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1、第三章 地震波動方程現(xiàn)在，我們用前一章提出的應力和應變理論來建立和解在均勻全空間里彈性波傳播的地震波動方程。這章涉及矢量運算和復數(shù)，附錄2對一些數(shù)學問題進行了復習。3.1 運動方程（Equation of Motion）前一章考慮了在靜力平衡和不隨時間變化情況下的應力、應變和位移場。然而，因為地震波動是速度和加速度隨時間變化的現(xiàn)象，因此，我們必須考慮動力學效應，為此，我們把牛頓定律（）用于連續(xù)介質。3.1.1一維空間之振動方程式質點面上由于應力差的存在而使質點產(chǎn)生振動。如圖1-3所示，考慮一薄棒向x軸延伸，其位移量為u：Fig3-1則其作用力為“應力”X“其所在的質點面積”，所以其兩邊的作用力

2、差為慣量inertia為所以得出. （3-1）其中為密度density，為應力stress=。3-1式表示，物體因介質中的應力梯度stress gradient而得到加速度。如果與E為常數(shù)，則3-1式可寫為 （3-2）其中運用分離變量法求解（3-2）式，設u=F(x)T(t),(3-2)式可以變?yōu)樵O則可得：考慮歐拉公式： （3-3）其中A,B,C,D為根據(jù)初始條件和邊界條件確定的常數(shù)?？紤]到可正可負，方程式的解具有的形式，其中f及g為波的函數(shù)，以c的波行速度向+x與-x方向傳遞。我們可以采用如下程序模擬地震波的傳播。平面波在均勻介質里沿方向傳播，剪切波的齊次微分方程可表達為：這里是位移。對10

3、0公里的波長和假定的情況，我們寫出用有限差分法解這方程的計算機程序。用長度間距，時間間距秒。假定在（50公里）震源時間函數(shù)的形式為： 05秒用（0公里）的應力自由邊界條件和（100公里）的固定邊界條件。用有限差分圖解來近似二次導數(shù)：以4秒的間隔畫出1-33秒的圖。M = moviein(101);dx=1;dt=0.1;tlen=3;beta=4; %初始化變量,tlen為震源持續(xù)時間，beta為波傳播的速度u1=zeros(101,1);u2=u1;u3=u1;%u1為前一個時刻的各點的位移，u2為當前時刻的位移，u3為下一個時刻的位移值，開始均假定為零t=0;jj=0;while (t=3

4、3) %模擬的最長時間為33秒 for ii=2:100 rhs=beta2*(u2(ii+1)-2*u2(ii)+u2(ii-1)/dx2; %方程的解 u3(ii)=dt2*rhs+2*u2(ii)-u1(ii); %對時間求導數(shù) end %左邊為自由邊界條件，右邊為固定邊界條件 u3(1)=u3(2); %左邊為自由邊界條件 u3(101)=0.0; %右邊為固定邊界條件 %左右兩邊為自由邊界條件% u3(1)=u3(2); %左邊為自由邊界條件% u3(101)=u3(100); %右邊為自由邊界條件 %左右兩邊為固定邊界條件% u3(1)=0.0; %左邊為固定邊界條件% u3(10

5、1)=0.0; %右邊為固定邊界條件 if(t=tlen) u3(51)=(sin(pi*t/tlen).2; %地震震源時間函數(shù) end for ii=1:101 u1(ii)=u2(ii);u2(ii)=u3(ii); %時刻的更新 end plot(u2); %繪制目前的波形圖 ylim(-1.2 1.2); M(:,jj+1) = getframe; %獲得當前的圖像 t=t+dt; %時間延長endmovie(M) %演示波形傳播3.1.2三維空間之振動方程式推導三維空間之振動方程式的過程，與上節(jié)中所采用的一維空間討論方式類似，如圖3-2所表示，先探討在x方向之位移量u：Fig3-2

