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1、學(xué)道教育初中數(shù)學(xué)圓一、圓的概念集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合； 3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）； 3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線； 4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線； 5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直

2、線距離都相等的一條直線。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓上；3、點(diǎn)在圓外 點(diǎn)在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離 無交點(diǎn)；2、直線與圓相切 有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交 有兩個(gè)交點(diǎn)；四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1） 無交點(diǎn) ；外切（圖2） 有一個(gè)交點(diǎn) ；相交（圖3） 有兩個(gè)交點(diǎn) ；內(nèi)切（圖4） 有一個(gè)交點(diǎn) ；內(nèi)含（圖5） 無交點(diǎn) ； 五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧； （3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，

3、垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧 以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即： 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：； 弧弧七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：和是弧所對(duì)的圓心角和圓周角2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同

4、圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等??；即：在中，、都是所對(duì)的圓周角 推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在中，是直徑 或 是直徑 推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注意：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。 即：在中， 四邊是內(nèi)接四邊形 九、切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，

5、二者缺一不可 即：且過半徑外端 是的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。 推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：、是的兩條切線 ；平分十一、圓冪定理1、相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在中，弦、相交于點(diǎn)， 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在中，直

6、徑， 2、切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在中，是切線，是割線 3、割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等（如右圖）。即：在中，、是割線 十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：、相交于、兩點(diǎn) 垂直平分十三、圓的公切線兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式：（1）公切線長(zhǎng)：中，；（2）外公切線長(zhǎng)：是半徑之差； 內(nèi)公切線長(zhǎng)：是半徑之和 十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形 在中是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在

7、中進(jìn)行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：；（2）扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑 ：扇形弧長(zhǎng) ：扇形面積2、圓柱： （1）圓柱側(cè)面展開圖 =（2）圓柱的體積：3、圓錐側(cè)面展開圖（1）=（2）圓錐的體積：十六、內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。（2）ABC中，C=90，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r= 。 B OA D（3）SABC=，其中a，b，c是邊長(zhǎng)，r是內(nèi)切圓的半徑。（4）弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是

8、圓的弦。 如圖，BC切O于點(diǎn)B，AB為弦，ABC叫弦切角，ABC=D。 C 考點(diǎn)一：與圓相關(guān)概念的應(yīng)用利用與圓相關(guān)的概念來解決一些問題是必考的內(nèi)容，在復(fù)習(xí)中準(zhǔn)確理解與圓有關(guān)的概念，注意分清它們之間的區(qū)別和聯(lián)系.1.運(yùn)用圓與角（圓心角，圓周角），弦，弦心距，弧之間的關(guān)系進(jìn)行解題【例1】 已知：如圖所示，在ABO中，AOB=90，B=25，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓交AB于D，求弧AD的度數(shù).【例2】 如圖，A、B、C是O上的三點(diǎn)，AOC=100，則ABC的度數(shù)為（ ）. . 30. 45 . 50. 60 2.利用圓的定義判斷點(diǎn)與圓，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【例3】 已知O的半徑為3cm，A

9、為線段OM的中點(diǎn)，當(dāng)OA滿足： （1）當(dāng)OA=1cm時(shí)，點(diǎn)M與O的位置關(guān)系是 . （2）當(dāng)OA=1.5cm時(shí)，點(diǎn)M與O的位置關(guān)系是 . （3）當(dāng)OA=3cm時(shí)，點(diǎn)M與O的位置關(guān)系是 .【例4】 O的半徑為4，圓心O到直線l的距離為3，則直線l與O的位置關(guān)系是（ ）. . 相交. 相切. 相離. 無法確定【例5】 兩圓的半徑分別為3cm和4cm，圓心距為2cm，那么兩圓的位置關(guān)系是_.3.正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算【例6】 已知正六邊形的周長(zhǎng)為72cm，求正六邊形的半徑，邊心距和面積.4.運(yùn)用弧長(zhǎng)及扇形面積公式進(jìn)行有關(guān)計(jì)算【例7】 如圖，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB為直徑的半圓O與DC

10、相切于點(diǎn)E，則陰影部分的面積為 （結(jié)果保留）.5.運(yùn)用圓錐的側(cè)面弧長(zhǎng)和底面圓周長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算【例8】 已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)與底面半徑長(zhǎng)的比是 .考點(diǎn)二：圓中計(jì)算與證明的常見類型1.利用垂徑定理解題 垂徑定理及其推論中的三要素是：直徑、平分、過圓心，它們?cè)趫A內(nèi)常常構(gòu)成圓周角、等分線段、直角三角形等，從而可以應(yīng)用相關(guān)定理完成其論證或計(jì)算.【例1】 在O中，弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)P，夾角為30，且分直徑為15兩部分，AB=6，則弦CD的長(zhǎng)為 . . 2. 4. 4. 22.利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”解題 “直徑所對(duì)的圓周角是直角”是非常重要的定理，在解與圓有關(guān)的問

