《2020年高考數(shù)學一輪復習 專題07 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學一輪復習 專題07 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（含解析）（28頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題07冪函數(shù)與二次函數(shù)最新考綱1.了解冪函數(shù)的概念2.結(jié)合函數(shù)yx，yx2，yx3，y，的圖象，了解它們的變化情況3.理解并掌握二次函數(shù)的定義，圖象及性質(zhì)4.能用二次函數(shù)，方程，不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.基礎(chǔ)知識融會貫通1冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如yx的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象(3)常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) 特征性質(zhì)yxyx2yx3yyx1定義域RRR0，)x|xR，且x0值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)頂點式：f(x)a(xm

2、)2n(a0)，頂點坐標為(m，n)零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2為f(x)的零點(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【知識拓展】1冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性(2)冪函數(shù)的圖象過定點(1,1)，如果冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點(3)當0時，yx在0，)上為增函數(shù)；當0時，yx在(0，)上為減函數(shù)2若f(x)ax2bxc(a0)，則當時恒有f(x)0，當時，恒有f(x)0.重點難點突破【題型一】冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)【典型例題】下圖給出4個冪函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)

3、的大致對應(yīng)是（）A，yx2，yx1Byx3，yx2，yx1Cyx2，yx3，yx1D，yx2，yx1【解答】解：的圖象關(guān)于y軸對稱，應(yīng)為偶函數(shù)，故排除選項C，D由圖象知，在第一象限內(nèi)，圖象下凸，遞增的較快，所以冪函數(shù)的指數(shù)大于1，故排除A故選：B【再練一題】已知點（2，8）在冪函數(shù)f（x）xn圖象上，設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（）AbacBabcCcbaDbca【解答】解：點（2，8）在冪函數(shù)f（x）xn圖象上，f（2）2n8，解得n3，f（x）x3，設(shè)，a（）0.33（）0.9（）01，b（）0.23（）0.6（）01，c（）3（log1）30，a，b，c的大小關(guān)系是bac故選：A思維升華

4、 (1)冪函數(shù)的形式是yx(R)，其中只有一個參數(shù)，因此只需一個條件即可確定其解析式(2)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸(3)在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較，準確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【題型二】求二次函數(shù)的解析式【典型例題】已知二次函數(shù)f（x）ax2+（b2）x+3，且1.3是函數(shù)f（x）的零點（1）求f（x）解析式，并解不等式f（x）3；（2）若g（x）f（sinx），求函數(shù)g（x）的值域【解答】解：（1）由題意得，f（x）x2

5、+2x+3，x2+2x+33，即x22x0，x|x0或x2，（2）令tsinx1，1，g（t）t2+2t+3（t1）2+40，4，g（x）0，4【再練一題】已知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）f（2）3（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在區(qū)間2a，a+1上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍【解答】解：（1）由已知，設(shè)f（x）a（x1）2+1，由f（0）3，得a2，故f（x）2x24x+3；（2）二次函數(shù)的對稱軸為x1，2aa+1，即a1，當對稱軸在區(qū)間的左側(cè)時，函數(shù)f（x）在區(qū)間2a，a+1上單調(diào)遞增，即2a1解得a；當對稱軸在區(qū)間的右側(cè)時，函數(shù)f（x）在區(qū)間2a，a+1上單調(diào)遞減

6、，即a+11解得a0，綜上，實數(shù)a的取值范圍為（，0，1）思維升華 求二次函數(shù)解析式的方法【題型三】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)命題點1二次函數(shù)的圖象【典型例題】已知A，B分別為函數(shù)f（x）x2+2x+1和函數(shù)g（x）1圖象上的兩點，則|AB|的最小值為（）ABCD【解答】解：由于函數(shù)g（x）1與函數(shù)yx2+2x+1（x1）關(guān)于yx對稱，又由函數(shù)f（x）與g（x）的圖象可知，當A，B最近時，點A應(yīng)在函數(shù)yx2+2x+1（x1）上，則|AB|的最小值為函數(shù)f（x）或g（x）圖象上的點到直線yx距離最小值的2倍，由g（x）l，得x，y1，g（x）圖象上的點到直線yx距離最小值即為點（，）到直線yx的距離，

7、其值為，則|AB|的最小值為，故選：B【再練一題】設(shè)函數(shù)f（x）當x，時，恒有f（x+a）f（x），則實數(shù)a的取值范圍是（）A（，）B（1，）C（，0）D（，【解答】解：a0時，顯然不符題意；當x，時，恒有f（x+a）f（x），即為f（x）的圖象恒在f（x+a）的圖象之上，則a0，即f（x）的圖象右移故A，B錯；畫出函數(shù)f（x）（a0）的圖象，當x時，f（）a；而f（x+a），則x時，由a（a）2+aa，解得a（舍去），隨著f（x+a）的圖象左移至f（x）的過程中，均有f（x）的圖象恒在f（x+a）的圖象上，則a的范圍是（，0），故選：C命題點2二次函數(shù)的單調(diào)性【典型例題】已知函數(shù)f（x）x2

