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1、20.1 平行四邊形的判定一、選擇題 1四邊形ABCD，從（1）ABCD；（2）AB=CD；（3）BCAD；（4）BC=AD這四個條件中任選兩個，其中能使四邊形ABCD是平行四邊形的選法有（ ） A3種 B4種 C5種 D6種 2四邊形的四條邊長分別是a，b，c，d，其中a，b為一組對邊邊長，c，d為另一組對邊邊長且滿足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，則這個四邊形是（ ） A任意四邊形 B平行四邊形 C對角線相等的四邊形 D對角線垂直的四邊形 3下列說法正確的是（ ） A若一個四邊形的一條對角線平分另一條對角線，則這個四邊形是平行四邊形 B對角線互相平分的四邊形一定是平行四邊形 C一組

2、對邊相等的四邊形是平行四邊形 D有兩個角相等的四邊形是平行四邊形 二、填空題 4在ABCD中，點E，F分別是線段AD，BC上的兩動點，點E從點A向D運動，點F從C向B運動，點E的速度m與點F的速度n滿足_關系時，四邊形BFDE為平行四邊形5如圖1所示，平行四邊形ABCD中，E，F分別為AD，BC邊上的一點，連結EF，若再增加一個條件_，就可以推出BE=DF 圖1 圖2 6如圖2所示，AO=OC，BD=16cm，則當OB=_cm時，四邊形ABCD是平行四邊形 三、解答題7如圖所示，四邊形ABCD中，對角線BD=4，一邊長AB=5，其余各邊長用含有未知數x的代數式表示，且ADBD于點D，BDBC于

3、點B問：四邊形ABCD是平行四邊形嗎？為什么？ 四、思考題8如圖所示，在ABCD中，E，F是對角線AC上的兩點，且AF=CE，則線段DE與BF的長度相等嗎？ 參考答案一、1B 點撥：可選擇條件（1）（3）或（2）（4）或（1）（2）或（3）（4）故有4種選法2B 點撥：a2+b2+c2+d2=2ab+2cd即（a-b）2+（c-d）2=0，即（a-b）2=0且（c-d）2=0所以a=b，c=d，即兩組對邊分別相等，所以四邊形為平行四邊形 3B 點撥：熟練掌握平行四邊形的判定定理是解答這類題目的關鍵 二、4相等 點撥：利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來確定 5AE=CF 點撥：本題

4、答案不惟一，只要增加的條件能使四邊形EBFD是平行四邊形即可 68 點撥：根據對角線互相平分的四邊形為平行四邊形來進行判別三、7解：如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形理由如下：在RtBCD中，根據勾股定理，得BC2+BD2=DC2，即（x-5）2+42=（x-3）2，解得x=8所以AD=11-8=3，BC=x-5=3，DC=x-3=8-3=5，所以AD=BC，AB=DC所以四邊形ABCD是平行四邊形 點撥：本題主要告訴的是線段的長度，故只要說明AD=BC，AB=DC即可，本題也可在RtABD中求x的值四、8解：線段DE與BF的長度相等；連結BD交AC于O點，連結DF，BE，如圖所示在ABCD

5、中，DO=OB，AO=OC，又因為AF=EC，所以AF-AO=CE-OC，即OF=OE，所以四邊形DEBF是平行四邊形，所以DE=BF 點撥：本題若用三角形全等，也可以解答，但過程復雜，學了平行四邊形性質后，要學會應用20.2 矩形的判定 一、選擇題 1矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質是（ ） A對角相等 B對邊相等 C對角線相等 D對角線互相垂直 2下列敘述中能判定四邊形是矩形的個數是（ ） 對角線互相平分的四邊形；對角線相等的四邊形；對角線相等的平行四邊形；對角線互相平分且相等的四邊形 A1 B2 C3 D43下列命題中，正確的是（ ） A有一個角是直角的四邊形是矩形 B三個角是直角的

