合來描述電子共有化運動的軌道稱為 ，表達式為 。18愛因斯坦模型建立的基礎是認為所有的格波都以相同的 振動，忽略了頻率間的差別，沒有考慮 的色散關系。19固體物理學原胞原子都在 ，而結晶學原胞原子可以在頂點也可以在 即存在于 。20晶體的五種典型的結合形式是 、 、 、 、 。21兩種不同金屬接觸后，費米能級高的帶 電，對導電有貢獻的是 的電子。22固體能帶論的三個基本假設是： 、 、 。23費米能量與 和 因素有關。二

4、、名詞解釋1聲子；2.；布拉伐格子；3. 布里淵散射；4. 能帶理論的基本假設.5費米能；6. 晶體的晶面；7. 喇曼散射；8. 近自由電子近似。9.晶體；10. 布里淵散射； 11. 晶格；12. 喇曼散射； 三、簡述題1試說明在范德瓦爾斯結合、金屬性結合、離子性結合和共價結合中，哪一種或哪幾種結合最可能形成絕緣體、導體和半導體。 2什么是聲子？聲子與光子有什么相似之處和不同之處？ 3什么是德拜溫度？它有什么物理意義？4試敘述原子能級與能帶之間的對應關系。5簡述Bloch定理，解釋簡約波矢k的物理意義，并闡述其取值原則。6試說明晶體結合的基本類型及其特點？7共價結合中為什么有”飽和性”和”方

5、向性”?8什么是晶體熱容的愛因斯坦模型和德拜模型？比較其主要結果。9什么是晶體振動光學支和聲學支格波？它們有什么本質上的區(qū)別？10近自由電子模型與緊束縛模型各有何特點？它們有相同之處？11金屬晶體的結合力是什么？一般金屬晶體具有何種結構，最大配位數(shù)為多少？12德拜模型在低溫下理論結果與實驗數(shù)據(jù)符合相對較好但是仍存在偏差，其產(chǎn)生偏差的根源是什么？13原子間的排斥作用取決于什么原因？14在能帶頂，電子的有效質量m*為什么為負值？試解釋其物理意義。15.試述固體物理學原胞和結晶學原胞的相似點和區(qū)別?16根據(jù)結合力的不同，晶體可分為幾種類型其各自的結合力分別是什么？17愛因斯坦模型在低溫下理論結果與實

6、驗數(shù)據(jù)存在偏差的根源是什么？18什么是“空穴”？簡述空穴的屬性。四、推導題1.對一維簡單格子，按德拜模型，求出晶格熱容，并討論高、低溫極限。2. 對二維簡單格子，按德拜模型，求出晶格熱容，并討論高、低溫極限。3. 推導一維單原子鏈的色散關系4. 推導一維雙原子鏈的色散關系五、計算題1.已知鋁為三價金屬，原子量為27，密度為2.7g/cm3，金屬鋁在T0 K下的費米波矢、費米能和費米速度。2.已知電子在周期場中的勢能為其中：，為常數(shù)。（1）畫出勢能曲線，并求出其平均值；（2）用近自由電子模型求出此晶體的第1及第2個禁帶寬度。3用緊束縛模型，試求解（1）面心立方點陣s態(tài)電子的緊束縛能帶;（2）證明

7、在k=0附近等能面近似為球形面，并計算有效質量m*.其中：中的,J均為已知，且在k=0附近時，即ka1時，4在一維復式格子中，如果，計算：1) 光學波頻率的最大值和最小值，聲學波頻率的最大值； 2) 相應聲子的能量、和； 3) 如果用電磁波激發(fā)光學波，要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在什么波段？ 5.已知半導體GaAs具有閃鋅礦結構，Ga和As兩原子的最近距離d2.4510-10m。試求：(1) 晶格常數(shù)；(2) 固體物理學原胞基矢和倒格子基矢；(3) 密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距；(4) 密勒指數(shù)為(110)和(111)晶面法向方向間的夾角。（20分）6.已知一維晶格中電子的能帶可寫成 式

