《2020版高考數(shù)學新設計大一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第1節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)習題 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數(shù)學新設計大一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第1節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)習題 理（含解析）新人教A版（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1節(jié)任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)最新考綱1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能進行弧度與角度的互化；3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.知 識 梳 理1.角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內的一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.(2)分類(3)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合S|k360，kZ.2.弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式角的弧度數(shù)公式|(弧長用l表示)角度與弧度的換算1 rad；1 rad弧長公式弧長l|r扇形面積公式Slr|r23.

2、任意角的三角函數(shù)(1)定義：設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sin y，cos x，tan (x0).(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1，0).如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角的正弦線，余弦線和正切線.微點提醒1.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若，則tan sin .3.角度制與弧度制可利用180 rad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.4.象限角的集合基 礎 自 測1.判斷下列結論正誤(在括號內打“”或“”)(1

3、)小于90的角是銳角.()(2)銳角是第一象限角，反之亦然.()(3)將表的分針撥快5分鐘，則分針轉過的角度是30.()(4)相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等.()解析(1)銳角的取值范圍是.(2)第一象限角不一定是銳角.(3)順時針旋轉得到的角是負角.(4)終邊相同的角不一定相等.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修4P12例2改編)已知角的終邊過點P(8m，3)，且cos ，則m的值為()A. B. C. D.解析由題意得m0且，解得m.答案A3.(必修4P4例1改編)在7200范圍內，所有與角45終邊相同的角構成的集合為_.解析所有與角終邊相同的角可表示為：45k360(k

4、Z)，則令72045k3600(kZ)，得765k36045(kZ).解得k2或k1，675或315.答案675，3154.(2019衡水模擬)若sin cos 0，則角是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析由0，得0，故cos 0.又sin cos 0，所以sin 0，所以為第四象限角.答案D5.(2018日照一中質檢)若一圓弧長等于其所在圓的內接正三角形的邊長，則其圓心角(0，)的弧度數(shù)為_.解析設圓半徑為r，則其內接正三角形的邊長為r，所以rr，所以.答案6.(2019武漢模擬)已知角的終邊在直線yx上，且cos 0，則tan _.解析如圖，由題意知，角的

5、終邊在第二象限，在其上任取一點P(x，y)，則yx，由三角函數(shù)的定義得tan 1.答案1考點一角的概念及其集合表示【例1】 (1)若角是第二象限角，則是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角(2)終邊在直線yx上，且在2，2)內的角的集合為_.解析(1)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.當k為偶數(shù)時，是第一象限角；當k為奇數(shù)時，是第三象限角.(2)如圖，在坐標系中畫出直線yx，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是，在0，2)內，終邊在直線yx上的角有兩個：，；在2，0)內滿足條件的角有兩個：，故滿足條件的角構成的集合為.答案(1)C(2)規(guī)律方法1.利用終邊相

6、同的角的集合求適合某些條件的角：先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角.2.若要確定一個絕對值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2k(02)(kZ)的形式，然后再根據(jù)所在的象限予以判斷.【訓練1】 (1)設集合M，N，那么()A.MN B.MNC.NM D.MN(2)已知角的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(不包括邊界)，則角用集合可表示為_.解析(1)由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇數(shù)；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整數(shù)，因此必有MN.(2)在0，2)內，終邊落在陰影部分角的集合為，所以，所求角的集合為

7、.答案(1)B(2)|2k2k，kZ考點二弧度制及其應用典例遷移【例2】 (經(jīng)典母題)已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l.若，R10 cm，求扇形的面積.解由已知得，R10，S扇形R2102(cm2).【遷移探究1】 若例題條件不變，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積.解lR10(cm)，S弓形S扇形S三角形lRR2sin 10102(cm2).【遷移探究2】 若例題條件改為：“若扇形周長為20 cm”，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？解由已知得，l2R20，即l202R(0R10)，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以當R5 cm時，S取得最大值25 c

8、m2，此時l10 cm，2 rad.規(guī)律方法1.應用弧度制解決問題的方法：(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決.2.求扇形面積的關鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量.【訓練2】 (一題多解)九章算術是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中方田章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積(弦矢矢2)，弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，半徑等于4米的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積約是()

9、A.6平方米 B.9平方米C.12平方米 D.15平方米解析法一如圖，由題意可得AOB，OA4，在RtAOD中，可得AOD，DAO，ODAO42，于是矢422.由ADAOsin 42，得弦AB2AD4.所以弧田面積(弦矢矢2)(4222)429(平方米).法二由已知，可得扇形的面積S1r242，AOB的面積S2OAOBsin AOB44sin 4.故弧田的面積SS1S249(平方米).答案B考點三三角函數(shù)的概念【例3】 (1)(2018合肥質檢)在平面直角坐標系中，若角的終邊經(jīng)過點P，則sin()()A. B. C. D.(2)若sin tan 0，且0，則角是()A.第一象限角 B.第二象限

