《2020版高考數(shù)學新設計大一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第3節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式習題 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數(shù)學新設計大一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第3節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式習題 理（含解析）新人教A版（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式最新考綱1.會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式；2.能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式；3.能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；4.能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶).知 識 梳 理1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_.cos()cos_cos_sin_sin_.tan().2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin2

2、2cos2112sin2.tan 2.3.函數(shù)f()asin bcos (a，b為常數(shù))，可以化為f()sin()或f()cos().微點提醒1.tan tan tan()(1tan tan ).2.cos2，sin2.3.1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.基 礎 自 測1.判斷下列結論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意的.()(2)存在實數(shù)，使等式sin()sin sin 成立.()(3)公式tan()可以變形為tan tan tan()(1tan tan )，且對任意角，都成立.()(4)

3、存在實數(shù)，使tan 22tan .()解析(3)變形可以，但不是對任意的，都成立，k(kZ).答案(1)(2)(3)(4)2.(必修4P127T2改編)若cos ，是第三象限的角，則sin等于()A. B. C. D.解析是第三象限的角，sin ，sin.答案C3.(必修4P146A4(2)改編)tan 20tan 40tan 20tan 40_.解析tan 60tan(2040)，tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40)tan 20tan 40，原式tan 20tan 40tan 20tan 40.答案4.(2018全國卷)若sin ，則cos 2()A. B.C.

4、 D.解析因為sin ，cos 212sin2，所以cos 2121.答案B5.(2019南昌一模)已知角的終邊經(jīng)過點P(sin 47，cos 47)，則sin(13)()A. B. C. D.解析由三角函數(shù)定義，sin cos 47，cos sin 47，則sin(13)sin cos 13cos sin 13cos 47cos 13sin 47sin 13cos(4713)cos 60.答案A6.(2018全國卷)已知tan，則tan _.解析tan，解得tan .答案考點一三角函數(shù)式的化簡【例1】 (1)化簡：sin()cos()cos()sin()_.(2)化簡：(0)_.解析(1)s

5、in()cos()cos()sin()sin()cos ()cos()sin()sin()()sin().(2)原式.因為0，所以00，所以原式cos .答案(1)sin()(2)cos 規(guī)律方法1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，正確使用公式；二看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；三看結構特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升冪”等.2.化簡三角函數(shù)式的常見方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪與升冪等.【訓練1】 (1)cos()cos sin()sin ()A.sin(2) B.si

6、n C.cos(2) D.cos (2)化簡：_.解析(1)cos()cos sin()sin cos()cos .(2)原式cos 2.答案(1)D(2)cos 2考點二三角函數(shù)式的求值多維探究角度1給角(值)求值【例21】 (1)計算：_.解析.答案(2)(2018江蘇卷)已知，為銳角，tan ，cos().求cos 2的值；求tan()的值.解因為tan ，tan ，所以sin cos .因為sin2cos21，所以cos2，因此，cos 22cos21.因為，為銳角，所以(0，).又因為cos()，所以sin()，因此tan()2.因為tan ，所以tan 2，因此，tan()tan2

7、().角度2給值求角【例22】 (1)(2019河南六市聯(lián)考)已知cos ，cos()，若0，則_.(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，則2的值為_.解析(1)由cos ，0，得sin .由0，得00，又(0，)，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.答案(1)(2)規(guī)律方法1.“給角求值”、“給值求值”問題求解的關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉化方法.2.“給值求角”：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.遵照以下原則：(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；(2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的

8、范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好.【訓練2】 (1)(2019合肥模擬)tan 70cos 10(tan 201)等于()A.1 B.2 C.1 D.2(2)已知，為銳角，cos ，且sin()，則角_.(3)若sin 2，則sin 2()A. B. C. D.解析(1)tan 70cos 10(tan 201)cos 101.(2)為銳角，且cos ，sin .，0.又sin()，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .(3)由題意知sin 2，2(cos sin )sin 2，則4(1sin 2)3sin22，因

9、此sin 2或sin 22(舍).答案(1)C(2)(3)C考點三三角恒等變換的簡單應用【例3】 (2019鄭州模擬)設函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x的圖象關于直線x對稱，其中，為常數(shù)，且.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最值.解(1)f(x)sin2x2sin xcos xcos2xsin 2xcos 2x2sin.因為圖象關于直線x對稱，所以2k(kZ)，所以(kZ)，又，令k1時，符合要求，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為.(2)因為f0，所以2sin0，則.所以f(x)2sin.由0x，知x，當x，即x0時