6、在y-z面上的作用力差為：在x-z面上的作用力差為：在x-y面上的作用力差為：慣量為：得出. 3-4其中xx、yx及zx分別為stress tensor在xxx面方向、x力方向，yxy面方向、x力方向及zxz面方向、x力方向方向的分量。注意，在本講義中有關stress tensor的兩個下標indexes之定義，依序為面的方向與力的方向。將xx、yx及zx與其對應的應變之關系代入3-4式可推導得出三維空間之振動方程式如下：. 3-5a其中及為常數(shù)，而為Laplacian operator，代表。以相同的方法，可以得出在y及z方向的振動方程式，若其位移量分別為v與w，則其相對應之振動方程式可分別

7、表示如下：. 3-5b. 3-5c若以向量形式來統(tǒng)一表示3-5a、b、c式，可改寫如下：. 3-6其中為位移向量，在x、y與z方向的位移分量分別為u、v與w。其中為體力，只有在研究震源時，才考慮該體力。這是構成許多地震學理論基礎的基本方程，稱之為連續(xù)介質方程或運動方程。體力通常包括重力項和震源項。在正常模型地震學中，重力項是頻率很低時的一個重要因子，但對所觀測到的典型波長范圍，即在體波和面波的計算中，通?？杀缓雎?。在這本書后面我們將考慮震源項。在沒有體力的情況下，有齊次運動方程： （3-7）在場論中考慮到： （3.8）將其變?yōu)楦Ｓ玫男问剑矗?（3.8）將這個式子代入（3.12）得到：上式?jīng)Q

8、定了在震源區(qū)以外，地震波的傳播。解真實地球模型的上述方程是地震學的重要部分，這樣的解給出了離震源某一距離的特定地點預期的地面運動，通常稱為合成地震圖。3.1.3體波縱波與橫波之振動方程式首先，我們考慮由介質伸縮所衍生的質點體積應變之振動方程式。從上節(jié)所描述的單一方向x、y、z上之位移量u、v、w所導出的振動方程式，可以進一步地推求體積應變所引發(fā)的振動方程式，由的基本定義可以很自然的聯(lián)想到分別將3-4a、3-4b以及3-4c三式分別對x、y與z微分之后再相加，忽略體力，即可得到下式： 3-7另外，考慮剪切應變可能產(chǎn)生的振動方程式。若將3-5c式對y微分、3-5b式對z微分，然后相減，忽略體力可得

9、到下式：. 3-7其中括弧內(nèi)的項就是質點運動繞x軸的扭轉角度。yFig3-3參考圖3-3，一個質點Py、z向逆時針方向扭轉到Py、z，扭轉角度為x，若其扭轉半徑為r，根據(jù)幾何關系可得到：，其位移形變?yōu)閷⑵浞謩e對y及z微分且相加，得出同理得到和，所以質點扭轉的運動方程式可寫為： 3-83-6式與3-8式可用通式描述如下：. 3-9其為典型之波動方程式。根據(jù)對3-8式而言，可得出. 3-10對3-6式而言，可得出. 3-113-10可視為縱波亦稱為P波，因其質點運動方向與波的傳播方向相同如圖3-4。 質點運動方向 波傳方向Fig3-41-24視為橫波亦稱為S波，因為扭轉應變，其質點的轉動方向與波的

10、傳播方向成正交。S波依其質點振動方向的不同可分為SV及SH，如圖3-5所示。 波傳方向Fig3-5綜合以上所得，在完全彈性介質中，當其受外力作用時，產(chǎn)生兩種波相：縱波與橫波。由前節(jié)所述之各彈性系數(shù)的關系，我們可將3-10式以及3-11式寫為： ； 其他彈性系數(shù)與速度的關系如下：. 3-12 3-13 3-14 3-15其中3-13式可化為. 3-16在地函內(nèi)部，大部分的泊松比接近于1/4。若=1/4，則 ， 而且若=1/2，即介質為純液體，則、及皆為零地震所產(chǎn)生之彈性波，穿過地球內(nèi)部，藉由彈性波傳播所產(chǎn)生的速度變化，參考彈性理論以及彈性系數(shù)關系，我們可以探索地球內(nèi)部的情況。 3.1.4 地震波

