《2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.1 空間向量及其加減運(yùn)算 3.1.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算練習(xí)（含解析）新人教A版選修2-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.1 空間向量及其加減運(yùn)算 3.1.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算練習(xí)（含解析）新人教A版選修2-1（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、3.1.1　空間向量及其加減運(yùn)算3.1.2　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 1.已知空間四邊形ABCD中,G為CD的中點,則+(+)等于(　A　) (A) (B) (C) (D) 解析:+(+)=+×(2)=+=.故選A. 2.下列命題中正確的個數(shù)是(　A　) ①若a與b共線,b與c共線,則a與c共線; ②向量a,b,c共面,即它們所在的直線共面; ③若a∥b,則存在唯一的實數(shù)λ,使a=λb. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:①當(dāng)b=0時,a與c不一定共線,故①錯誤; ②中a,b,c共面時,它們所在的直線平行于同一平面,不一定在同一平面內(nèi),

2、故②錯誤;③當(dāng)b為零向量,a不為零向量時,λ不存在.故 選A. 3.在平行六面體ABCDEFGH中,若=x-2y+3z,則x+y+z等于(　C　) (A) (B) (C) (D)1 解析:=++,則x=1,y=-,z=,故選C. 4.已知空間向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點是(　A　) (A)A,B,D (B)A,B,C (C)B,C,D (D)A,C,D 解析:因為=+=2a+4b=2,所以A,B,D三點共線.故選A. 5.若空間中任意四點O,A,B,P滿足=m+n,其中m+n=1,則(　A　)

3、 (A)P∈AB (B)P?AB (C)點P可能在直線AB上 (D)以上都不對 解析:因為m+n=1,所以m=1-n, 所以=(1-n)+n, 即-=n(-),即=n, 所以與共線.又有公共起點A,所以P,A,B三點在同一直線上,即P∈AB.故選A. 6.若a與b不共線,且m=a+b,n=a-b,p=a,則(　D　) (A)m,n,p共線 (B)m與p共線 (C)n與p共線 (D)m,n,p共面 解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m與n不共線,所以m,n,p共面. 7.已知i,j,k是不共面向量,a=2

4、i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三個向量共面,則實數(shù)λ等于(　D　) (A) (B)9 (C) (D) 解析:因為a,b,c三向量共面, 所以存在實數(shù)m,n,使得c=ma+nb, 即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k). 所以所以λ=. 8.給出下列命題: ①若A,B,C,D是空間任意四點,則有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共線的充要條件;③若,共線,則AB∥CD;④對空間任意一點O與不共線的三點A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),則P,A,B,C四點共面.其中不正確

5、命題的個數(shù)是(　C　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:顯然①正確;若a,b共線,則|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=||a|-|b||,故②錯誤;若,共線,則直線AB,CD可能重合,故③錯誤;只有當(dāng)x+y+z=1時,P,A,B,C四點才共面,故④錯誤.故選C. 9.下列命題: ①空間向量就是空間中的一條有向線段; ②不相等的兩個空間向量的模必不相等; ③兩個空間向量相等,則它們的起點相同,終點也相同; ④向量與向量的長度相等. 其中真命題有　　 　　.? 解析:①假命題,有向線段只是空間向量的一種表示形式,但不能把二者完全等同起來. ②假命題,不相

6、等的兩個空間向量的模也可以相等,只要它們的方向不相同即可. ③假命題,當(dāng)兩個向量的起點相同,終點也相同時,這兩個向量必相等,但兩個向量相等卻不一定有相同的起點和終點. ④真命題,與僅是方向相反,它們的長度是相等的. 答案:① 10.在直三棱柱ABCA1B1C1中,若=a,=b,=c,則=　　　　.? 解析:如圖, =- =-=--(-) =-c-(a-b)=-c-a+b. 答案:-c-a+b 11.已知點G是△ABC的重心,O是空間任一點,若++=λ,則λ的值為　　 　　.? 解析:連接CG并延長交AB于D,則=2, 所以-=2(-), 即3=2+.又2=+,

7、 所以3=++. 因此,λ的值為3. 答案:3 12.有下列命題: ①若∥,則A,B,C,D四點共線; ②若∥,則A,B,C三點共線; ③若e1,e2為不共線的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,則a∥b; ④若向量e1,e2,e3是三個不共面的向量,且滿足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,則k1=k2=k3=0. 其中是真命題的序號是　　 　　(把所有真命題的序號都填上).? 解析:根據(jù)共線向量的定義,若∥,則AB∥CD或A,B,C,D四點共線,故①錯;∥且AB,AC有公共點A,所以②正確;由于a=4e1-e2= -4·(-e1+e2)=-4b,所以a∥b