6、多邊形是矩形 C兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是矩形 D有三個角是直角的四邊形是矩形 二、填空題4如圖1所示，矩形ABCD中的兩條對角線相交于點O，AOD=120，AB=4cm，則矩形的對角線的長為_ 圖1 圖2 5若四邊形ABCD的對角線AC，BD相等，且互相平分于點O，則四邊形ABCD是_形，若AOB=60，那么AB：AC=_6如圖2所示，已知矩形ABCD周長為24cm，對角線交于點O，OEDC于點E，OFAD于點F，OF-OE=2cm，則AB=_，BC=_三、解答題7如圖所示，ABCD的四個內角的平分線分別相交于E，F，G，H兩點，試說明四邊形EFGH是矩形 四、思考題8如圖所示，AB

7、C中，CE，CF分別平分ACB和它的鄰補角ACDAECE于E，AFCF于F，直線EF分別交AB，AC于M，N兩點，則四邊形AECF是矩形嗎？為什么？ 參考答案 一、1C 點撥：A與B都是平行四邊形的性質，而D是一般矩形與平行四邊形都不具有的性質 2B 點撥：是矩形的判定定理；中對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形，故能判定矩形，應選B 3D 點撥：選項D是矩形的判定定理 二、48cm 5矩；1：2 點撥：利用對角線互相平分來判定此四邊形是平行四邊形，再根據對角線相等來判定此平行四邊形是矩形由矩形的對角線相等且互相平分，可知AOB是等腰三角形，又因為AOB=60，所以

8、AB=AO=AC 68cm；4cm三、7解：在ABCD中，因為ADBC，所以DAB+CBA=180，又因為HAB=DAB，HBA=CBA所以HAB+HBA=90，所以H=90同理可求得HEF=F=FGH=90，所以四邊形EFGH是矩形 點撥：由于“兩直線平行，同旁內角的平分線互相垂直”，所以很容易求出四邊形EFGH的四個角都是直角，從而求得四邊形EFGH是矩形四、8解：四邊形AECF是矩形理由：因為CE平分ACB，CF平分ACD，所以ACE=ACB，ACF=ACD所以ECF=（ACB+ACD）=90又因為AECE，AFCF，所以AEC=AFC=90，所以四邊形AECF是矩形 點撥：本題是通過證

9、四邊形中三個角為直角得出結論還可以通過證其為平行四邊形，再證有一個角為直角得出結論 20.3 菱形的判定一、選擇題 1下列四邊形中不一定為菱形的是（ ） A對角線相等的平行四邊形 B每條對角線平分一組對角的四邊形 C對角線互相垂直的平行四邊形 D用兩個全等的等邊三角形拼成的四邊形 2四個點A，B，C，D在同一平面內，從ABCD；AB=CD；ACBD；AD=BC；ADBC這5個條件中任選三個，能使四邊形ABCD是菱形的選法有（ ） A1種 B2種 C3種 D4種 3菱形的周長為32cm，一個內角的度數是60，則兩條對角線的長分別是（ ）A8cm和4cm B4cm和8cm C8cm和8cm D4c

10、m和4cm 二、填空題4如圖1所示，已知ABCD，AC，BD相交于點O，添加一個條件使平行四邊形為菱形，添加的條件為_（只寫出符合要求的一個即可） 圖1 圖2 5如圖2所示，D，E，F分別是ABC的邊BC，CA，AB上的點，且DEAB，DFCA，要使四邊形AFDE是菱形，則要增加的條件是_（只寫出符合要求的一個即可） 6菱形ABCD的周長為48cm，BAD：ABC=1：2，則BD=_，菱形的面積是_7在菱形ABCD中，AB=4，AB邊上的高DE垂直平分邊AB，則BD=_，AC=_ 三、解答題8如圖所示，在四邊形ABCD中，ABCD，AB=CD=BC，四邊形ABCD是菱形嗎？說明理由 四、思考題