11、的勢位移往往可以根據(jù)P波的標量勢和S波的矢量： （3.25）那么有： （3.26）將其代入，得到： （3.27）將（3.27）代入可得： （3.29）P波的解由的標量波動方程給出，S波的解由的矢量波動方程給出。3.3 平面波 式（3.28）和（3.29）具有相同的形式，它們在直角坐標系可以表示為：我們用分離變量法來尋找形式的解。每個因子是僅僅一個變量的函數(shù)。由上式可得：這意味著是常數(shù)，令其為可得：同理，對于某常數(shù),有應注意，因此解可由三個量，而不是四個量來表示。類似于一維形式的推導。該方程可以有如下形式的通解：其中，令下面我們看看的物理意義。令當t=t1時，當t=t2時，由平面解析幾何知識可知

12、第一式為離原點距離為的平面，第二式為離原點距離為的平面，并且兩平面的法線方向都為。因此兩平面之間的距離為，為波從t1時刻傳播到t2時刻所傳播的距離，傳播的速度恰為c，這也是為什么我們在波動方程中將其稱之為速度的原因。類似地，表示以速度c向-n方向傳播的平面波。任意函數(shù)都可以寫成簡諧平面波疊加的形式根據(jù)Fourier疊加原理，可以把屋里上實際存在的平面波動，以數(shù)學形式分解成抽象的、覆蓋整個頻率范圍的平面波的積分來表示：實際問題不考慮。因此通常取為方程的基本解。而為波傳播的方向，由于c為波的傳播速度，通常稱為慢度矢量。對不同的做Fourier疊加即可得到任意函數(shù)形式的平面波。引進平面波的概念很有幫

13、助。平面波是一個位移只在波的傳播方向上變化，在與波傳播方向相互垂直的方向上，位移為常數(shù)的波動方程的解。例如，沿軸傳播的波，位移可表達為： （3.30） 這里是波的速度，是任意函數(shù)（矢量函數(shù)需表達出波的偏振），這波沿方向傳播。位移不隨變化。在方向上，波無限擴展。如果是離散的脈沖，那么假定有以平面波陣面?zhèn)鞑サ奈灰泼}沖形式。更普遍地說，在位置矢量處，平面波在單位矢量方向傳播的位移可表達為： （3.31） （3.32）這里是慢度矢量，它的值是速度的倒數(shù)。由于地震能量通常由局部的震源輻射出來，地震波陣面總有某種程度的彎曲。然而，在離震源足夠大的距離，波陣面平坦到足以使平面波的近似在局部上是正確的。因此，

14、許多解地震波動方程的方法總是把整個解表達為不同傳播角度的平面波的和。往往通過變換到頻率域，從方程中去掉與時間的依賴關系。在這種情況下，可以把特定角頻率的位移表達為： （3.33） （3.34）這里叫做波數(shù)矢量。在這本書中，我們將用復數(shù)來表示諧波。其詳細情況在附錄2中作了復習。把諧波稱為單色的平面波，有時也把它叫做調(diào)和的或穩(wěn)態(tài)平面波解。用來描述這樣的波的其他參數(shù)是波數(shù)，頻率，周期和波長。波數(shù)為單位長度內(nèi)波的震動次數(shù)。 在波的傳播過程中，某一振動狀態(tài)(周相)在單位時間內(nèi)傳播的距離為波速c，因此波速又叫做相速。應注意介質中各質點的振動速度和波的傳播速度c是兩個完全不同的概念。振動速度由震源確定，它是

15、周期性變化的，而波速的大小只與介質性質有關。將不同的諧波參數(shù)歸納于表3.1。表3.1諧波參數(shù)角 頻 率頻 率周 期速 度波 長波 數(shù)3.4 P波和S波的偏振考慮沿方向傳播的P波，根據(jù)（3.28）式有： （3.35）可以把（3.35）式的解寫成： （3.36）這里減號相應于沿方向傳播，加號相應于沿方向傳播。因為，故有： （3.37）注意對沿方向傳播的平面波，在和方向沒有變化，所以空間導數(shù)和為零。對P波僅在沿軸波的傳播方向上有位移。這樣的波叫做縱波。而且因為，運動是不旋轉的，或“無旋”的。由于P波使介質體積發(fā)生變化，所以P波也叫“壓縮”波或“膨脹”波。然而，要注意的是P波包括剪切和壓縮， 這是為什