8、+|x+1a|，其中a為實常數(shù)（）判斷f（x）在，上的單調(diào)性（）若存在xR，使不等式f（x）2|xa|成立，求a的取值范圍【解答】解：（）函數(shù)f（x）x2+|x+1a|，其中a為實常數(shù)；當xa1時，f（x）x2+x+1a，它的圖象是拋物線的一部分，對稱軸是x，若a，則a1，在x時，f（x）是增函數(shù)，f（x）在，上單調(diào)遞增；若a，則a，f（x）在a1，上是增函數(shù)；當xa1時，f（x）x2x1+a，它的圖象是拋物線的一部分，對稱軸是x，若a，則a1，在x時，f（x）是減函數(shù)，f（x）在，上單調(diào)遞減；若a，則a1，f（x）在，a1上是減函數(shù)；綜上，a時，f（x）在，上是增函數(shù)；a時，f（x）在a1，

9、上是增函數(shù)，在，a1上是減函數(shù)；a時，f（x）在，上是減函數(shù)；（）先求使不等式f（x）2|xa|對xR恒成立時a的取值范圍；當xa1時，不等式化為x2x1+a2（ax），即x2+x1a，a；若a1，即a，則a相矛盾；若a1，即a，則a（a1）2+（a1）1，即a22a10，解得a1或a1，a1；當a1xa時，不等式化為x2+x+1a2（ax），即x2+3x+13a，3a；若a1a，即a；若a1，即a，3a（a1）2+3（a1）+1，即a22a10，解得a1或a1；結(jié)合條件及得，a1；若a，3aa2+3a+1恒成立；綜上，a1；當xa時，不等式化為x2+x+1a2（xa），即a2x+1a；a，得

10、a，即a，結(jié)合得a1；使不等式f（x）2|xa|對任意xR恒成立的a的取值范圍是a1，本題所求的a的取值范圍是a1或a【再練一題】已知函數(shù)f（x）ax2|x|+2a1（a為實常數(shù)）（1）若a1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若a0，設(shè)f（x）在區(qū)間1，2的最小值為g（a），求g（a）的表達式；（3）設(shè)，若函數(shù)h（x）在區(qū)間1，2上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍【解答】解：（1）a1，f（x）x2|x|+1f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（），（，0）； f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（），（）（2）由于a0，當x1，2時，若，即，則f（x）在1，2為增函數(shù)g（a）f（1）3a2若，即，若，即時，f（x）在1，2上是

11、減函數(shù)：g（a）f（2）6a3綜上可得（3）在區(qū)間1，2上任取x1、x2，則（*）h（x）在1，2上是增函數(shù)h（x2）h（x1）0（*）可轉(zhuǎn)化為ax1x2（2a1）0對任意x1、x21，2且x1x2都成立，即ax1x22a1當a0時，上式顯然成立a0，由1x1x24得，解得0a1a0，由1x1x24得，得所以實數(shù)a的取值范圍是命題點3二次函數(shù)的最值【典型例題】【解答】解：（1）當1時，函數(shù)y2x22ax+3在區(qū)間1，1上是增函數(shù)，故當x1時，函數(shù)取得最小值是 f（1）2a+5當11時，由于函數(shù)y2x22ax+3對稱軸是x，故當x時，函數(shù)在區(qū)間1，1上取得最小值是 f（）3當 1時，函數(shù)y2x2

12、2ax+3在區(qū)間1，1上是減函數(shù)，故當x1時，函數(shù)取得最小值是 f（1）52a綜上可得 f（a）（2）當2a0時，f（a）3在2，0上是增函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)（a）log0.5f（a）在2，0上是減函數(shù)同理可得，數(shù)（a）log0.5f（a）在0，2上是增函數(shù)【再練一題】已知函數(shù)f（x）log2x的定義域是2，16設(shè)g（x）f（2x）f（x）2（1）求函數(shù)g（x）的解析式及定義域；（2）求函數(shù)g（x）的最值【解答】解：（1）由題意可得g（x），且，進一步得：，且定義域為【2，8】，（2）令tlog2x，則t1，3，h（t）t2+t+1，h（t）在【1，3】遞減h（t）的值域為【h（3