10、，f(x)取最小值1.當x，即x時，f(x)取最大值2.規(guī)律方法1.進行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結構，尤其是角之間的關系；注意公式的逆用和變形使用.2.把形如yasin xbcos x化為ysin(x)，可進一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對稱性.【訓練3】 (2017北京卷)已知函數(shù)f(x)cos2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求證：當x時，f(x).(1)解f(x)cos2sin xcos xcos 2xsin 2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T.(2)證明由(1)知f(x)sin .x，2x，當2x，即

11、x時，f(x)取得最小值.f(x)成立.思維升華1.重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”.(1)變角：對角的分拆要盡可能化成同角、特殊角；(2)變名：盡可能減少函數(shù)名稱；(3)變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.2.在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當?shù)娜枪胶愕茸冃?易錯防范1.運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對性，要注意升冪、降冪的靈活運用，要注意“1”的各種變通.2.在(0，)范圍內(nèi)，sin 所對應的角不是唯一的.3.在三角求值時，往往要借助角的范圍確定三

12、角函數(shù)值的符號或所求角的三角函數(shù)的名稱.基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.(2016全國卷)若tan ，則cos 2()A. B. C. D.解析cos 2cos2sin2.答案D2.(2019廣東省際名校聯(lián)考)若cos，則cos()A. B. C. D.解析cos，cossinsin，cos12sin2.答案D3.()A. B. C. D.1解析.答案A4.(2019信陽一模)函數(shù)f(x)3sin cos 4cos2(xR)的最大值等于()A.5 B. C. D.2解析由題意知f(x)sin x4sin x2cos x2sin(x)2，又因為xR，所以f(x)的最大值為.答案B

13、5.(2019濟南模擬)若sin，A，則sin A的值為()A. B. C.或 D.解析A，A，cos0，且cos，sin Asinsincos cossin .答案B二、填空題6.(2017江蘇卷)若tan，則tan _.解析tan tan.答案7.化簡：_.解析2sin .答案2sin 8.(2017全國卷)已知，tan 2，則cos_.解析由tan 2得sin 2 cos ，又sin 2cos21，所以cos2.因為，所以cos ，sin .因為coscos cos sin sin ，所以cos.答案三、解答題9.(2018浙江卷)已知角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的

14、終邊過點P.(1)求sin()的值；(2)若角滿足sin()，求cos 的值.解(1)由角的終邊過點P，得sin ，所以sin()sin .(2)由角的終邊過點P，得cos ，由sin()，得cos().由()得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .10.已知函數(shù)f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若(0，)，且f，求tan的值.解(1)f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，f(x)的最小正周期T.令2k4x2k(

15、kZ)，得x(kZ).f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ).(2)f，即sin1.因為(0，)，所以，故.因此tan2.能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.(2019江西八所重點中學聯(lián)考)若點(，0)是函數(shù)f(x)sin x2cos x圖象的一個對稱中心，則cos 2sin cos()A. B. C.1 D.1解析點(，0)是函數(shù)f(x)sin x2cos x圖象的一個對稱中心，sin 2cos 0，即tan 2.cos 2sin cos 1.答案D12.(一題多解)(2019河北百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知是第四象限角，且sin，則tan()A. B. C. D.解析法一sin(sin cos )，s

16、in cos ，2sin cos .是第四象限角，sin 0，sin cos ，由得sin ，cos ，tan ，tan.法二，sincos，又2k2k(kZ)，2k2k(kZ)，cos，sin，tan，tantan.答案B13.(一題多解)設cos ，tan ，0，則_.解析法一由cos ，得sin ，tan 2，又tan ，于是tan()1.又由，0可得0，因此，.法二由cos ，得sin .由tan ，0得sin ，cos .所以sin()sin cos cos sin .又由，0，得0，因此，.答案14.已知函數(shù)f(x)cos(x)為奇函數(shù)，且f0，其中aR，(0，).(1)求a，的值；(2)若，fcoscos 20，求cos sin 的值.解(1)因為f(x)cos(x)是奇函數(shù)，所以cos(x)cos，化簡、整理得，cos xcos 0，則有cos 0，由(0，)，得，所以f(x)sin x.由f0，得(a1)0，即a1.(2)由(1)知f(x)sin 2x，fcoscos 20sincoscos 2，因為cos 2sinsin2sincos，所以sincos2sin.又，所以sin0或cos2.由sin0，所以cos sin cos sin ；由cos2，得cos(cos sin )cos sin .綜上，cos sin 或cos sin .16