16、么P波速度對體積模量和剪切模量反應都靈敏的原因。實際的P波諧振運動可以用圖3.2來說明。圖3.2 沿頁面水平傳播的諧振平面P波（上面）和S波（下面）的位移。S波純剪切，沒有體積變化。而P波包括材料體積的變化和剪切（形狀變化）。相對于地球實際的應變，這里應變被放大?，F(xiàn)在考慮沿正方向傳播的S波，矢量勢為： （3.38）位移為： （3.39）這里我們再用，即給出： （3.40）運動在和方向，垂直于傳播方向。S波的實際運動往往可以分成兩個分量：在含傳播矢量的垂直面里的運動（波）和取向與這個面垂直的水平運動（SH波）。因為，運動是純剪切的，沒有任何的體積變化（因此叫做剪切波）。在垂直方向偏振的剪切諧波（

17、波）的質點運動如圖3.2所示。3.5 球面波如果我們假定球對稱，P波勢中的標量波動方程（3.28）就可能有另外的解。在球坐標系里，拉普拉斯方程為： （3.41）因為球對稱，這里去掉角的偏導數(shù)，由表達式（3.28），即得到： （3.42）在點以外，方程的解可表達為： （3.43）注意到除了因子外，這與平面波方程（3.30）是相同的。分別用+和-號表示向內(nèi)和向外傳播的波。因為這個表達式通常用來模擬從點源輻射的波，所以在正常情況下，項表示波的振幅隨距離衰減的幾何擴散因子，在第6章將進一步的探討。在時，（3.43）不是方程（3.42）的正確的解。然而，這表明（例如Aki和Richards,4.1節(jié)），

18、（3.43）可能是以下非齊次方程的解： （3.44）這里函數(shù)在以外的任何地方都為零，它的體積積分為1。因子表示在震源時間函數(shù)。在第9章討論震源理論時，我們將回到這個方程上來。平面波的反射和折射 地殼及地球內(nèi)部是成層結構，內(nèi)部有不少分界面。地表也可看作一個界面，震源在各向同性的均勻介質中產(chǎn)生的地震波波陣面是成球形的一層一層向外傳播，稱為球面波。因此，嚴格來講，我們應該討論球面波遇到分界面時的情況。但當距離震源足夠遠時，也就是說震源到接收點的距離比波長大得多時，作為一種近似，可討論平面波在分界面上的行為。同時當（為分界面的曲率半徑），也可以將分界面看作平面，這樣可使討論大大簡化而不影響對許多現(xiàn)象本

19、質的揭示。同時，球面波在理論上可以看作是許多不同方向的均勻或不均勻的平面波的疊加，因而先弄清了平面波在分界面上的行為，也比較容易討論球面波在分界面的行為。P波、SV波設平面波（指均勻的平面波）的傳播方向在xz平面內(nèi)，傳播方向就是波陣面的法線方向，波的位移場可以表示為： （1）其中滿足壓縮波的波動方程，滿足剪切波的波動方程.由于均勻平面波波陣面上的為常數(shù)，而這里平面波傳播方向在xz平面內(nèi)，因此垂直于xz平面的直線上的各點必在同一波陣面內(nèi)，也就是：。P波產(chǎn)生的位移為：P波產(chǎn)生的應力為SV波的位移SV波產(chǎn)生的應力為：將上面兩式代入（1）式得：分析界面條件，界面應力為：界面條件為界面兩邊應力相等，位移