13、），h（1）】，即【5，1】，當x8時，g（x）有最小值5，當x2時，g（x）有最大值1命題點4二次函數(shù)中的恒成立問題【典型例題】不等式x2+a|x|+40對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A0，+）B4，+）C4，4D（，4【解答】解：f（x）x2+a|x|+4為偶函數(shù)；當a0，x0時，函數(shù)化為f（x）x2+ax+4，對稱軸x0，f（0）40，不等式恒成立；當a0時，x0時，函數(shù)化為f（x）x2+ax+4，可得a2160顯然成立解得4a0，綜上a4，+）故選：B【再練一題】已知對a（，0），x（0，+），不等式x2+（3a）x+32a2kex成立，則實數(shù)k的取值范圍為（）A（3，+

14、）B3，+）C（4，+）D4，+）【解答】解：由不等式x2+（3a）x+32a2kex成立，即成立，令f（x），則f（x）令f（x）0，可得：x12a1，x2a，a（，0），x12a10，x2a0x（0，+），當x（0，a），f（x）0，則f（x）在x（0，a）單調(diào)遞增當x（a，+），f（x）0，則f（x）在x（a，+）單調(diào)遞減當xa時，f（x）取得最大值為f（a）k，即f（a）k，a（，0），f（a）f（0）k即k3故選：B思維升華 解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時要注意：(1)拋物線的開口，對稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論；(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上的二次

15、函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)(3)由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值或值域基礎(chǔ)知識訓練1若，則ABCD【答案】B【解析】由得：則指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知：由冪函數(shù)單調(diào)性可知：綜上所述：本題正確選項：2用b，表示a，b，c三個數(shù)中的最小值設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的最大值為A4B5C6D7【答案】B【解析】如圖所示：則的最大值為交點的縱坐標，由，得即當時，故選：B3已知，則x等于ABCD【答案】A【解析】由題意，可知，可得，即，所以，解得故選：A4三個數(shù)acos，blg，c之間的大小關(guān)系是（）ABCD【答

16、案】D【解析】acos（0，1），blg0，c1，bac故選：D5在同一直角坐標系中，的圖像可能是（）ABCD【答案】B【解析】因為的圖象為過點的遞增的指數(shù)函數(shù)圖象，故排除選項；的圖象為過點的遞減的函數(shù)圖象，故排除選項，故選B6函數(shù)的圖像必經(jīng)過點（ ）A（0,2）B（4,3）C（4,2）D（2,3）【答案】B【解析】令，所以，因此函數(shù)過點（4,3）.故選B7函數(shù)在區(qū)間上的最小值是A B C D4【答案】B【解析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知在該區(qū)間單調(diào)遞減,故當取到最小值,為,故選B.8函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是( )A B C D【答案】D【解析】設(shè)tx22x3，則函數(shù)在（，1上單調(diào)遞減，在1，+）上單

17、調(diào)遞增因為函數(shù)在定義域上為減函數(shù)，所以由復合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)可知，此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+）故選：D9不等式的解集是( )A B C D【答案】D【解析】因為y2x在R上是增函數(shù)，所以2x73所以不等式的解集是x|x3，故選D.10如圖，在四個圖形中，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像只可能是（ ）A BC D【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)y（）x可知a，b同號且不相等，則二次函數(shù)yax2+bx的對稱軸0可排除B與D，又二次函數(shù)，當x=0時，y=0，而A中，x=0時，y0，故A不正確故選C11若函數(shù)的最大值為2，則實數(shù)的值為（ ）A-1 B-2 C-3 D-4【答案】A【解析】解：函數(shù)f（x）3|

18、x|m是偶函數(shù)，x0時，函數(shù)是減函數(shù)，函數(shù)的最大值為：1m2，解得m1故選：A12已知，若對任意，則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C【解析】g（x）2，當x時,恒成立，當x時，g（x）0，又xR，f（x）0或g（x）0，f（x）m（x2m）（x+m+3）0在x時恒成立，即m（x2m）（x+m+3）0在x時恒成立，則二次函數(shù)ym（x2m）（x+m+3）圖象開口只能向下，且與x軸交點都在（，0）的左側(cè)，即，解得m0，實數(shù)m的取值范圍是：（，0）故選C13計算_【答案】8【解析】故答案為：814函數(shù)的值域是_【答案】【解析】因為單調(diào)遞增，所以的值域為，的值域為（1，+）故答案為：（1，+）

19、15某品牌筆記本電腦的成本不斷降低，若每隔4年價格就降低，則現(xiàn)在價格為8100元的筆記本電腦，12年后的價格將降為_元【答案】2400【解析】12年后的價格可降為81002400元故答案為240016函數(shù)的圖象恒過定點, 點在冪函數(shù)的圖象上，則=_.【答案】27【解析】當時，函數(shù)，故，設(shè)冪函數(shù)，則，解得，故.17已知定義在R上的函數(shù)f（x）=3x（1）若f（x）=8，求x的值；（2）對于任意的x0，2，f（x）-33x+13-m0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍【答案】（1）x=2（2）m【解析】（1）f（x）=3x=8，即（3x）2-83x-9=0，解得：x=2；（2）原式轉(zhuǎn)化為f（x）-33x+

