《2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其表示 第2節(jié)（第1課時(shí)）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用習(xí)題 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其表示 第2節(jié)（第1課時(shí)）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用習(xí)題 理（含解析）新人教A版（16頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用最新考綱1.了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次)；2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次)；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值，并會(huì)解決與之有關(guān)的方程(不等式)問題；4.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些簡單的實(shí)際問題.知 識(shí) 梳 理1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則：(1)若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若f(x)0，右側(cè)f(x)0x

2、0附近的左側(cè)f(x)0圖象形如山峰形如山谷極值f(x0)為極大值f(x0)為極小值極值點(diǎn)x0為極大值點(diǎn)x0為極小值點(diǎn)3.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)f(x)在a，b上有最值的條件如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步驟求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.微點(diǎn)提醒1.函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上遞增，則f(x)0，“f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條

3、件.2.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f(x0)0”是“函數(shù)f(x)在xx0處有極值”的必要不充分條件.3.求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)，需要分類討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值.4.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系.基 礎(chǔ) 自 測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.()(3)函數(shù)的極大值一定大于其極小值.()(4)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f(x0)0是x0為極值點(diǎn)的充

4、要條件.()(5)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值.()解析(1)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則有f(x)0.(3)函數(shù)的極大值也可能小于極小值.(4)x0為f(x)的極值點(diǎn)的充要條件是f(x0)0，且x0兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)異號(hào).答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(選修22P32A4 改編)如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象，則f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4解析由題意知在x1處f(1)0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左負(fù)右正.答案A3.(選修22P32A5(4)改編)函數(shù)f(x)2xxln x的極值是()A. B. C.e D.e2解析因?yàn)閒(x)

5、2(ln x1)1ln x，令f(x)0，所以xe，當(dāng)f(x)0時(shí)，解得0xe；當(dāng)f(x)e，所以xe時(shí)，f(x)取到極大值，f(x)極大值f(e)e.答案C4.(2019青島月考)函數(shù)f(x)cos xx在(0，)上的單調(diào)性是()A.先增后減 B.先減后增C.單調(diào)遞增 D.單調(diào)遞減解析易知f(x)sin x1，x(0，)，則f(x)0，所以f(x)cos xx在(0，)上遞減.答案D5.(2017浙江卷)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)yf(x)的圖象可能是()解析設(shè)導(dǎo)函數(shù)yf(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左往右依次為x1，x2，x3，由導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象易得當(dāng)x(，x

6、1)(x2，x3)時(shí)，f(x)0(其中x10x2x3)，所以函數(shù)f(x)在(，x1)，(x2，x3)上單調(diào)遞減，在(x1，x2)，(x3，)上單調(diào)遞增，觀察各選項(xiàng)，只有D選項(xiàng)符合.答案D6.(2018豫南九校考評(píng))若函數(shù)f(x)x(xc)2在x2處有極小值，則常數(shù)c的值為()A.4 B.2或6C.2 D.6解析函數(shù)f(x)x(xc)2的導(dǎo)數(shù)為f(x)3x24cxc2，由題意知，在x2處的導(dǎo)數(shù)值為128cc20，解得c2或6，又函數(shù)f(x)x(xc)2在x2處有極小值，故導(dǎo)數(shù)在x2處左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，而當(dāng)c6時(shí)，f(x)x(x6)2在x2處有極大值，故c2.答案C第1課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)

7、一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例1】 已知函數(shù)f(x)ax3x2(aR)在x處取得極值.(1)確定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，求函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間.解(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f(x)3ax22x，因?yàn)閒(x)在x處取得極值，所以f0，即3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)x(x1)(x4)ex.令g(x)0，即x(x1)(x4)0，解得1x0或x0，得單調(diào)遞增區(qū)間；(4)在定義域內(nèi)解不等式f(x)0)，當(dāng)f(x)0時(shí)，解得x，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)f(x)0時(shí)，解得0x0，則其在區(qū)間(，)上的解集為和，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.答案(1)D(2)，考點(diǎn)二討論函

8、數(shù)的單調(diào)性【例2】 (2017全國卷改編)已知函數(shù)f(x)ex(exa)a2x，其中參數(shù)a0.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)0，求a的取值范圍.解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)，且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，則f(x)e2x，在(，)上單調(diào)遞增.若a0，則由f(x)0，得xln .當(dāng)x時(shí)，f(x)0.故f(x)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)a0時(shí)，f(x)e2x0恒成立.若aa2e時(shí)，f(x)0.綜上，a的取值范圍是2e，0.規(guī)律方法1.(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.(2)劃分函數(shù)的單調(diào)

9、區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).2.個(gè)別導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不影響所在區(qū)間的單調(diào)性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0時(shí)取到)，f(x)在R上是增函數(shù).【訓(xùn)練2】 已知f(x)aln x，aR，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解因?yàn)閒(x)aln x，x(0，)，所以f(x)x.(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(0，)上為單調(diào)遞增函數(shù).(2)當(dāng)a0時(shí)，f(x)，則有當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，).綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，無單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞增

10、區(qū)間為(，).考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用多維探究角度1比較大小或解不等式【例31】 (1)已知函數(shù)yf(x)對(duì)于任意的x滿足f(x)cos xf(x)sin x1ln x，其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列不等式成立的是()A.ffC.ff D.ff(2)已知函數(shù)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有f(x)f(x)0，設(shè)F(x)，則不等式F(x)的解集為()A.(，1) B.(1，)C.(1，e) D.(e，)解析(1)令g(x)，則g(x).由解得x；由解得0x，所以gg，所以，即ff.(2)F(x)，又f(x)f(x)0，知F(x)0，F(xiàn)(x)在R上單調(diào)遞減.由