20、連續(xù)，即：分析位移場在y方向的分量,也就是v全部為橫波場的分量。再由界面應力條件看，v只出現(xiàn)的表達式中，而u,w只出現(xiàn)在的表達式中。因此，SH波和P-SV波產(chǎn)生的波場是分離的。地球表面是一個特殊的分界面，它將無限介質劃分為兩個半空間，地面以上空氣介質，其密度與地面以下的巖石或海平面以下的海水層相比可以忽略。地球表面可以看成是一個彈性半空間表面，表面下面視為理想彈性介質，表面上面為空氣，這種界面稱為自由界面，自由界面上的應力作用為零。本節(jié)中將介紹彈性波在自由表面上的反射。P波在自由界面的反射如圖所示，取xoy平面為自由表面，設有一P波自下部介質入射到自由表面上，由于自由表面以上不存在介質，所以當

21、波遇到自由表面時，只可能折回到原來的介質，而不會透過它，即只存在反射被而不存在透射波。當P波入射到自由表面上時，為滿足自由表面處的邊界條件，反射波中會同時產(chǎn)生P波和SV波兩種成分，此時，SV波稱為轉換波。但是，由于SH波的振動方向與P被和SV波的振動方向是相互獨立的，所以反射波中不會產(chǎn)生SH波。設入射P波為平面簡諧波，入射面為xOz平面，法線為z軸，入射P波的入射角為,反射SV波的反射角為，由圖中各波的傳播方向與坐標軸方向的關系，它們的波函數(shù)可以寫為：這里只考慮分量，這是由于只有產(chǎn)生xoz平面的振動。式中，由邊界條件可知，在z=0處，方程為的線性組合（其中由于z=0，指數(shù)因子中的z因子全為零）

22、。所以必有，因此必有：這就是Snell定律，回憶一下幾何光學，可見上式與幾何光學中的折射定律和反射定律完全一致，這是由于它們在本質上（波動性）有相同之處。而折射反射定律正是反映了物質的波動相關的一種規(guī)律。在光學中是從光學實驗或惠更斯原理得到了折射反射定律，而這里我們從波動方程和邊界條件出發(fā)也得到了它。我們在以后的推導中令上式為常數(shù)p。則波函數(shù)可以寫為：則：P波產(chǎn)生的位移為：P波產(chǎn)生的應力為SV波的位移SV波產(chǎn)生的應力為：根據(jù)邊界條件，可得：對于正應力：對于剪應力：將入射波反射波的勢的表達式代入可得：由第二個式子可得：，代入第一式得到折射系數(shù)：反射系數(shù)為：由于、，代入上面的式子可得到：位移位的振

23、幅并不表示質點的振幅，不具有實際物理意義，下面討論作為位移振幅比的反射系數(shù)。對于穩(wěn)態(tài)傳播的P波，位移振幅為：；對于穩(wěn)態(tài)傳播的S波振幅為：。我們可以舉例說明上面的式子成立，如對于上面所表示的入射波：其合成振幅為：對于上面提到的SV波： 其合成振幅為：由此可知，入射P波在做自由界面上的反射P波位移反射系數(shù)與勢反射系數(shù)相同，而反射SV波的反射系數(shù)為勢反射系數(shù)的倍，即假定SV波入射到自由表面上，其勢振幅為A,入射角為，反射SV波的勢振幅為B，由反射定律可知其反射角為，反射P波的勢振幅為C，反射角為，則根據(jù)前面P波和SV波產(chǎn)生的勢的定義式和表面應力條件可得：從而得到：由第一個式子可得：，代入第二式得到折

24、射系數(shù)：將其帶入上面的式子得由于、，代入上面的式子可得到：考慮勢振幅和位移振幅之間的關系，可得SH波在自由界面上的反射設入射SH波的位移為：反射SH波位移分別表示為：邊條件為：將其簡化為：，即在自由表面SH波的反射系數(shù)為1.從前面的討論可以看出，當一列P波入射到自由表面時，會產(chǎn)生一列反射P波和一列反射SV波；同樣，如果一列SV波向自由表面入射，會產(chǎn)生一列反射SV波和一列反射P波?；蛘哒f，在一般反射問題中半空間內(nèi)至少存在三列簡諧平面波（純SH波僅反射SH波）。如果我們令 式中的分子為零，則轉換波的振幅為零，半空間中只存在一列反射波。即P波入射只反射SV波，SV波只反射P波，這種現(xiàn)象稱為偏振交換。

