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高等數(shù)學(xué)上冊習(xí)題答案胡志興蘇永美孟艷.doc

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1、習(xí)題 1-1(A)1填空題(1)函數(shù)的定義域為;(2)函數(shù)的定義域為;(3)函數(shù)的定義域為;(4)函數(shù)的定義域為xN時,有,則:故舉例:數(shù)列的極限為1, 而數(shù)列 無極限5設(shè),證明:證明:由極限定義可知, 取則當(dāng)nN時,則7求極限解:由于 由夾逼準(zhǔn)則可得8設(shè),證明:數(shù)列的極限存在,并求其極限證明:顯然10求下列極限(1) ;解:(2) ;解:(3) ;解:(4) ;解:(5) ;解:(6) ;解:12設(shè)數(shù)列收斂,證明:中必有最大項或最小項證明:由數(shù)列收斂,則此數(shù)列有界,即則中必有最大項或最小項13設(shè),且ab,證明:存在某正整數(shù)N,使得當(dāng)nN時,有證明:由,存在某正整數(shù)N,使得當(dāng)nN時,對,有取為

2、無窮小,則16設(shè)證明:數(shù)列收斂,并求其極限證明:顯然17設(shè),證明:數(shù)列發(fā)散證明:數(shù)列有兩個子數(shù)列:=0, ,而,數(shù)列發(fā)散數(shù)列發(fā)散習(xí)題1.3(P47)1. 答案:D解:例:在處沒有定義但是有極限。2. 設(shè)(1) 作出函數(shù)的圖形(2) 根據(jù)函數(shù)圖形寫出;(3) 極限存在么?解:(1)略(2) (3)因為,所以極限不存在3. 解:當(dāng)時,函數(shù)的極限不存在。(不論它多么大),使得當(dāng)時,有,故它的極限不存在。4. 解:5. 解:(1)當(dāng)時,無窮?。?),當(dāng)時,無窮大(3),當(dāng)時,無窮大(4),當(dāng)時,極限為0,無窮?。?),當(dāng)時,極限為0,無窮小6. 設(shè)解:因為存在,則,則,7. 解:(1)(2)8. 證:

3、因為,則,使得當(dāng)時,有,則則9. 解:(1),使得當(dāng)時,有,故(2),使得當(dāng)時,有,故(3),使得當(dāng)時,有故(4),使得當(dāng)時,有,故(5),使得當(dāng)時,有,故(6),使得當(dāng)時,有,故10. 解:,使得當(dāng)時,有,故11. 解:(1)A,故(2)C,故(3)A考慮a=0的情況,BCD錯誤。習(xí)題1.4(P54)1. 解:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)因為有界,則,故(12)因為,則2. 解(1) 令,則(2) 令,則(3) 令,則(4) 令,則3. 解: 4. 解:則,故,5. 解:時,有極限,沒有極限。當(dāng),沒有極限, 不一定有極限(,)。6. 解:時,都沒有極

4、限。不一定有極限(例如:),不一定有極限(當(dāng)時,時沒有極限;當(dāng)時,)。7. 解:(1)(2)(3)(4)(5)(6)因為,8. 解;則且=,則,習(xí)題1-5(A)1. (1) D (2) B 2. (1) e-1/2 (2) e (3)3/4 (4) e2 (5)(-1)m-n (6) ex+13. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 4. 解: 5. (1) 錯,無窮小是極限為零的變量,無窮大是其值無限增大的變量(2) 錯(3) 正確(4) 正確(5) 錯,反例見例3.8(6) 錯,反例:(7) 錯,6. 解: ,故它們是等價無窮小7. 解:,故是的高階無窮小8.

5、解:,故與是同階無窮小 ,故與是等價無窮小9. (1) 0,mn(3) (4) (5) (6) (B)10. (1) D (2) B (3) D11. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 12. 證明: 原極限不存在13. 解: 原式=114. 解:15. 證明:(1) 設(shè)t=arctanx,則(2) 16. 證明:(1) 因為,故有(2) 由有 所以,故有(3) 因為,所以 因為,所以,所以所以,故有習(xí)題1-6(A)1. (1) B (2) C (3) A (4) D2. (1) -1, 1 (2) kp3. (1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 4. (

6、1) x=1是可去間斷點,x=2是無窮間斷點(2) x, |x|1f(x)= -x, |x|1 f(x)= , x=1 1, |x|1 x=1是跳躍間斷點5. 解:由得: a=2, b=-16. 證明:設(shè)f(x)=ex-2-x, 因為 f(0)f(2)=-2(e2-4)0 由零點定理知,至少存在一點(0,2)使f()=0 即,方程ex-2= x在(0,2)內(nèi)至少有一個實根7. 證明:設(shè)f(x)=x-2-sinx,因為 f(0)f(3)=-2(1-sin3)0 由零點定理知,至少存在一點(0,3)使f()=0 即,方程x=2+sinx至少有一個小于3的正根8. 證明:設(shè)F(x)=f(x)-f(a