8、中a是晶格常數(shù)，m是電子的質量，求：(1)能帶寬度()；(2)電子的平均速度。 7.利用緊束縛方法處理體心立方晶體中S態(tài)電子的能帶，求出：（1）S態(tài)電子的能帶（2）求出能帶頂和能帶底處的電子的有效質量。六、證明題 1. 試證明倒格子原胞的體積為，其中為正格子原胞的體積。 2. 證明：倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為的晶面系。 3. 試證明體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子。七、說明題 1. 原子結合成晶體時，原子的價電子產(chǎn)生重新分布，從而產(chǎn)生不同的結合力，試分析說明離子性、共價性、金屬性和范德瓦耳斯性結合力的特點。2. 布洛赫電子論作了哪些基本近似？它與金屬自由電子論相比有哪些改進？固體物理總復

9、習題答案一、填空題1最?。? 23；3n3 3；4禁帶（帶隙）；擴展能區(qū)圖式法；簡約布里淵區(qū)圖式法；周期性能區(qū)圖式法57；14 6布喇菲；復式；兩個 7滿帶；空帶；價帶；導帶；帶隙8. 平移；旋轉；反演9. 雙面群10.簡正振動 11. 12. 周期勢場；微擾 13. 微擾；緊束縛 14. 晶體；非晶體；準晶體 15. 體心立方；面心立方；六角密排 16. K= ； 17. 原子軌道線性組合法； 18. 頻率；格波19.頂點；面心、體心；20. 離子結合；共價結合；金屬結合；范德瓦爾斯結合；氫鍵結合 21正；費米面附近 22. 絕熱近似；單電子近似；周期場近似23. 電子密度；溫度二、名詞解釋

10、1晶格振動中格波的能量量子。每個振動模式的能量均以為單位，能量遞增為的整數(shù)倍聲子的能量，一個格波就是一個振動模式，對應一種聲子。2由確定的空間格子。3當光與聲學波相互作用，散射光的頻率移動很小，大約在赫，稱為布里淵散射。4（1）絕熱近似：將固體分開為電子系統(tǒng)及離子實系統(tǒng)的一種近似方法；（2）單電子近似（自洽場近似）：利用哈特里 ?？朔椒▽⒍嚯娮訂栴}歸結為單電子問題；（3）周期場近似：假定單電子勢場具有與晶格同樣的平移對稱性。5電子按泡利不相容原理，能量從低至高填充，所達到的最高能級。6在布拉伐格子中作一族平行的平面，這些相互平行、等間距的平面可以將所有的格點包括無遺，這些相互平行的平面稱為晶體

11、的晶面。7當光與光學波相互作用，頻率移動大約在赫，稱為喇曼散射。8假定周期場的起伏比較小，作為零級近似，可以用勢場的平均值代替，把周期起伏做為微擾來處理。9晶體是由完全相同的原子、分子或原子團在空間有規(guī)則地周期性排列構成的固體材料。10當光與聲學波相互作用，散射光的頻率移動很小，大約在赫，稱為布里淵散射。11晶體中的原子是規(guī)則排列的，用幾組平行直線連接晶體中原子形成的網(wǎng)絡，稱為晶格。12當光與光學波相互作用，頻率移動大約在赫，稱為喇曼散射。三、簡述題1試說明在范德瓦爾斯結合、金屬性結合、離子性結合和共價結合中，哪一種或哪幾種結合最可能形成絕緣體、導體和半導體。答：離子晶體主要依靠正負離子之間的

12、靜電庫侖力而結合，結合力較強，結構甚為穩(wěn)定，結合能較大，因此，導電性能差，這種結合可能形成半導體和絕緣體。共價結合的晶體為原子晶體，是由兩原子之間一對自旋相反的共有化電子形成的，其結合力較強，導電性能差，這種結合可能形成半導體和絕緣體。金屬性結合的晶體，原子失去價電子而成為離子實，價電子為全體離子實所共有，金屬性結合就是價電子與離子實之間的相互作用而形成的，結合能較小，易形成導體。范德瓦爾斯結合的晶體為分子晶體，這種結合是一種弱的結合，電離能大，易形成絕緣體。2什么是聲子？聲子與光子有什么相似之處和不同之處？答：晶格振動的能量是量子化的，把晶格振動能量的量子稱為聲子。聲子與光子相類似，凡是應用