11、9如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，PDAC，PCBD，PD，PC相交于點P，四邊形PCOD是菱形嗎？試說明理由 參考答案 一、1A 點撥：本題用排除法作答 2D 點撥：根據菱形的判定方法判斷，注意不要漏解3C 點撥：如圖所示，若ABC=60，則ABC為等邊三角形，所以AC=AB=32=8（cm），AO=AC=4cm因為ACBD，在RtAOB中，由勾股定理，得OB=4（cm），所以BD=2OB=8cm 二、4AB=BC 點撥：還可添加ACBD或ABD=CBD等 5點D在BAC的平分線上（或AE=AF）612cm；72cm2 點撥：如圖所示，過D作DEAB于E，因為ADBC，所以BAD+AB

12、C=180又因為BAD：ABC=1：2，所以BAD=60，因為AB=AD，所以ABD是等邊三角形，所以BD=AD=12cm所以AE=6cm在RtAED中，由勾股定理，得AE2+ED2=AD2，62+ED2=122，所以ED2=108，所以ED=6cm，所以S菱形ABCD=126=72（cm2）74；4 點撥：如圖所示，因為DE垂直平分AB，又因為DA=AB，所以DA=DB=4所以ABD是等邊三角形，所以BAD=60，由已知可得AE=2在RtAED中，AE2+DE2=AD2，即22+DE2=42，所以DE2=12，所以DE=2，因為ACBD=ABDE，即AC4=42，所以AC=4三、8解：四邊形

13、ABCD是菱形，因為四邊形ABCD中，ABCD，且AB=CD，所以四邊形ABCD是平行四邊形，又因為AB=BC，所以ABCD是菱形 點撥：根據已知條件，不難得出四邊形ABCD為平行四邊形，又AB=BC，即一組鄰邊相等，由菱形的定義可以判別該四邊形為菱形四、9解：四邊形PCOD是菱形理由如下：因為PDOC，PCOD，所以四邊形PCOD是平行四邊形又因為四邊形ABCD是矩形，所以OC=OD，所以平行四邊形PCOD是菱形20.4 正方形的判定一、選擇題 1下列命題正確的是（ ） A兩條對角線互相平分且相等的四邊形是菱形 B兩條對角線互相平分且垂直的四邊形是矩形 C兩條對角線互相垂直，平分且相等的四邊

14、形是正方形 D一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形 2矩形四條內角平分線能圍成一個（ ）A平行四邊形 B矩形 C菱形 D正方形 二、填空題 3已知點D，E，F分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點，連結DE，EF，要使四邊形ADEF是正方形，還需要添加條件_4如圖1所示，直線L過正方形ABCD的頂點B，點A，C到直線L的距離分別是1和2，則正方形ABCD的邊長是_ 圖1 圖2 圖3 5如圖2所示，四邊形ABCD是正方形，點E在BC的延長線上，BE=BD且AB=2cm，則E的度數是_，BE的長度為_6如圖3所示，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，BE=1，F為AB上一點，AF=2，P為AC上

15、一動點，則當PF+PE取最小值時，PF+PE=_ 三、解答題7如圖所示，在RtABC中，CF為ACB的平分線，FDAC于D，FEBC于點E，試說明四邊形CDFE是正方形 四、思考題 8已知如圖所示，在正方形ABCD中，E，F分別是AB，BC邊上的點，且AE=BF，請問： （1）AF與DE相等嗎？為什么？（2）AF與DE是否垂直？說明你的理由 參考答案 一、1C 點撥：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形是矩形，既是菱形又是矩形的四邊形一定是正方形，故選C 2D 點撥：由題意畫出圖形后，利用“一組鄰邊相等的矩形是正方形”來判定 二、3ABC