25、自由界面上的位移，視出射角地面測量得到的是地面的實際位移，也就是自由表面的位移。入射波射到自由表面后由于產(chǎn)生了反射波，因而自由表面上的位移并不等于入射波的位移，這是十分重要的。對于P波我們稱自由表面位移向量與界面法線的夾角為視入射角。稱自由表面上的位移向量與地面之間的夾角為視出射角。當P波入射時，有將P波入射反射為P波和SV波的勢函數(shù)，并采用反射系數(shù)可得因此，由地震記錄可得到P波入射到地面后地面位移的北南、東西與垂直分量，求北南、東西分量的平方和再開方得到地面的水平分量，而水平分量和垂直分量的比值就是 ，的一半即為SV波的反射角，根據(jù)折射定律即可求得，即真入射角：或：當SV波入射到自由表面時，

26、其真入射角為，仿效這個式子，我們定義這種情況下的視入射角為，則在推導時應注意。當SH波入射到自由表面時，根據(jù)前面的推導，反射系數(shù)為1.我們同樣可設入射SH波的位移為：總的位移為在z=0的面上即得到即自由表面的位移為入射SH波位移的2倍。全反射當入射波為SV波時，由折射定律有：由于，因此反射P波的反射角大于入射SV波的入射角，當入射角滿足時，反射P波的反射角為90o。當時，根據(jù)有關復數(shù)的知識，這時必為復數(shù)，且有這里為雙曲函數(shù)，并采用了歐拉公式的推論：。的數(shù)值由確定。則代入波的勢函數(shù)可得反射P波的勢函數(shù)為：易見這時反射P波為不均勻波，它的振幅隨z的增大而按指數(shù)衰減，此不均勻波是沿x軸，也就是沿界面

27、傳播的，傳播的相速度為。練習：3.1 當波長用以下參數(shù)表示時：波數(shù)，速度，頻率，時間，不是以上任一個，給出與角頻率的關系。3.2 考慮在均勻介質里沿方向傳播的兩類單色平面波：波，對波，在方向有位移的波，即。對每種情況，導出應力張量的非零分量的表達式。借助于（2.12）得到應變張量的分量，然后用（2.24）得到應力分量。3.3 假定諧振的波以在固體里傳播。如果最大的應變是，那么周期為1秒，10秒，100秒的質點最大位移是多少？解：根據(jù)，則應變?yōu)橐虼?，由此可以計算各個頻率的最大位移A。3.4 離開點源傳播的S波可能球對稱嗎？在什么條件下，爆炸會產(chǎn)生S波？3.5 說明（3.43）滿足（3.42）。因

28、此，（3.43）滿足（3.42）3.6 （計算），平面波在均勻介質里沿方向傳播，剪切波的齊次動量方程可表達為：這里是位移。對100公里的波長和假定的情況，寫出用有限差分法解這方程的計算機程序。用長度間距，時間間距秒。假定在（50公里）震源時間函數(shù)的形式為： 05秒用（0公里）的應力自由邊界條件和（100公里）的固定邊界條件。用有限差分圖解來近似二次導數(shù)：以4秒的間隔畫出1-33秒的圖。檢驗一下速度為4公里/秒的脈沖行程。在每個端點，反射脈沖出現(xiàn)什么情況？當脈沖交叉時，出現(xiàn)什么情況？3.3什么是偏振交換？3.4試給出P波入社到自由表面時的反射P波和反射SV波的相對振幅公式，并給出各個變量的意義。3.5試給出SV波入社到自由表面時的反射P波和反射SV波的相對振幅公式，并給出各個變量的意義。3.6試證明P波入射到自由表面時視出射角為反射SV波反射角的2倍。3.7試證明SH波入射到自由表面時，自由表面的位移為入射SH波位移的2倍。3.8 試證明SH波入射到自由表面時，反射系數(shù)為1.50練題