《2020版高考數(shù)學新設計大一輪復習 第三章 導數(shù)及其表示 第2節(jié)（第4課時）導數(shù)與函數(shù)的零點習題 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數(shù)學新設計大一輪復習 第三章 導數(shù)及其表示 第2節(jié)（第4課時）導數(shù)與函數(shù)的零點習題 理（含解析）新人教A版（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4課時導數(shù)與函數(shù)的零點考點一判斷零點的個數(shù)【例1】 (2019合肥質檢)已知二次函數(shù)f(x)的最小值為4，且關于x的不等式f(x)0的解集為x|1x3，xR.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)4ln x的零點個數(shù).解(1)f(x)是二次函數(shù)，且關于x的不等式f(x)0的解集為x|1x3，xR，設f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且a0.f(x)minf(1)4a4，a1.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x22x3.(2)由(1)知g(x)4ln xx4ln x2，g(x)的定義域為(0，)，g(x)1，令g(x)0，得x11，x23.當x變化時，g(x)，g(x)的

2、取值變化情況如下表：x(0，1)1(1，3)3(3，)g(x)00g(x)極大值極小值當0x3時，g(x)g(1)43時，g(e5)e52022512290.又因為g(x)在(3，)上單調遞增，因而g(x)在(3，)上只有1個零點，故g(x)僅有1個零點.規(guī)律方法利用導數(shù)確定函數(shù)零點或方程根個數(shù)的常用方法(1)構建函數(shù)g(x)(要求g(x)易求，g(x)0可解)，轉化確定g(x)的零點個數(shù)問題求解，利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調性、極值，并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結合求解函數(shù)零點的個數(shù).(2)利用零點存在性定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利

3、用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).【訓練1】 已知函數(shù)f(x)ex1，g(x)x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e2.718 28.(1)證明：函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間(1，2)上有零點；(2)求方程f(x)g(x)的根的個數(shù)，并說明理由.(1)證明由題意可得h(x)f(x)g(x)ex1x，所以h(1)e30，所以h(1)h(2)0，因此(x)在(0，)上單調遞增，易知(x)在(0，)內至多有一個零點，即h(x)在0，)內至多有兩個零點，則h(x)在0，)上有且只有兩個零點，所以方程f(x)g(x)的根的個數(shù)為2.考點二已知函數(shù)零點個

4、數(shù)求參數(shù)的取值范圍【例2】 函數(shù)f(x)axxln x在x1處取得極值.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)若yf(x)m1在定義域內有兩個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍.解(1)函數(shù)f(x)axxln x的定義域為(0，).f(x)aln x1，因為f(1)a10，解得a1，當a1時，f(x)xxln x，即f(x)ln x，令f(x)0，解得x1；令f(x)0，解得0x1，即m2，當0xe時，f(x)x(1ln x)e時，f(x)0.當x0且x0時，f(x)0；當x時，顯然f(x).由圖象可知，m10，即m1，由可得2m0，當a0時，f(x)0，f(x)在R上是增函數(shù)，當x1時，f(x)ex

5、a(x1)0；當x0時，取x，則f1aa0.所以函數(shù)f(x)存在零點，不滿足題意.當a0時，令f(x)0，得xln(a).在(，ln(a)上，f(x)0，f(x)單調遞增，所以當xln(a)時，f(x)取最小值.函數(shù)f(x)不存在零點，等價于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0時，f(x)2aaln .(1)解f(x)的定義域為(0，)，f(x)2e2x(x0).當a0時，f(x)0，f(x)沒有零點；當a0時，因為ye2x單調遞增，y單調遞增，所以f(x)在(0，)上單調遞增.又f(a)0，假設存在b滿足0b時，且b，f(b)0時，f(x)存在唯一零點.(

6、2)證明由(1)，可設f(x)在(0，)上的唯一零點為x0，當x(0，x0)時，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，)上單調遞增，所以當xx0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln 2aaln .故當a0時，f(x)2aaln .規(guī)律方法1.在(1)中，當a0時，f(x)在(0，)上單調遞增，從而f(x)在(0，)上至多有一個零點，問題的關鍵是找到b，使f(b)0.2.由(1)知，函數(shù)f(x)存在唯一零點x0，則f(x0)為函數(shù)的最小值，從而把問題轉化為證明f(x0)2aaln .【訓練3】 (2018東北三省四校聯(lián)考)