16、是等腰直角三角形且BAC=90 點撥：還可添加ABC是等腰三角形且四邊形ADEF是矩形或BAC=90且四邊形ADEF是菱形等條件 4 點撥：觀察圖形易得兩直角三角形全等，由全等三角形的性質和勾股定理得正方形的邊長為=567.5；2cm 點撥：因為BD是正方形ABCD的對角線，所以DBC=45，AD=AB=2cm在RtBAD中，由勾股定理得AD2+AB2=BD2，即22+22=BD2，所以BD=2cm，所以BE=BD=2（cm），又因為BE=BD，所以E=EDB=（180-45）=67.56 點撥：如圖所示，作F關于AC的對稱點G連結EG交AC于P，則PF+PE=PG+PE=GE為最短過E作EH

17、AD在RtGHE中，HE=4，HG=AG-AH=AF-BE=1，所以GE=，即PF+PE=三、7解：因為FDC=FEC=BCD=90，所以四邊形CDFE是矩形，因為CF平分ACB，FEBC，FDAC，所以FE=FD，所以矩形CDFE是正方形 點撥：本題先說明四邊形是矩形，再求出有一組鄰邊相等，還可以先說明其為菱形，再求其一個內角為90四、8解：（1）相等理由：在ADE與BAF中，AD=AB，DAE=ABF=90，AE=BF，所以ADEBAF（SAS），所以DE=AF（2）AF與DE垂直理由：如圖，設DE與AF相交于點O因為ADEBAF，所以AED=BFA又因為BFA+EAF=90，所以AEO+

18、EAO=90，所以EOA=90，所以DEAF20.5 等腰梯形的判定一、選擇題 1下列結論中，正確的是（ ） A等腰梯形的兩個底角相等 B兩個底角相等的梯形是等腰梯形 C一組對邊平行的四邊形是梯形 D兩條腰相等的梯形是等腰梯形2如圖所示，等腰梯形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，則圖中全等三角形有（ ）A2對 B3對 C4對 D5對 3課外活動課上，老師讓同學們制作了一個對角線互相垂直的等腰梯形形狀的風箏，其面積為450cm，則兩條對角線所用的竹條長度之和至少為（ ） A30cm B30cm C60cm D60cm 二、填空題 4等腰梯形上底，下底和腰分別為4，10，5，則梯形的高為_，對

19、角線為_ 5一個等腰梯形的上底長為5cm，下底長為12cm，一個底角為60，則它的腰長為_cm，周長為_cm 6在四邊形ABCD中，ADBC，但ADBC，若使它成為等腰梯形，則需要添加的條件是_（填一個正確的條件即可） 三、解答題7如圖所示，AD是BAC的平分線，DEAB，DE=AC，ADEC求證：四邊形ADCE是等腰梯形 四、思考題8如圖所示，四邊形ABCD中，有AB=DC，B=C，且ADBC，四邊形ABCD是等腰梯形嗎？為什么？參考答案 一、1D 點撥：梯形的底角分為上底上的角和下底上的角，因此在等腰梯形的性質和判別方法中必須強調同一底上的兩個內角（指上底上的兩個內角或下底上的兩個內角），

20、否則就會出現錯誤，因此A，B選項都不正確，而C選項中漏掉了限制條件另外一組對邊不平行，若平行該四邊形就形成了平行四邊形了，因此應選D2B 點撥：因為ABCDCB，BADCDA，AOBDOC，所以共有3對全等的三角形3C 點撥：設該等腰梯形對角線長為Lcm，因為兩條對角線互相垂直，所以梯形面積為L2=450，解得L=30，所以所用竹條長度之和至少為2L=230=60（cm）二、44： 點撥：如圖所示，連結BD，過A，D分別作AEBC，DFBC，垂足分別為E，F易知BAECDF，在四邊形AEFD為矩形，所以BE=CF=3，AD=EF=4在RtCDF中，FC2+DF2=CD2，即32+DF2=52，