11、F(x)1，所以不等式F(x)0.h(x)ax2.(1)若函數(shù)h(x)在(0，)上存在單調(diào)減區(qū)間，則當(dāng)x0時(shí)，ax2有解.設(shè)G(x)，所以只要aG(x)min.又G(x)1，所以G(x)min1.所以a1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，).(2)由h(x)在1，4上單調(diào)遞減，當(dāng)x1，4時(shí)，h(x)ax20恒成立，則a恒成立，設(shè)G(x)，所以aG(x)max.又G(x)1，x1，4，因?yàn)閤1，4，所以，所以G(x)max(此時(shí)x4)，所以a.又當(dāng)a時(shí)，h(x)x2，x1，4，h(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)x4時(shí)等號(hào)成立.h(x)在1，4上為減函數(shù).故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.規(guī)律方法1.利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于

12、利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較大小.2.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：yf(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2)f(x)是單調(diào)遞增的充要條件是對(duì)任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f(x)不恒為零，應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解.(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.【訓(xùn)練3】 (1)已知f(x)是定義在區(qū)間(0，)內(nèi)的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且不等式xf(x)2f(x)恒成立，則()A.4f(1)f(2)

13、C.f(1)4f(2)(2)(2019淄博桓臺(tái)月考)若函數(shù)f(x)kxln x在區(qū)間(2，)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是()A.(，2 B.C.2，) D.解析(1)設(shè)函數(shù)g(x)(x0)，則g(x)g(2)，即，所以4f(1)f(2).(2)由于f(x)k，f(x)kxln x在區(qū)間(2，)上單調(diào)遞增，等價(jià)于f(x)k0在(2，)上恒成立，由于k，而00，f(x)0(f(x)0；在(0，)上，f(x)0，解得xe1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(e1，).答案D3.(2019福州質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)x312x在區(qū)間(k1，k1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.k3或1k1或k

14、3B.不存在這樣的實(shí)數(shù)kC.2k2D.3k1或1k3解析由f(x)x312x，得f(x)3x212，令f(x)0，解得x2或x2，只要f(x)0的解有一個(gè)在區(qū)間(k1，k1)內(nèi)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(k1，k1)上就不單調(diào)，則k12k1或k12k1，解得3k1或1kf(e)f(3) B.f(3)f(e)f(2)C.f(3)f(2)f(e) D.f(e)f(3)f(2)解析f(x)的定義域是(0，)，f(x)，x(0，e)，f(x)0，x(e，)，f(x)f(3)f(2).答案D5.(2019保定一中模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(1)2，對(duì)任意xR，f(x)2，則f(x)2x4的解集為()A

15、.(1，1) B.(1，)C.(，1) D.(，)解析由f(x)2x4，得f(x)2x40，設(shè)F(x)f(x)2x4，則F(x)f(x)2，因?yàn)閒(x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上單調(diào)遞增.又F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40等價(jià)于F(x)F(1)，所以x1.答案B二、填空題6.已知函數(shù)f(x)(x22x)ex(xR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_.解析因?yàn)閒(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因?yàn)閑x0，所以x220，解得x0，解得a3，所以

16、實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3，0)(0，).答案(3，0)(0，)8.若函數(shù)f(x)x3x22ax在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍是_.解析對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f(x)x2x2a22a.當(dāng)x時(shí)，f(x)的最大值為f2a.令2a0，解得a.所以a的取值范圍是.答案三、解答題9.已知函數(shù)f(x)ln x，其中aR，且曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于直線yx.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f(x)，由f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于直線yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x(x0).則f(x).令f(x)0，且x0，x

17、5(x1舍去).當(dāng)x(0，5)時(shí)，f(x)5時(shí)，f(x)0.所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(5，)，減區(qū)間為(0，5).10.(2019成都七中檢測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)ax2aln x，g(x)，其中aR，e2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)x1時(shí)，g(x)0.(1)解由題意得f(x)2ax(x0).當(dāng)a0時(shí)，f(x)0時(shí)，由f(x)0有x，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增.(2)證明令s(x)ex1x，則s(x)ex11.當(dāng)x1時(shí)，s(x)0，所以s(x)s(1)，即ex1x，從而g(x)0.能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.若函數(shù)exf(x)(e2.7

18、18 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是()A.f(x)2x B.f(x)x2C.f(x)3x D.f(x)cos x解析設(shè)函數(shù)g(x)exf(x)，對(duì)于A，g(x)ex2x，在定義域R上為增函數(shù)，A正確.對(duì)于B，g(x)exx2，則g(x)x(x2)ex，由g(x)0得x0，g(x)在定義域R上不是增函數(shù)，B不正確.對(duì)于C，g(x)ex3x在定義域R上是減函數(shù)，C不正確.對(duì)于D，g(x)excos x，則g(x)excos，g(x)0在定義域R上不恒成立，D不正確.答案A12.(2019惠州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)xsin

19、xcos xx2，則不等式f(ln x)f2f(1)的解集為()A.(e，) B.(0，e)C.(1，e) D.解析f(x)xsin xcos xx2是偶函數(shù)，所以ff(ln x)f(ln x).則原不等式可變形為f(ln x)f(1)f(|ln x|)0，得x0時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.|ln x|11ln x1x0時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間為(0，1)，遞減區(qū)間為(1，)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間為(1，)，遞減區(qū)間為(0，1)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)為常函數(shù).(2)由(1)及題意得f(2)1，即a2，f(x)2ln x2x3，f(x).g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在區(qū)間(t，3)上總不是單調(diào)函數(shù)，即g(x)在區(qū)間(t，3)上有變號(hào)零點(diǎn).由于g(0)2，當(dāng)g(t)0時(shí)，即3t2(m4)t20對(duì)任意t1，2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m0，即m.m9.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.16