8、.故③正確;易知④也正確. 答案:②③④ 13.如圖所示,已知幾何體ABCDA1B1C1D1是平行六面體. (1)化簡++,并在圖中標(biāo)出其結(jié)果; (2)設(shè)M是底面ABCD的中心,N是側(cè)面BCC1B1對角線BC1上的分點,設(shè)=α+β+γ,求α,β,γ的值. 解:(1)取DD1的中點G,過點G作DC的平行線GH,使GH=DC,連接AH (如圖), 則++=. (2)因為M是底面ABCD的中心,N是側(cè)面BCC1B1對角線BC1上的分點, 所以=+=+ =(-)+(+) =++, 所以α=,β=,γ=. 14.如圖,H為四棱錐PABCD的棱PC的三等分點,且PH=HC

9、,點G在AH上,AG=mAH.四邊形ABCD為平行四邊形,若G,B,P,D四點共面,求實數(shù)m的值. 解:連接BD,BG. 因為=-且=, 所以=-. 因為=+, 所以=+-=-++. 因為=, 所以==(-++) =-++. 又因為=-, 所以=-++. 因為=m, 所以=m=-++. 因為=-+=-+, 所以=(1-)+(-1)+. 又因為B,G,P,D四點共面, 所以1-=0, 即m=. 15.求證:四面體中連接對棱中點的三條直線交于一點且互相平分. 已知:如圖所示,在四面體ABCD中,E,F,G,H,P,Q分別是所在棱的中點.求證:EF,GH

10、,PQ相交于一點O,且O為它們的中點. 證明:因為E,G分別為AB,AC的中點, 所以EGBC. 同時,HFBC,所以EGHF. 從而四邊形EGFH為平行四邊形,故其對角線EF,GH相交于一點O,且O為它們的中點.只要能證明向量=-,就可以說明P,O,Q三點共線且O為PQ的中點. 事實上,=+,=+. 因為O為GH的中點, 所以+=0. 又因為GPCD,QHCD, 所以=,=. 所以+=+++=0. 所以=-. 故PQ經(jīng)過O點,且O為PQ的中點. 所以EF,GH,PQ相交于一點O,且O為它們的中點. 16.已知正方體ABCDA1B1C1D1的中心為O,則

11、在下列各結(jié)論中正確的結(jié)論共有(　C　) ①+與+是一對相反向量; ②-與-是一對相反向量; ③+++與+++是一對相反向量; ④-與-是一對相反向量. (A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個 解析:利用圖形及向量的運(yùn)算可知②是相等向量,①③④是相反向量.故選C. 17.若P,A,B,C為空間四點,且有=α+β,則α+β=1是A,B,C三點共線的(　C　) (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件 解析:若α+β=1,則-=β(-),即=β,顯然A,B,C三點共線;若A,B,C三點共線,則存在實數(shù)λ,使

12、=λ,故-=λ(-),整理得=(1+λ)-λ,令α=1+λ,β=-λ,則α+β=1.故選C. 18.已知A,B,C三點共線,則對空間任一點O,存在三個不為零的實數(shù)λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值為　　 　　.? 解析:因為A,B,C三點共線, 所以存在惟一實數(shù)k,使=k, 即-=k(-), 所以(k-1)+-k=0, 又λ+m+n=0, 令λ=k-1,m=1,n=-k,則λ+m+n=0. 答案:0 19.如圖所示,在四面體OABC中,=a,=b,=c,D為BC的中點,E為AD的中點,則=　　　 　(用a,b,c表示).? 解析:=+=a+ =a+(

13、-)=a+ =a+×(+) =a+b+c. 答案:a+b+c 20.如圖所示,已知四邊形ABCD是平行四邊形,點P是ABCD所在平面外的一點,連接PA,PB,PC,PD.設(shè)點E,F,G,H分別為△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心. (1)試用向量方法證明E,F,G,H四點共面; (2)試判斷平面EFGH與平面ABCD的位置關(guān)系,并用向量方法證明你的判斷. (1)證明:分別連接PE,PF,PG,PH并延長, 交對邊于點M,N,Q,R,連接MN,NQ,QR,RM, 因為E,F,G,H分別是所在三角形的重心, 所以M,N,Q,R是所在邊的中點,且=, =,=, =. 由題意知四邊形MNQR是平行四邊形, 所以=+=(-)+(-) =(-)+(-) =(+). 又=-=-=. 所以=+, 由共面向量定理知,E,F,G,H四點共面. (2)解:平行. 證明如下:由(1)得=, 所以∥, 所以∥平面ABCD. 又=-=-=, 所以∥. 即EF∥平面ABCD. 又因為EG∩EF=E, 所以平面EFGH與平面ABCD平行. - 10 -