7、+x), 則有 F(0)=f(0)-f(a)=f(2a)-f(a), F(a)=f(a)-f(2a)所以,F(xiàn)(0)F(a)=- f(a)-f(2a)20若F(0)F(a)=0,則F(0)=F(a)=0;若F(0)F(a)0,則由零點定理知,至少存在一點(0,a)使F()=0;綜上,至少存在一點0,a使F()=0,即至少存在一點0,a使f()=f(a+)9. 解:設(shè)F(x)=(p+q)f(x)-pf(c)-qf(d),則有 F(c)=qf(c)-qf(d), F(d)=pf(d)-pf(c) 所以,F(xiàn)(c)F(d)=-pqf(c)-f(d)20 若F(c)F(d)=0,則F(c)=F(d)=0;

8、 若F(c)F(d) 0,則由零點定理知,至少存在一點(c,d)使F()=0; 又因為abcd,所以對任何正數(shù)p,q,至少存在一點c,d(a,b),使得F()=0,即pf(c)+qf(d)=(p+q)f().(B)10. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 11. (1) x=1是可去間斷點 x=是可去間斷點 不存在 x=是無窮間斷點 (2) x=0是無窮間斷點 x=1是可去間斷點 x=2是無窮間斷點12. 解:由,知:a=0,b1 由存在,知:b=e 所以,a=0,b=e13. 解: x+b x0 h(x)= 2x+1 0 x1f(x)= ax2+bx, |x|1

9、 (a+b+1) x=1 (a-b-1) x=-1由 f(1-)=f(1+)=f(1) 得:a=0,b=1 f(-1-)=f(-1+)=f(-1)15. 證明:設(shè)f(x)=x3-3x2-9x+1,則f(0)f(1)=1(-10)0;F(b)=f(b)-bf(x2),則有f(x1)f(x2),由介值定理知:至少存在一點xx1,x2,使得f(x)= 若f(x1)f(x2),則有f(x1)0,取d=,對x1,x20,1,當(dāng)|x1-x2|d時,就有:|x13-x32|0時: 當(dāng)x0,連續(xù);0a1,不可導(dǎo);a1可導(dǎo)。3.(1)解: (2)解: (3)解:兩邊取對數(shù)再求導(dǎo)得: 即得 (4)解: (5) 解

10、:先對原式進(jìn)行變形: 再對兩邊求導(dǎo)數(shù)即可得: 最后將y代入即可 (6)解:當(dāng)x0時 f(x)= 當(dāng)x0時 f(x)= f(0)=04.(1)解:(2)解:由原式可得: 兩邊取對數(shù)求導(dǎo)得: 再次求導(dǎo)可得: 將y和y代入即可5.(1)解: 由已知的n次導(dǎo)數(shù)可得: (2)先對原式求一次導(dǎo)得: 則可得:繼而可得:7.(1)解:由題可得: (2)解: (3)解: 8.(1)題目有錯(2)證明:因為 令x=y=0 則 即函數(shù)f(x)不但可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)值恒為1。 (3)解:因為 9.(1)解:由題意可知:f(1)=2f(0)=2 (3)解:要使F(x)在點x=0處連續(xù),則有 b=f(0),而要函數(shù)在x=0處可

11、導(dǎo),則只需有 a= (4)解法一:令S=x+ 可知有 S=Sm 而 S= 則Sm=則解法二:思路,對Sm等式兩旁同乘以x,然后分別減去原等式的兩邊進(jìn)行變化即可。(5)解:由于而所求的導(dǎo)數(shù)是x=0點,所以只需求萊布尼茨公式的前兩項即可:習(xí)題3-1(A)1證明:顯然f(x)在2,3上連續(xù)、可導(dǎo),且f(2)=f(3) ,顯然在2,3連續(xù)。 則有介值定理可知,在2,3區(qū)間上必存在一點使得 所以羅爾定理對f(x)在區(qū)間2,3上成立2證明:顯然函數(shù)在0,上連續(xù)、可導(dǎo), , 又,而-10所以由介值定理可知必存在一點,使得所以拉格朗日中值定理對f(x)在區(qū)間0,上成立3證明:令,顯然其在0,1上連續(xù)、可導(dǎo)。

12、由羅爾定理知,在0,1上必存在一點使得,即 所以在0,1上柯西中值定理對f(x)和g(x)成立4證明:令則即f(x)恒等于一常數(shù),又f(0)=0,所以5證明:令 則 即,又6解:因為,由羅爾定理可知,在0,1,1,2,2,3,3,4區(qū)間分別存在四個點,使得7證明:(1)設(shè),顯然函數(shù)在整個定義域內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo),則由拉格朗日中值定理可知:,即(2)設(shè),顯然函數(shù)在整個定義域內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo),則由拉格朗日中值定理可知:在a,b區(qū)間上有,即(3)設(shè),則在b,a上函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo),由拉格朗日中值定理可知:存在一點,使得又因為,所以,即8證明:設(shè),二者在0,上均連續(xù)、可導(dǎo),并且對任意都有,由柯西中值定理知,存在使