21、所以DF=4，在RtBFD中，BF2+DF2=BD2，即72+42=BD2，所以BD=57；31 點撥：如圖所示，過點D作DEAB交BC于E因為ADBC，ABDE，所以四邊形ABED是平行四邊形所以BE=AD=5（cm），AB=DE又因為AB=CD，所以DE=DC，又因為C=60，所以DEC是等邊三角形，所以DE=DC=EC=7（cm），所以周長為5+12+7+7=31（cm） 6AB=CD（或A=D，或B=C，或AC=BD，或A+C=180，或B+D=180）三、7證明：因為ABED，所以BAD=ADE又因為AD是BAC的平分線，所以BAD=CAD，所以CAD=ADE，所以OA=OD又因為A

22、C=DE，所以AC-OA=DE-OD即OC=OE，所以OCE=OEC，又因為AOD=COE，所以CAD=OCE所以ADCE，而ADCE，故四邊形ADCE是梯形又因為CAD=ADE，AD=DA，AC=DE，所以DACADE，所以DC=AE，所以四邊形ADCE是等腰梯形 點撥：證明一個四邊形是等腰梯形時，應先證其是梯形而后再證兩腰相等或同一底上的兩個角相等四、8解：四邊形ABCD是等腰梯形理由：延長BA，CD，相交于點E，如圖所示，由B=C，可得EB=EC又AB=DC，所以EB-AB=EC-DC，即AE=DE，所以EAD=EDA因為E+EAD+EDA=180，E+B+C=180，所以EAD=B故A

23、DBC又ADBC，所以四邊形ABCD是梯形又AB=DC，所以四邊形ABCD是等腰梯形 點撥：由題意可知，只要推出ADBC，再由ADBC就可知四邊形ABCD為梯形，再由AB=DC，即可求得此四邊形是等腰梯形，由B=C聯(lián)想到延長BA，CD，即可得到等腰三角形，從而使ADBC華東師大版數學八年級（下）第20章 平行四邊形的判定測試（答卷時間：90分鐘，全卷滿分：100分）姓名 得分_一、認認真真選，沉著應戰(zhàn)！（每小題3分，共30分）1. 正方形具有菱形不一定具有的性質是 ( ) （A）對角線互相垂直 （B）對角線互相平分 （C）對角線相等 （D）對角線平分一組對角2. 如圖(1)，EF過矩形ABCD

24、對角線的交點O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD的面積的（ ）HFEDCBA（A） （B） （C） （D）FBEDCA (1) (2) (3)3在梯形中，那么可以等于（ ）（）4：5：6：3 （）6：5：4：3 （）6：4：5：3 （）3：4：5：64如圖(2)，平行四邊形ABCD中，DEAB于E，DFBC于F，若的周長為48，DE5，DF10，則的面積等于( )（）87.5 （）80 （C）75 （D）72.55 A、B、C、D在同一平面內，從ABCD; AB=CD; BCAD; BC=AD這四個條件中任選兩個，能使四邊形ABCD是平行四邊形的選法有（ ） （）3

25、種 （）4種 （C）5種 （D）6種6如圖(3)，、分別是各邊的中點，是高，如果，那么 的長為（ ）（） （） （） （）不能確定7. 如圖（4）：E是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一點，且BEBC，P為CE上任意一點，PQBC于點Q，PRBE于點R，則PQPR的值是（ ）（A） （B） （C） （D）8如圖（5），在梯形中，平分，如果這個梯形的周長為30，則的長 （ ）（）4 （）5 （）6 （）7EDCBARQP（4）DCBA（5）9右圖是一個利用四邊形的不穩(wěn)定性制作的菱形晾衣架已知其中每個菱形的邊長為20cm，墻上懸掛晾衣架的兩個鐵釘A、B之間的距離為20cm，則1等于( ) （