13、到光子上的理論，幾乎都可以應用到聲子上，相同之處是它們都是波色子，碰撞過程中能夠被產(chǎn)生、或被消滅，能量的交換是一份一份的，即能量是量子化的。不同之處是聲子只代表振動的機械狀態(tài)，而不具有動量。光子可以在真空中傳播，而聲子只能在介質中傳播。3什么是德拜溫度？它有什么物理意義？答：德拜彈性波模型的截止頻率 按關系式換算得到的溫度稱為德拜溫度。熱容量的特征完全由德拜溫度確定，它近似地代表經(jīng)典比熱理論適用的高溫范圍同低溫適用的低溫范圍的分界溫度。可以粗略地指示出晶格振動頻率的數(shù)量級。4試敘述原子能級與能帶之間的對應關系。答：原子能級與能帶之間存在著兩種對應關系，一是簡單的一一對應，原子的各不同能級在固體

14、中將產(chǎn)生一系列相應的能帶，低能級的能帶較窄，高能級的能帶較寬。二是在形成晶體的過程中，不同原子態(tài)之間有可能相互混和，使對應關系變的比較復雜，可認為主要是由幾個能級相近的原子態(tài)相互結合而形成能帶，能帶發(fā)生了明顯的重疊。5簡述Bloch定理，解釋簡約波矢k的物理意義，并闡述其取值原則。答：在晶體周期性勢場中運動的電子的波函數(shù)是按晶格周期調幅的平面波,即電子的波函數(shù)具有如下形式其中k為電子的波矢,Rn為格矢，上述理論稱為布洛赫定理。平移算符和能量算符是對易算符，具有相同的本征態(tài)，為了使平移算符在波矢k的某個范圍內，一個本征值對應于一個波函數(shù)，我們把波矢限制在范圍內，這一區(qū)域稱為簡約布里淵區(qū)。在此范圍

15、內的波矢，我們稱為簡約波矢。6試說明晶體結合的基本類型及其特點？答： 晶體中的原子之所以能夠結合成具有一定幾何結構的穩(wěn)定晶體，是由于原子之間存在著結合力，而這種結合力與原子的結構有關，不同類型的原子之間具有不同性質的結合力，由于結合力的性質不同，晶體會具有不同類型的結合。一般晶體的結合可以概括為離子性結合、共價結合、金屬性結合和范德瓦爾斯結合四種基本形式。 離子晶體的典型晶格中，正、負離子相間排列，作用力的總效果為庫侖引力，具有結構很穩(wěn)定、導電性能差、熔點高、硬度高、膨脹系數(shù)小的特點；共價結合的晶體是一對近鄰原子相互靠近，波函數(shù)交疊，形成共價鍵，具有飽和性和方向性；金屬性結合是共有化的價電子與

16、離子實之間的價鍵結合，結構密排，具有熔點高、硬度 高、導電、導熱性能好、無飽和性和方向性等特點；范德瓦爾斯結合產(chǎn)生在原來穩(wěn)定電子結構的原子或分子之間，結合后仍保持原來的電子結構，具有結合力小、熔 點很低、硬度很小的特點。7共價結合中為什么有”飽和性”和”方向性”?答: 設N為一個原子的價電子數(shù)目，對于A,A,A,A族元素，價電子殼層一共有8個量子態(tài)，最多能接納(8-N)個電子，形成（8-N）個共價鍵。這就是共價結合的“飽和性”。共價鍵的形成只能在特定的方向上，這些方向是配對電子波函數(shù)的對稱軸方向，在這個方向上交迭的電子云密度最大。這就是共價結合的“方向性”。8什么是晶體熱容的愛因斯坦模型和德拜

17、模型？比較其主要結果。答： 愛因斯坦模型是假設晶體中的所有原子都以相同的頻率 ，作相互獨立的振動。德拜模型是把晶體看作各向同性的連續(xù)介質，格波視為彈性波，色散關系為直線。愛因斯坦模型忽略了各格波的頻率差別，假設過于簡單，理論值的關系與實驗值不符。德拜模型在低溫時，熱容決定于最低頻率的振動，理論值與實驗值相符。9什么是晶體振動光學支和聲學支格波？它們有什么本質上的區(qū)別？答：在一維雙原子的簡單復式晶格中，求解原子的運動方程。對應于每一個值，都有頻率和的兩類振動，且 ，對應于的格波稱為光學分支的格波。對應于的格波稱為聲學分支的格波。對于光學分支的格波，相鄰兩不同原子的振動方向相反。而對于聲學分支的格