11、題時(shí)，常常添加輔助線構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，以便利用上面的定理.【例2】 如圖，在O的內(nèi)接ABC中，CD是AB邊上的高，求證：ACD=OCB.3.利用圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角關(guān)系解題 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，這是圓內(nèi)接四邊形的重要性質(zhì)，也揭示了確定四點(diǎn)共圓的方法.【例3】 如圖，四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，E為DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若C45，AB，則點(diǎn)B到AE的距離為_.4. 判斷圓的切線的方法及應(yīng)用 判斷圓的切線的方法有三種：（1）與圓有惟一公共點(diǎn)的直線是圓的切線；（2）若圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，則該直線是圓的切線；（3）經(jīng)過半徑外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線. 【例4】 如圖，O

12、的直徑AB=4，ABC=30，BC=，D是線段BC的中點(diǎn). （1）試判斷點(diǎn)D與O的位置關(guān)系，并說明理由. （2）過點(diǎn)D作DEAC，垂足為點(diǎn)E，求證：直線DE是O的切線. 【例5】 如圖，已知O為正方形ABCD對(duì)角線上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑的O與BC相切于M，與AB、AD分別相交于E、F，求證CD與O相切. 【例6】 如圖，半圓O為ABC的外接半圓，AC為直徑，D為劣弧上一動(dòng)點(diǎn)，P在CB的延長(zhǎng)線上，且有BAP=BDA.求證：AP是半圓O的切線.題庫(kù)1. 選擇題：1. O的半徑為R，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，并且dR，則P點(diǎn) A.在O內(nèi)或圓周上 B.在O外 C.在圓周上 D.在O外或圓周上

13、2. 由一已知點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的最大距離為5，最小距離為1，則圓的半徑為 A、2或3 B、3 C、4 D、2 或43.如圖，O中，ABDC是圓內(nèi)接四邊形，BOC=110，則BDC的度數(shù)是A.110 B.70 C.55 D.1254.在O中，弦AB垂直并且平分一條半徑，則劣弧AB的度數(shù)等于A.30 B.120 C.150 D.605.直線上有一點(diǎn)到圓心O的距離等于O的半徑，則直線與O的位置關(guān)系是、相離、相切、相切或相交、相交6、如圖，切O于，交O于點(diǎn)、，若PA5，PBB，則的長(zhǎng)是、10、5、 、7如圖，某城市公園的雕塑是由3個(gè)直徑為1m的圓兩兩相壘立在水平的地面上，則雕塑的最高點(diǎn)到地面的距離為A

14、B. C. D. 8、已知兩圓的圓心距是9，兩圓的半徑是方程2x217x+35=0的兩根，則兩圓有條切線。A、 1條 B、2條 C、3條 D、4條9、如果等腰梯形有一個(gè)內(nèi)切圓并且它的中位線等于20cm，則梯形的腰長(zhǎng)為、 、 、 、10、如圖，O1和O2相交于A、B兩點(diǎn)，且A O1、A O2分別是兩圓的切線，A是切點(diǎn)，若O1的半徑r=3，O2的半徑R=4，則公共弦AB的長(zhǎng)為A、2 B、4.8 C、3 D、2.411、水平放置的排水管（圓柱體）截面半徑是1cm，水面寬也是1cm，則截面有水部分（弓形）的面積是A、 B、 C、 D、 或 二. 填空題：12.6cm長(zhǎng)的一條弦所對(duì)的圓周角為90，則此圓

15、的直徑為 。 13.在O中，AB是直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，若 ，則CE=DE（只需填一個(gè)適合的條件）。14.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ABC=521，則D= 。15.若三角形的外心在它的一條邊上，那么這個(gè)三角形是 。16.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于E點(diǎn)，AB=120，CD=70則AEB= 。 17已知兩個(gè)圓的半徑分別為8 cm和3 cm，兩個(gè)圓的圓心距為7 cm，則這兩個(gè)圓的外公切線長(zhǎng)為 。18.如圖，O中，弦AB弦CD于E，OFAB于F，OGCD于G，若AE=8cm，EB=4cm，則OG= cm。19. 已知圓錐的母線長(zhǎng)為5厘米，底面半徑為3厘米，則它的側(cè)面積為 。四.解答題20.如圖在ABC中，C=90，點(diǎn)O為AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的半圓切AC于E，交AB于D，AC=12，BC=9，求AD的長(zhǎng)。21.如圖在O中，C為ACB的中點(diǎn)，CD為直徑，弦AB交CD于點(diǎn)P，又PECB于E，若BC=10，且CEEB=32，求AB的長(zhǎng) 22.已知：如圖，A是以EF為直徑的半圓上的一點(diǎn)，作AGEF交EF于G，又B為AG上一點(diǎn)，EB的延長(zhǎng)線交半圓于點(diǎn)K，求證：23.已知：如圖，ABC內(nèi)接于O，AE是O的直徑，CD是ABC中AB邊上的高，求證：ACBC=AECD11