7、已知函數(shù)f(x)ln xxm(m2，m為常數(shù)).(1)求函數(shù)f(x)在的最小值；(2)設x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個零點，且x1x2，證明：x1x21.(1)解f(x)ln xxm(m0，所以yf(x)在(0，1)遞增；當x(1，)時，f(x)0，函數(shù)f(x)在的最小值為1em.(2)證明由(1)知x1，x2滿足ln xxm0，且0x11，ln x1x1mln x2x2m0，由題意可知ln x2x2m22，所以0x1，2)，則g(x)10，當x2時，g(x)是減函數(shù)，所以g(x)lnlnlnlnln 10，g(x)2時，f(x1)f0，即f(x1)f.因為0x1，1，f(x)在(0，)上單調

8、遞增.所以x1，故x1x21.思維升華1.解決函數(shù)yf(x)的零點問題，可通過求導判斷函數(shù)圖象的位置、形狀和發(fā)展趨勢，觀察圖象與x軸的位置關系，利用數(shù)形結合的思想方法判斷函數(shù)的零點是否存在及零點的個數(shù)等.2.通過等價變形，可將“函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點”與“方程f(x)g(x)的解”問題相互轉化.易錯防范函數(shù)yf(x)在某一區(qū)間(a，b)上存在零點，必要時要由函數(shù)零點存在定理作為保證.基礎鞏固題組(建議用時：35分鐘)一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)的定義域為1，4，部分對應值如下表：x10234f(x)12020f(x)的導函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示.當1a2時，函數(shù)yf(x)a的

9、零點的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4解析根據(jù)導函數(shù)圖象，知2是函數(shù)的極小值點，函數(shù)yf(x)的大致圖象如圖所示.由于f(0)f(3)2，1a0，即|AB|的最小值是42ln 2.答案42ln 24.若函數(shù)f(x)1(a0)沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍為_.解析f(x)(a0).當x2時，f(x)2時，f(x)0，當x2時，f(x)有極小值f(2)1.若使函數(shù)f(x)沒有零點，當且僅當f(2)10，解之得ae2，因此e2a0，得x2.所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是(，1)，(2，).(2)由(1)知f(x)極大值f(1)22，f(x)極小值f(2)242，由數(shù)形結合，可知要使函數(shù)g(

10、x)f(x)2m3有三個零點，則2m3，解得m0)，討論函數(shù)g(x)f(x)零點的個數(shù).解函數(shù)g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0).設h(x)x3x(x0)，所以h(x)x21(x1)(x1).當x(0，1)時，h(x)0，此時h(x)在(0，1)內單調遞增；當x(1，)時，h(x)時，函數(shù)ym和函數(shù)yh(x)的圖象無交點.當m時，函數(shù)ym和函數(shù)yh(x)的圖象有且僅有一個交點.當0m時，函數(shù)g(x)無零點；當m時，函數(shù)g(x)有且僅有一個零點；當0m0在(0，)上恒成立，則f(x)在(0，)上單調遞增，又f(0)1，所以此時f(x)在(0，)內無零點，不滿足題意.當a0

11、時，由f(x)0得x，由f(x)0得0x0，f(x)單調遞增，當x(0，1)時，f(x)0，f(x)單調遞減.則f(x)maxf(0)1，f(1)4，f(1)0，則f(x)min4，所以f(x)在1，1上的最大值與最小值的和為3.8.已知函數(shù)f(x)axln x，其中a為常數(shù).(1)當a1時，求f(x)的單調遞增區(qū)間；(2)當00，當a1時，f(x)xln x(x0)，f(x)(x0)；當0x0；當x1時，f(x)0)，令f(x)0，解得x；由f(x)0，解得0x；由f(x)0，解得xe.從而f(x)的單調遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，所以，f(x)maxf1ln3.解得ae2.(3)由(1)知當a1時，f(x)maxf(1)1，所以|f(x)|1.令g(x)，則g(x).當0x0；當xe時，g(x)0.從而g(x)在(0，e)上單調遞增，在(e，)上單調遞減.所以g(x)maxg(e)g(x)，即|f(x)|，所以，方程|f(x)|沒有實數(shù)根.11