18、波，相鄰兩原子的振動方向相一致，且在長波情況下，聲學分支的格波與彈性波相一致。10近自由電子模型與緊束縛模型各有何特點？它們有相同之處？解：所謂近自由電子模型就是認為電子接近于自由電子狀態(tài)的情況，而緊束縛模型則認為電子在一個原子附近時，將主要受到該原子場的作用，把其它原子場的作用看成微擾作用。這兩種模型的相同之處是：選取一個適當?shù)木哂姓恍院屯陚湫缘牟悸搴詹ㄐ问降暮瘮?shù)集，然后將電子的波函數(shù)在所選取的函數(shù)集中展開，其展開式中有一組特定的展開系數(shù)，將展開后的電子的波函數(shù)代入薛定諤方程，利用函數(shù)集中各基函數(shù)間的正交性，可以得到一組各展開系數(shù)滿足的久期方程。這個久期方程組是一組齊次方程組，由齊次方程組

19、有解條件可求出電子能量的本征值，由此便揭示出了系統(tǒng)中電子的能帶結構。11答：金屬晶體的結合力為原子實與電子云之間的靜電庫侖力，其一般具有面心立方結構及六角密積結構，配位數(shù)為12。12答：它忽略了晶體的各向異性；忽略了光學波和高頻聲學波對熱容的貢獻，光學波和高頻聲學波是色散波，它們的關系式比彈性波的要復雜的多。13答：兩部分原因：帶正電荷的原子核之間的庫侖排斥力； 原子或正負離子的閉合電子殼層相互交疊時，由泡利不相容原理而產(chǎn)生的排斥力。14答：晶體中的電子除受外場力，還和晶格相互作用，設外場力為F，晶格對電子的作用力為 ，電子的加速度， 的具體形式難以得知，為了不顯含 ，則只有，晶格作用越小，有

20、效質量與真實質量相差越小，當電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時，與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對電子散射作用最強烈。使得加速度與外場力的方向相反，有效質量為負。15答： 固體物理學原胞是只考慮周期性的最小的重復單元，而晶胞是同時計及周期性與對稱性的盡可能小的重復單元。兩者都體現(xiàn)了晶體結構的周期性，但是結晶學原胞還要考慮到對稱性，所以其體積往往是固體物理學原胞的幾倍。固體物理學原胞原子都在頂點，而結晶學原胞原子可以在頂點也可以在面心、體心即存在于原胞內部。16答：晶體根據(jù)結合力不同分為五種晶體類型。離子晶體（正負離子間靜電庫侖力）分子晶體（范德瓦爾斯力）金屬晶體（電子云和原子實之間的靜電庫侖力）共價晶體

21、（共價鍵）氫鍵晶體（氫鍵作用）17答:愛因斯坦模型建立的基礎是認為所有的格波都以相同的頻率振動，忽略了頻率間的差別，沒有考慮格波的色散關系。18答：空穴：空缺一個狀態(tài)的能帶的電流猶如由一個帶正電荷e，具有空缺態(tài)電子的速度的“粒子”對電流的貢獻。這一粒子稱為“空穴”空穴的屬性: 帶正電荷e 速度為缺失狀態(tài)電子的速度，有效質量為正，數(shù)值等于該電子有效質量的絕對值。四、推導題1. 解：德拜模型格波為彈性波，色散關系為：， 內包含的振動模式數(shù)目為： 模式密度： 利用： N是原子總數(shù)得 晶格熱容： 令, 其中 2.解：德拜模型格波為彈性波，色散關系為，在二維波矢空間內，格波等頻線是一個個圓周，在區(qū)間內波

22、矢數(shù)為： 模式密度： 二維介質由兩支格波，總模式密度： 格波振動能： 晶格熱容： 其中：令, 其中 高溫極限：，與經(jīng)典理論一致。 低溫極限： （常數(shù)） 在低溫下二維晶格的熱容量與溫度的平方成正比。 3. 解：只考慮臨近原子相互作用，第n個原子所受的總作用力 第n個原子的運動方程 設解的形式為： 運動方程 4. 解：質量為M的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 。 質量為m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 。 運動方程為：； 設方程解的形式：和 因為，復式格子中不同原子振動的振幅一般來說是不同的。將帶回到運動方程得到： 若A、B有非零的解，系數(shù)行列式滿足： 五、計算題1解：由題設可得

