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1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(A)1填空題(1)若在區(qū)域上的兩個混合偏導(dǎo)數(shù)， ，則在上， 。(2)函數(shù)在點處可微的 條件是在點處的偏導(dǎo)數(shù)存在。(3)函數(shù)在點可微是在點處連續(xù)的 條件。2求下列函數(shù)的定義域(1)；(2)3求下列各極限(1)； (2)； (3) 4設(shè)，求及。5求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(1)；(2)；(3)。6設(shè)，求全導(dǎo)數(shù)。7設(shè)，求。8曲線，在點(2,4,5)處的切線對于軸的傾角是多少？9求方程所確定的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。10設(shè)，求所有二階偏導(dǎo)數(shù)。11設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求，。12設(shè)，求。13設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求，。14設(shè)，求全微分。15求函數(shù)在點的全微分。16利用全微分求的近似值。

2、17求拋物面與拋物柱面的交線上的點處的切線方程和平面方程。18求曲面上點處的切平面方程和法線方程。19求曲線，上點，使在該點處曲線的切線平行于平面。20求函數(shù)的極值。21求函數(shù)的極值。22要建造一個容積為10立方米的無蓋長方體貯水池，底面材料單價每平方米20元，側(cè)面材料單價每平方米8元。問應(yīng)如何設(shè)計尺寸，方便材料造價最?。?(B)1求下列函數(shù)的定義域(1)；(2)2(1)設(shè)，求，。 (2)設(shè)，求3求下列函數(shù)的極限(1)；(2) 4設(shè)，問是否存在？5討論函數(shù)的連續(xù)性，其中。6二元函數(shù)在點處：連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在；不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在。7設(shè)，求，。8設(shè)，求，。9

3、設(shè)，求，。10設(shè)，可微，求。11設(shè)，求，。12設(shè)，求。13設(shè)可微，求全微分。14設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，其中具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求，并由此求和。15求的偏導(dǎo)數(shù)。16設(shè)，求，。17設(shè)，求。18求函數(shù)在點處沿從點到點方向的方向?qū)?shù)。19求函數(shù)在點沿，在此 點的切線方向上的方向?qū)?shù)。20求函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù)。21判斷題：(簡單說明理由)(1)就是在處沿軸的方向?qū)?shù)。 (2)若在處的偏導(dǎo)數(shù)，存在，則沿任一方向的方向?qū)?shù)均存在。22證明曲面上任意一點的切平面在坐標(biāo)軸上的截距的平方為常數(shù)。23證明：球面：上任意一點處的法線都經(jīng)過球心。24求橢球面上的一點處的切平面與平面的交角。25設(shè)，都是，的函數(shù)

4、，的各偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，證明： 26問函數(shù)在處沿什么方向的方向?qū)ё畲?，并求此方向?qū)?shù)的最大值。27求內(nèi)接于橢球面的最大長方體的體積。28某公司通過報紙和電視傳媒做某種產(chǎn)品的促銷廣告，根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入與報紙廣告費及電視廣告費(單位：萬元)之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗公式：，在限定廣告費為1.5萬元的情況下，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略。29求函數(shù)的階麥克勞林公式，并寫出余項。30利用函數(shù)的2階泰勒公式，計算的近似值。 (C)1證明。2設(shè)，其中在點，鄰域內(nèi)連續(xù)，問(1)在什么條件下，偏導(dǎo)數(shù)，存在；(2)在什么條件下，在處可微。3設(shè)而為由方程所決定的函數(shù)，且是可微的，試求。4設(shè)由確定，求。5從方程組中求出，

5、。6設(shè)，且，試確定常數(shù)，使函數(shù)能滿足方程：。7證明：旋轉(zhuǎn)曲面上任一點處的法線與旋轉(zhuǎn)軸相交。8試證曲面()上任何點處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于。9拋物面被平面截成一橢圓，求原點到這橢圓的最長與最短距離。10設(shè)軸正向到方向的轉(zhuǎn)角為，求函數(shù)在點沿方向的方向?qū)?shù)，并分別確定轉(zhuǎn)角，使這導(dǎo)數(shù)有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(A)1填空題(1)若在區(qū)域上的兩個混合偏導(dǎo)數(shù)， 連續(xù) ，則在上， 。(2)函數(shù)在點處可微的 必要 條件是在點處的偏導(dǎo)數(shù)存在。 y O (0,1) x圖1(3)函數(shù)在點可微是在點處連續(xù)的 充分 條件。2求下列函數(shù)的定義域(1)解：設(shè)定義域

6、為，由和，即，得，如圖1所示(2)解：設(shè)定義域為，由，即，不同時為零，且，即 ，得。3求下列各極限(1) (2)解：原式 解：原式 (3) 解：原式 4設(shè)，求及解：，5求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(1)解： 類似地(2)解： 同理可證得：(3)解： 6設(shè)，求全導(dǎo)數(shù)。解：， ， 依復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，全導(dǎo)數(shù)為 7設(shè)，求。解： 8曲線，在點(2,4,5)處的切線對于軸的傾角是多少？解：，故。9求方程所確定的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。解：關(guān)于求導(dǎo)，得到，即關(guān)于求導(dǎo)，有，即。10設(shè)，求所有二階偏導(dǎo)數(shù)。解：先求一階偏導(dǎo)數(shù)，得，再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得 ， ， ， 11設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求，。解一：記，則 ， 當(dāng)時，便得， 。解