13、,即9證明:設(shè)則由拉格朗日中值定理知,使得 10證明:設(shè),函數(shù)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo) 則 由羅爾定理可知,在(a,b)內(nèi)至少存在一點使得: ,即11證明:設(shè),其在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo) 又,由羅爾定理可得 =012證明:設(shè),利用反證法,設(shè)若方程有至少4個根,則,又f(x)在定義域內(nèi)至少4階連續(xù)、可導(dǎo),則由羅爾定理可知,至少存在點,使得再次利用羅爾定理,則存在點,使得=0由羅爾定理可知,在()內(nèi)至少存在一點使得而,即不可能找到一點使得f(x)的三階導(dǎo)數(shù)為零,所以假設(shè)不成立,即方程至多有3個根13證明:令,其在0,上連續(xù),在(0,)內(nèi)可導(dǎo)又,所以由羅爾定理可知至少存在一點,使

14、得即14證明:令,此函數(shù)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),又因為 ,由介值定理可知,在1/2,1之間存在c使得F(c)=0=F(0),由羅爾定理可知,在0,c內(nèi)至少存在一點使得15提示:令,對f(x)和g(x)用柯西中值定理即可得證16提示:令,f(x)、g(x)在a,b上用柯西中值定理可證習(xí)題3-1(B)17證明:因為f(x)在0,3上連續(xù),所以f(x)在0,2上連續(xù),且在0,2上必有最大值M和最小值m,于是 故 由介值定理知,至少存在一點,使 因為f(c)=1=f(3),且f(x)在c,3上連續(xù),在(c,3)內(nèi)可導(dǎo),所以由羅爾定理可知,必存在 18證明:,因為f(x)在a,b上連續(xù),(a

15、,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=f(b)=0,則 由羅爾定理知在(a,b)內(nèi)必存在一點c使得,由于所以,即內(nèi)單調(diào)減在(a,x)(x0都有等式成立(2) 可知 函數(shù)的定義域為 則 曲線是凹的 根據(jù)定義可知對任意的 都有等式成立(3) 可知 函數(shù)的定義域為 則 曲線是凹的 根據(jù)定義可知對任意的x,y 0且都有等式成立 即: 成立8. 求函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點解:函數(shù)的定義域為 令x0曲線y凸拐點凹 由表可知:曲線在內(nèi)是凸的,在內(nèi)是凹的,拐點為()9. 求函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點 解:函數(shù)的定義域為 故函數(shù)的圖形沒有拐點,處處是凹的10. 設(shè)在的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),如果,而試問是否為拐點,為什么?

16、 解: 假定 則單調(diào)遞增 時 時 故是的拐點11. 若對于區(qū)間內(nèi)的任意兩點與及任意兩個數(shù)與()有不等式(或?qū)?yīng)地,相反的不等式成立),則稱曲線在區(qū)間上是凹(凸)的習(xí)題3-61. 求曲線的漸近線解: 故y=x+2 為曲線的斜漸近線2. 求曲線的漸近線解: 故x=2,x=3為曲線的鉛直漸近線 故y=1 為曲線的水平漸近線3. 求曲線的漸近線解: 故y=1 為曲線的水平漸近線 故x=為曲線的鉛直漸近線4.描繪曲線的圖形Y=x-1是漸進(jìn)線垂直漸近線時 X=0或-2再求判斷凹凸性5描繪曲線的圖形偶函數(shù)時只需判斷有對稱性可畫出6. 描繪曲線的圖形時, Y=0是水平漸進(jìn)線,是垂直漸近線7.描繪曲線的圖形漸近線方程8. 描繪曲線的圖形 9. 描繪曲線的圖形 10.描繪曲線的圖形奇函數(shù) 第三章:第7節(jié)1:解:2:解:由于:則有:時,;時,3:解:對兩邊對求導(dǎo),得:4:解:由得:兩邊對求導(dǎo)可得:5:解:由得: 6:解:由可得:7:解:由兩邊對得8:證明:由得: 得證.9:解:由得根據(jù)可得:漸屈線參數(shù)方程為:即:.10:解:由得:由得:漸屈線參數(shù)方程為:所以漸屈線方程為:即:.11:解:由得:根據(jù)公式得:根據(jù)的公式可得:則有所求曲率圓方程為:.12:解:由得:根據(jù)得:.13:解:由已知:可令則有:14:解:由得15:解:可另:,則有:

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