23、金屬鋁的電子濃度為： 2.解：（1）該周期場的勢能曲線如下所示： UO其勢能平均值為： （2）根據(jù)近自由電子模型，此晶體的第1及第2個禁帶寬度為 其中和表示周期場的展開成傅立葉級數(shù)的第一和第二個傅立葉系數(shù)。于是有故此晶體的第1及第2個禁帶寬度為 3. 解：（1）利用緊束縛模型計算能帶，對于面心立方點陣，S態(tài)電子波函數(shù)來說，交迭積分相等，原點的最近鄰位于（3分）將最近鄰的12個格點的格矢代入公式：（2）在k1的極限下，將等用泰勒級數(shù)展開取一級近似，得顯然，與k的方向無關，即等能面為球形。有效質量4. 解：1）聲學波的最大頻率：， 光學波的最大頻率：， 光學波的最小頻率： 2）相應聲子的能量， ，

24、 ， 3）因為，對應電磁波的波長為 要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在近紅外線波段 5. 解：(1)由題意可知，GaAs的晶格為復式面心立方晶格，其原胞包含一個Ga原子和一個As原子，其中Ga原子處于面心立方位置上，而As原子則處于立方單元體對角線上距離Ga原子1/4體對角線長的位置上，如左圖所示： 由此可知： Ga原子 As原子 故 = (2)由于GaAs的空間點陣為面心立方結構，故其固體物理學原胞基矢為： 其倒格子基矢為： (3)密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距為： (4)根據(jù)倒格子矢的性質可知，密勒指數(shù)為(110)和(111)晶面法向方向間的夾角即為倒格子矢和之間的夾角，設為，則有： 6.

25、 解（1） ， 當， ， 當， 能帶寬度： （2） 7. 解：（1）根據(jù)緊束縛模型，S帶的能量： 為最近鄰格點對體心立方，最近鄰的原子有8個，即 代入上式，有：+ （2）根據(jù)在 即 處， 最小為能帶底 在處， 最大為能帶頂 在帶底處，有 在帶頂處，有 六、證明題1.證明：倒格子基矢為： ； 倒格子體積： 2. 證明：離原點最近的晶面如下圖所示：ABC是晶面族（h1 h2 h3）離原點最近的晶面， 所以與晶面ABC正交，也即與晶面指數(shù)為（h1 h2 h3）的晶面族正交。3.證明：我們知體心立方格子的基矢為： 根據(jù)倒格子基矢的定義，我們很容易可求出體心立方格子的倒格子基矢為： 其中 由此可知，體心

26、立方格子的倒格子為一面心立方格子。 面心立方格子的基矢為： 倒格子基矢為： 其中由此可知，面心立方格子的倒格子為一體心立方格子。 七、說明題1.解：答題要點： 離子性結合：正、負離子之間靠庫侖吸引力作用而相互靠近，當靠近到一定程度時，由于泡利不相容原理，兩個離子的閉合殼層的電子云的交迭會產(chǎn)生強大的排斥力。當排斥力和吸引力相互平衡時，形成穩(wěn)定的離子晶體。 共價性結合：靠兩個原子各貢獻一個電子，形成所謂的共價鍵。 金屬性結合：組成晶體時每個原子的最外層電子為所有原子所共有，因此在結合成金屬晶體時，失去了最外層（價）電子的原子實“沉浸”在由價電子組成的“電子云”中。在這種情況下，電子云和原子實之間存

27、在庫侖作用，體積越小電子云密度越高，庫侖相互作用的庫侖能愈低，表現(xiàn)為原子聚合起來的作用。 范德瓦耳斯性結合：惰性元素最外層的電子為8個，具有球對稱的穩(wěn)定封閉結構。但在某一瞬時由于正、負電中心不重合而使原子呈現(xiàn)出瞬時偶極矩，這就會使其它原子產(chǎn)生感應極矩。非極性分子晶體就是依靠這瞬時偶極矩的互作用而結合的。2.解：答題要點：布洛赫電子論作了3條基本假設，即絕熱近似，認為離子實固定在其瞬時位置上，可把電子的運動與離子實的運動分開來處理；單電子近似，認為一個電子在離子實和其它電子所形成的勢場中運動； 周期場近似，假設所有電子及離子實產(chǎn)生的場都具有晶格周期性。布洛赫電子論相比于金屬自由電子論，考慮了電子和離子實之間的相互作用，也考慮了電子與電子的相互作用。