7、二：（提示）直接對方程兩邊求偏導(dǎo)數(shù)，并明確是、的函數(shù)，即可得，。12設(shè)，求。解：令，則，則 。13設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求，。解：方程兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)，有 ，即 解得 類似地，方程兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)，解得 再求二階混合偏導(dǎo)數(shù)，得 把上述的結(jié)果代入，便得：。14設(shè)，求全微分。解：由于，所以全微分為 。15求函數(shù)在點的全微分。解：， 所以。16利用全微分求的近似值。解：設(shè)，則全微分 由近似關(guān)系，得 上式中取，得 因此，所求近似值。17求拋物面與拋物柱面的交線上的點處的切線方程和平面方程。解：交線方程，只要取作參數(shù)，得參數(shù)方程： 則有，于是交線在點處的切線向量為。切線向量為法平面方程為，即。18求曲面上

8、點處的切平面方程和法線方程。解：記，則，于是曲面在點處的法線向量為從而，切平面方程為，即，法線方程為。19求曲線，上點，使在該點處曲線的切線平行于平面。解：曲線在點處的切線方程為又切線與平面平行，即切線的方向向量和平面的法向量垂直，應(yīng)有，即，得所以點的坐標(biāo)為。20求函數(shù)的極值。解：解方程組，求得駐點，由于，所以在點處，函數(shù)取得極大值，極大值為。21求函數(shù)的極值。解：解方程組，得駐點。由于，在點處，所以函數(shù)在點處取得極小值，極小值為。22要建造一個容積為10立方米的無蓋長方體貯水池，底面材料單價每平方米20元，側(cè)面材料單價每平方米8元。問應(yīng)如何設(shè)計尺寸，方便材料造價最??？解：設(shè)水池的長為米，寬為

9、米，高為米，則材料造價為，(，)，且，必須滿足， 從解出代入，得，(，)，于是問題就成為求當(dāng)，時的最小值，由極值的必要條件，有解此方程組得。據(jù)題意存在最小造價，而，是唯一駐點，所以當(dāng)，時，水池的材料造最小。(B)1求下列函數(shù)的定義域(1)解：設(shè)定義域。使有意義的區(qū)域為：，即，使有意義的區(qū)域為：，即。故定義域。如圖2 (2)解：設(shè)定義域為。由根式性質(zhì)可知，必須，且，即或解得：0 0 1 y y 1.5 x x 3 0圖2。如圖32(1)設(shè)，求，。解：設(shè)，則得由此從而(2)設(shè)，求解：.3求下列函數(shù)的極限(1)解：原式(2) 解：原式4設(shè)，問是否存在？解：取沿直線的途徑，當(dāng)時，有，沿拋物線的途徑，當(dāng)

10、時，有可見，沿兩條不同的途徑，函數(shù)的極限不同，故極限不存在。5討論函數(shù)的連續(xù)性，其中。解：在處，所以在處連續(xù)若，則取路徑，則因此，間斷點為直線，除以外的其他點。6二元函數(shù)在點處：連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在；不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在。解：應(yīng)選事實上，由于，隨的值不同而改變，所以極限不存在，因而在點處不連續(xù)，又，類似地，所以在處的偏導(dǎo)數(shù)存在。7設(shè)，求，。解：令，于是，得，。8設(shè)，求，。解：，。9設(shè)，求，。解：，。10設(shè)，可微，求。解：，先求，所以。11設(shè)，求，。解：關(guān)于求導(dǎo)，而，得即 (*)得：相仿地，可得。12設(shè)，求。解：令，于是在處。13設(shè)可微，求全微分。解： 。14

11、設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，其中具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求，并由此求和。解：方程兩邊求全微分，得，即，即 ，當(dāng)時，解出 由此得到，。15求的偏導(dǎo)數(shù)。解：令，則，是，的復(fù)合函數(shù)。，于是，16設(shè)，求，。解：所給方程組確定兩個一元隱函數(shù)：和，將所給方程的兩邊對求導(dǎo)，得在的條件下，。17設(shè)，求。解：， .18求函數(shù)在點處沿從點到點方向的方向?qū)?shù)。解：，,，。因為 所以。19求函數(shù)在點沿，在此 點的切線方向上的方向?qū)?shù)。解：因曲線過點，所以，切線的方向余弦為，又，類似地，故。20求函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù)。解：，由，曲面的外側(cè)法線向量為則 。21判斷題：(簡單說明理由)(1)就是在處沿軸的方向?qū)?shù)。解：錯。因