20、13m，令g（x）=f（x）-33x+13=（3x）2-33x+4，令t=3x，由x0，2，則t1，9，故y=t2-3t+4，當t=時，y取最小值，故m18已知奇函數(shù)的定義域為-1,1，當時，。（1）求函數(shù)上的值域；（2）若時，函數(shù)的最小值為-2，求實數(shù)的值?！敬鸢浮浚?）；（2）【解析】（1）設(shè)x（0，1，則x1，0）時，所以f（x）2x又因為f（x）為奇函數(shù)，所以有f（x）f（x），所以當x（0，1時，f（x）f（x）2x，所以上的值域為（1，2，（2）由（1）知當x（0，1時，f（x）（1，2，所以f（x）（，1令tf（x），則 t1，g（t）f2（x）f（x）+1t2t+1，當，即1時

21、，g（t）g（），無最小值，當1，即12時，g（t）ming（）12，解得2 （舍去）當1，即2時，g（t）ming（1）2，解得4，綜上所述，419設(shè)函數(shù) 且 .（1）若，求不等式的解集；（其中單調(diào)性只需判斷）（2）若，且上恒成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）-2【解析】（1），又，所以所以單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，故在R上單調(diào)遞增，又 是R上的奇函數(shù)，由 . （2），解得（舍）或，則令， ,恒成立，即上恒成立,即上恒成立,而 m的最大值為.20已知函數(shù)的定義域為，且對任意的. 當時，.（1）求并證明的奇偶性；（2）判斷的單調(diào)性并證明；（3）求；若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1

22、）0,證明見解析，為奇函數(shù)；（2）單調(diào)遞增，證明見解析；（3）.【解析】（1），又因為的定義域為R關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù).（2），因為，所以單調(diào)遞增.（3），若，f（，由（2）知單調(diào)遞增，所以，.能力提升訓練1下列各式正確的是（ ）A BC D【答案】D【解析】對于A，a，當a為負數(shù)時等式不成立，故A不正確；對于B，a01，當a0時無意義，故B不正確；對于C，左邊為正，右邊為負，故C不正確；對于D，故D正確故選：D2函數(shù)圖象恒過的定點是A B C D【答案】B【解析】由題意，函數(shù)，令，解得，的圖象過定點故選：B3若=8，y=log217，z=（）-1，則（）A B C D【答案】D【解析】

23、由，則，而，故，答案為D.4設(shè)函數(shù)f（x）=，則函數(shù)f（）的定義域為（）A B C D【答案】A【解析】因為，所以，因為，所以的定義域為，故選A5下列函數(shù)中，滿足“”的函數(shù)是ABCD【答案】C【解析】不恒成立，選項A不滿足；選項B不滿足；選項C滿足；選項D不滿足；故選：C6函數(shù)，若不等式恒成立，則t的取值范圍是A B C D【答案】A【解析】解：由，可得，遞增，且，不等式，即為恒成立由上遞增，可得時，取得最大值，即有，的取值范圍是故選：A7已知實數(shù)，則以下不等式中恒成立的是A B C D【答案】A【解析】因為是增函數(shù)，所以由可得，選項正確；當時，不成立，選項錯誤；因為是減函數(shù),由可得，選項錯誤

24、，時，不成立，選項錯誤，故選A8已知函數(shù)，記解不等式：；設(shè)k為實數(shù)，若存在實數(shù)，使得成立，求k的取值范圍；記 (其中a，b均為實數(shù))，若對于任意的，均有，求a，b的值【答案】(1) (2) (3)【解析】函數(shù)，即為，即為，即有，解得，即解集為；存在實數(shù)，使得成立，即為，設(shè)，在遞增，可得，即有，則，設(shè)，即有，在遞增，可得，即有.，令，若對于任意的，均有，即對任意，解得：9已知關(guān)于的函數(shù)，其中.（）當時，求滿足的實數(shù)的取值范圍；（）若當時，函數(shù)的圖象總在直線的上方，求的整數(shù)值.【答案】（）；（）.【解析】（）當時，, 即故實數(shù)的取值范圍是 （）上恒成立, 即上恒成立. 因為函數(shù)上均為單減函數(shù)，所以上為單增函數(shù)，最大值為. 因此解得.故實數(shù)的整數(shù)值是.10已知是偶函數(shù).（1）求的值;（2）解關(guān)于不等式;（3）求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）因為是偶函數(shù),所以;又對任意實數(shù)恒成立,因此（2）因為的導數(shù)且當時,恒成立所以上是增函數(shù);又因為是偶函數(shù)又兩邊平方可得,即不等式的解集為 （3）函數(shù)令,由可知,.所以由可得所以函數(shù)的值域是.28