26、A）90 （）60 （）45 （）3010某校數學課外活動探究小組，在老師的引導下進一步研究了完全平方公式結合實數的性質發(fā)現以下規(guī)律：對于任意正數a、b， 都有a+b2成立某同學在做一個面積為3 600cm2，對角線相互垂直的四邊形風箏時，運用上述規(guī)律，求得用來做對角線用的竹條至少需要準備xcm 則x的值是（ ） (A) 120 (B) 60 (C) 120 (D) 60二、仔仔細細填，記錄自信！(每小題2分，共20分)11一個四邊形四條邊順次是a、b、c、d，且，則這個四邊形是_ 12在四邊形中，對角線、交于點，從（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）平分這六個條件中，選取三個推出四

27、邊形是菱形如（1）（2）（5）是菱形，再寫出符合要求的兩個： 是菱形； 是菱形 13. 如圖，已知直線把分成兩部分，要使這兩部分的面積相等，直線所在位置需滿足的條件是_.（只需填上一個你認為合適的條件）ABCD (第13題) (第16題)14. 梯形的上底長為，過上底的一頂點引一腰的平行線，與下底相交，所構成的三角形周長為，那么梯形的周長為_。 15. 已知菱形的周長為40cm,兩條對角線之比為3：4，則菱形的面積為_. 16如圖，在梯形中，對角線，且cm，cm，則此梯形的高為cmNMDCBA17. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC,B與C互余，AD=5,BC=13,M、N分別為AD、BC的中

28、點，則MN的長為_.ADCB (第17題) (第18題) (第19題)18. 如圖，若將四根木條釘成的矩形木框變形為平行四邊形ABCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則這個平行四邊形的一個最小內角的值等于 . 19. 如圖，菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值是 20如圖，正方形是由k個相同的矩形組成，上下各有2個水平放置的矩形，中間豎放若干個矩形，則k= .三、平心靜氣做，展示智慧！NMFEDCBA21(8分)已知：如圖，中，、分別是、上的點，、 分別是、的中點。求證：四邊形是平行四邊形。22(8分)如圖所示，已知等腰梯

29、形ABCD中，ADBC， AB=CD，點E為梯形外一點，且AE=DE。求證：BE=CEABECD23(10分)如圖，在矩形ABCD中，F是BC邊上的一點，AF的延長線交DC的延長線于G，DEAG于E，且DEDC，根據上述條件，請你在圖中找出一對全等三角形，并證明你的結論。24(12分)如圖，正方形的邊在正方形的邊上，連結、（1）觀察猜想與之間的大小關系，并證明你的結論；（2）圖中是否存在通過旋轉能夠互相重合的兩個三角形？若存在，說出旋轉過程；若不存在，請說明理由AEFGCBD25(12分)如圖1、 2，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊經過點D，且直角頂點E在

30、AB邊上滑動（點E不與點A，B重合），另一條直角邊與CBM的平分線BF相交于點F。如圖1，當點E在AB邊的中點位置時：通過測量DE，EF的長度，猜想DE與EF滿足的數量關系是 ；連接點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數量關系是 ；請證明你的上述兩猜想。如圖2，當點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N，使得NE=BF，進而猜想此時DE與EF有怎樣的數量關系。圖1圖2參考答案一、15：CBABB 610：AACBA二、 11平行四邊形12略13略1433159616 4.817. 41819208三、21提示：先證四邊形為平行四邊形，再證22證明：在等腰梯形ABCD中，AB=

31、CD，BAD=CDA，EA=ED，EAD=EDA，EAB=EDC在ABE和DCE中，AB=DC，EAB=EDC，EA=ED，ABEDCE，EB=EC23證ABFDEA24（1）證明：在和中，四邊形和四邊形都是正方形，（2）由（1）證明過程知，存在，是Rt和Rt將Rt繞點順時針旋轉，可與Rt完全重合25DE=EF；NE=BF。證明：四邊形ABCD是正方形，N，E分別為AD，AB的中點，DN=EBBF平分CBM，AN=AE，DNE=EBF=90+45=135NDE+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEFDNEEBF DE=EF，NE=BF 在DA邊上截取DN=EB（或截取AN=AE），連結NE，點N就使得NE=BF成立（圖略） 此時，DE=EF