10、角C.第三象限角 D.第四象限角解析(1)易知sin ，cos ，則P.由三角函數(shù)的定義可得sin ，則sin()sin .(2)由sin tan 0可知sin ，tan 異號，則為第二或第三象限角；由0可知cos ，tan 異號，則為第三或第四象限角.綜上可知，為第三象限角.答案(1)B(2)C規(guī)律方法1.三角函數(shù)定義的應用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個點的坐標，及這點到原點的距離，確定這個角的三角函數(shù)值.(2)已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.2.三角函數(shù)線的應用問題的求解思路確定單位圓與角的終邊的交點，作出所需要的三角函數(shù)

11、線，然后求解.【訓練3】 (1)(2019西安一中月考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，角，的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，若點A，B的坐標分別為和，則cos()的值為()A. B. C.0 D.(2)滿足cos 的角的集合為_.解析(1)由三角函數(shù)的定義可得cos ，sin ，cos ，sin .所以cos()cos cossin sin .(2)作直線x交單位圓于C，D兩點，連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為.答案(1)A(2)思維升華1.在利用三角函數(shù)定義時，點P可取終邊上

12、任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點.|OP|r一定是正值.2.在解決簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是體現(xiàn)數(shù)學直觀想象核心素養(yǎng).易錯防范1.注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90的角是概念不同的三類角.第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角.2.相等的角終邊相同，但終邊相同的角不一定相等.3.已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標軸上的情況.基礎鞏固題組(建議用時：30分鐘)一、選擇題1.給出下列四個命題：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角.其中正確的命題有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解析是第三象限角，故錯誤.，從而

13、是第三象限角，正確.40036040，從而正確.31536045，從而正確.答案C2.下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是()A.2k45(kZ) B.k360(kZ)C.k360315(kZ) D.k(kZ)解析與的終邊相同的角可以寫成2k(kZ)，但是角度制與弧度制不能混用，排除A、B，易知D錯誤，C正確.答案C3.已知角的終邊經(jīng)過點(，)，若，則m的值為()A.27 B. C.9 D.解析tan m，m13327，m，故選B.答案B4.(2019石家莊模擬)已知點M在角終邊的反向延長線上，且|OM|2，則點M的坐標為()A.(2cos ，2sin ) B.(2cos ，2sin )C.

14、(2cos ，2sin ) D.(2cos ，2sin )解析由題意知，M的坐標為(2cos()，2sin()，即(2cos ，2sin ).答案C5.設是第三象限角，且cos ，則是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析由是第三象限角，知為第二或第四象限角，cos ，cos 0且sin ，解得m3.答案310.已知扇形的圓心角為，面積為，則扇形的弧長等于_.解析設扇形半徑為r，弧長為l，則解得答案11.(2019許昌調研)設是第二象限角，P(x，4)為其終邊上的一點，且cos x，則tan _.解析因為是第二象限角，所以cos x0，即x0，則實數(shù)a的取值范圍是

15、_.解析cos 0，sin 0，角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上.2a3.答案(2，3能力提升題組(建議用時：20分鐘)13.給出下列命題：第二象限角大于第一象限角；三角形的內角是第一象限角或第二象限角；不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關；若sin sin ，則與的終邊相同；若cos 0，則是第二或第三象限的角.其中正確命題的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4解析舉反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故錯；當三角形的內角為90時，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故錯；正確；由于sinsin，但與的終邊不相同，故錯；當cos 1，時，其既不

16、是第二象限角，也不是第三象限角，故錯.綜上可知只有正確.答案A14.(2018全國卷)已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，則|ab|()A. B. C. D.1解析由題意可知tan ba，又cos 2cos2sin2，5(ba)21，得(ba)2，則|ba|.答案B15.函數(shù)y的定義域為_.解析2sin x10，sin x.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示).x(kZ).答案(kZ)16.已知sin 0.(1)求角的集合；(2)求的終邊所在的象限；(3)試判斷tan sin cos 的符號.解(1)由sin 0，知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合為.(2)由(1)知2k2k，kZ，故kk，kZ，故的終邊在第二、四象限.(3)當在第二象限時，tan 0，cos 0，所以tan sin cos 取正號；當在第四象限時，tan 0，sin 0，所以tan sin cos 也取正號.綜上，tan sin cos 取正號.14