12、前者是雙側(cè)極限，后者是單側(cè)極限。(2)若在處的偏導(dǎo)數(shù)，存在，則沿任一方向的方向?qū)?shù)均存在。解：錯。由于偏導(dǎo)數(shù)僅刻畫了在處沿軸或軸的變化率，要確定函數(shù)處沿任一方向的變化率，還應(yīng)要求此函數(shù)在處可微。22證明曲面上任意一點的切平面在坐標(biāo)軸上的截距的平方為常數(shù)。證：令。由于曲面的法向量是，故曲面上任一點處法線方向向量為，設(shè)為點處切平面上任一點，則切平面方程為，即，其截距式為，由此得截距的平方和為：。23證明：球面：上任意一點處的法線都經(jīng)過球心。證：令，則，法線方程為：，于是任一法線都過原點。24求橢球面上的一點處的切平面與平面的交角。解：設(shè)，則法向量為，在處的法向量。又平面的法向量，由平面夾公式：，即

13、。25設(shè)，都是，的函數(shù)，的各偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，證明：。證： 26問函數(shù)在處沿什么方向的方向?qū)ё畲?，并求此方向?qū)?shù)的最大值。解： 是方向?qū)?shù)最大值的方向。 是此方向?qū)?shù)的最大值。27求內(nèi)接于橢球面的最大長方體的體積。解：設(shè)是內(nèi)接長方體在第一褂限內(nèi)的頂點，由對稱性，長方體的體積為： (，) (*1)由于在橢球面上，故，應(yīng)滿足條件：，于是問題即求函數(shù)(*1)在約束條件（*2）下的條件極限問題。引入函數(shù)令得：，得唯一解：，由題意，所求的最大體積存在故以點(,)為一個頂點所作的對稱于坐標(biāo)面的內(nèi)接于橢球面的長方體的體積最大。最大體積為。28某公司通過報紙和電視傳媒做某種產(chǎn)品的促銷廣告，根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售

14、收入與報紙廣告費及電視廣告費(單位：萬元)之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗公式：，在限定廣告費為1.5萬元的情況下，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略。解；作函數(shù)：令得，得唯一解：，。又由題意，存在最優(yōu)策略，所以將1.5萬全部投到電視廣告的方案最好。29求函數(shù)的階麥克勞林公式，并寫出余項。解：，同理，所以其中（）。30利用函數(shù)的2階泰勒公式，計算的近似值。解：在點處將展開成三階泰勒公式：，所以故。(C)1證明。證明：因為，即 所以 ，取 當(dāng)時，就有所以。2設(shè)，其中在點，鄰域內(nèi)連續(xù)，問(1)在什么條件下，偏導(dǎo)數(shù)，存在；(2)在什么條件下，在處可微。分析：從定義出發(fā)，進行推演解：(1) 若，則偏導(dǎo)數(shù)，存在，且。(2) ，故

15、若，當(dāng)時，有 所以當(dāng)時，在處可微，且。3設(shè)而為由方程所決定的函數(shù)，且是可微的，試求。分析：可依隱函數(shù)求導(dǎo)法則求出。解；由，得 (1)由，得 (2)將(2)代入(1)，得 。4設(shè)由確定，求。解：對兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得，解得： (1) 原式兩邊對求導(dǎo)，得 解得 (2)(1)式兩邊對求導(dǎo)得以(2)式代入即得：5從方程組中求出，。解：將，看作，的函數(shù)，將方程組對求偏導(dǎo)，得 (*)解得，再將方程組(*)對求偏導(dǎo)數(shù)，得解得： 6設(shè)，且，試確定常數(shù)，使函數(shù)能滿足方程：。解：， ， ，代入方程得故必須，。7證明：旋轉(zhuǎn)曲面上任一點處的法線與旋轉(zhuǎn)軸相交。證明：因為，所以，在處法線方程為： 當(dāng)時，即法線與旋轉(zhuǎn)軸的交點為

16、。8試證曲面()上任何點處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于。證明：設(shè)，則，在曲面上任取一點，則在點處的切平面方程為，即，化為截距式，得。所以截距之和為。9拋物面被平面截成一橢圓，求原點到這橢圓的最長與最短距離。解：設(shè)橢圓上點的坐標(biāo)為，則原點到橢圓上這一點的距離平方為，其中同時滿足和，令，由的前兩個方程知。將代入和得和，再由解得，由題意這種距離的最大值最小值一定存在，所以必在這兩點處取得，因為所以為最長距離；為最短距離。10設(shè)軸正向到方向的轉(zhuǎn)角為，求函數(shù)在點沿方向的方向?qū)?shù)，并分別確定轉(zhuǎn)角，使這導(dǎo)數(shù)有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。解： 故所求的方向?qū)?shù)為，令，得駐點，因為，所以為極大值點。因為，所以為極小值點。比較在、的值1，1。知：當(dāng)時，有最大值，當(dāng)時，有最小值。令，設(shè)或故當(dāng)或時，。注：若只需求方向?qū)У淖畲笾导捌滢D(zhuǎn)角，則可用梯度來求，取得最大值的方向為在點處的方向，由，得，的最大值。29