《2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其表示 第2節(jié)（第3課時(shí)）導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用習(xí)題 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其表示 第2節(jié)（第3課時(shí)）導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用習(xí)題 理（含解析）新人教A版（14頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3課時(shí)導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用考點(diǎn)一構(gòu)造函數(shù)證明不等式【例1】 已知函數(shù)f(x)1，g(x)xln x.(1)證明：g(x)1；(2)證明：(xln x)f(x)1.證明(1)由題意得g(x)(x0)，當(dāng)0x1時(shí)，g(x)1時(shí)，g(x)0，即g(x)在(0，1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù).所以g(x)g(1)1，得證.(2)由f(x)1，得f(x)，所以當(dāng)0x2時(shí)，f(x)2時(shí)，f(x)0，即f(x)在(0，2)上是減函數(shù)，在(2，)上是增函數(shù)，所以f(x)f(2)1(當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)取等號).又由(1)知xln x1(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號)，且等號不同時(shí)取得，所以(xln x)f(x)1.

2、規(guī)律方法1.證明不等式的基本方法：(1)利用單調(diào)性：若f(x)在a，b上是增函數(shù)，則xa，b，有f(a)f(x)f(b)，x1，x2a，b，且x1x2，有f(x1)f(x2).對于減函數(shù)有類似結(jié)論.(2)利用最值：若f(x)在某個(gè)范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)，則xD，有f(x)M(或f(x)m).2.證明f(x)g(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，證明F(x)g(x)max，則f(x)g(x)”證明不等式【例2】 已知函數(shù)f(x)xln xax.(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)在(0，)上的最值；(2)證明：對一切x(0，)，都有l(wèi)n x1成立.(1)解函數(shù)f(x)xln xax的

3、定義域?yàn)?0，).當(dāng)a1時(shí)，f(x)xln xx，f(x)ln x2.由f(x)0，得x.當(dāng)x時(shí)，f(x)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此f(x)在x處取得最小值，即f(x)minf，但f(x)在(0，)上無最大值.(2)證明當(dāng)x0時(shí)，ln x1等價(jià)于x(ln x1).由(1)知a1時(shí)，f(x)xln xx的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號.設(shè)G(x)，x(0，)，則G(x)，易知G(x)maxG(1)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取到，從而可知對一切x(0，)，都有f(x)G(x)，即ln x1.規(guī)律方法1.在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，則可考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最

4、值問題.2.在證明過程中，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處f(x)ming(x)max恒成立.從而f(x)g(x)，但此處f(x)與g(x)取到最值的條件不是同一個(gè)“x的值”.【訓(xùn)練2】 已知三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)3x23且f(0)1，g(x)xln x(a1).(1)求f(x)的極值；(2)求證：對任意x1，x2(0，)，都有f(x1)g(x2).(1)解依題意得f(x)x33x1，f(x)3x233(x1)(x1)，知f(x)在(，1)和(1，)上是減函數(shù)，在(1，1)上是增函數(shù)，所以f(x)極小值f(1)3，f(x)極大值f(1)1.(2)證明易得x0時(shí)，f(x)最大值1，由a1知，g(x

5、)xln x(x0)，令h(x)xln x(x0)，則h(x)ln x1ln x，注意到h(1)0，當(dāng)x1時(shí)，h(x)0；當(dāng)0x1時(shí)，h(x)0，即h(x)在(0，1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)，h(x)最小值h(1)1，即g(x)最小值1.綜上知對任意x1，x2(0，)，都有f(x1)g(x2).考點(diǎn)三不等式恒成立或有解問題多維探究角度1不等式恒成立求參數(shù)【例31】 已知函數(shù)f(x)(x0).(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若f(x)a在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值.解(1)f(x)，令g(x)xcos xsin x，x，則g(x)xsin x，顯然，當(dāng)x時(shí)，g(x)x

6、sin x0，即函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且g(0)0.從而g(x)在區(qū)間上恒小于零，所以f(x)在區(qū)間上恒小于零，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減.(2)不等式f(x)a，x恒成立，即sin xax0恒成立.令(x)sin xax，x，則(x)cos xa，且(0)0.當(dāng)a1時(shí)，在區(qū)間上(x)0，即函數(shù)(x)單調(diào)遞減，所以(x)(0)0，故sin xax0恒成立.當(dāng)0a0，故(x)在區(qū)間(0，x0)上單調(diào)遞增，且(0)0，從而(x)在區(qū)間(0，x0)上大于零，這與sin xax0，即函數(shù)(x)單調(diào)遞增，且(0)0，得sin xax0恒成立，這與sin xax0，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x(1

7、，)時(shí)，f(x)0，f(x)是減函數(shù)；所以x1為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，所以0a1a，故a0，所以g(x)是增函數(shù)，所以g(x)g(1)2，故k2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(，2.角度2不等式能成立求參數(shù)的取值范圍【例32】 已知函數(shù)f(x)x2(2a1)xaln x(aR).(1)若f(x)在區(qū)間1，2上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)函數(shù)g(x)(1a)x，若x01，e使得f(x0)g(x0)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)f(x)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)xa落在區(qū)間(1，2)內(nèi)時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1，2上就不是單調(diào)函數(shù)，即a(1，2)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，12

8、，).(2)由題意知，不等式f(x)g(x)在區(qū)間1，e上有解，即x22xa(ln xx)0在區(qū)間1，e上有解.因?yàn)楫?dāng)x1，e時(shí)，ln x1x(不同時(shí)取等號)，xln x0，所以a在區(qū)間1，e上有解.令h(x)，則h(x).因?yàn)閤1，e，所以x222ln x，所以h(x)0，h(x)在1，e上單調(diào)遞增，所以x1，e時(shí)，h(x)maxh(e)，所以a，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.規(guī)律方法1.含參數(shù)的能成立(存在型)問題的解題方法af(x)在xD上能成立，則af(x)min；af(x)在xD上能成立，則af(x)max.2.含全稱、存在量詞不等式能成立問題(1)存在x1A，任意x2B使f(x1)g(x

9、2)成立，則f(x)maxg(x)max；(2)任意x1A，存在x2B，使f(x1)g(x2)成立，則f(x)ming(x)min.【訓(xùn)練4】 已知函數(shù)f(x)m2ln x(mR)，g(x)，若至少存在一個(gè)x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解依題意，不等式f(x)g(x)在1，e上有解， mx2ln x在區(qū)間1，e上有解，即能成立.令h(x)，x1，e，則h(x).當(dāng)x1，e時(shí)，h(x)0，h(x)在1，e上是增函數(shù)，h(x)的最大值為h(e).由題意，即m時(shí)，f(x)0f(x)min0；xD，f(x)0f(x)max0f(x)max0；xD，f(x)0f(x)mi

10、n0)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號成立.(2)指數(shù)形式：exx1(xR)，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，等號成立.進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：exx1x1ln x(x0，且x1).【例1】 (1)已知函數(shù)f(x)，則yf(x)的圖象大致為()解析因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)榧磝|x1，且x0，所以排除選項(xiàng)D.當(dāng)x0時(shí)，由經(jīng)典不等式x1ln x(x0)，以x1代替x，得xln(x1)(x1，且x0)，所以ln(x1)x1，且x0)，即x0或1x0時(shí)均有f(x)0，排除A，C，易知B正確.答案B(2)已知函數(shù)f(x)ex，xR.證明：曲線yf(x)與曲線yx2x1有唯一公共點(diǎn).證明令g(x)f(x)exx2x1，xR，則g(

11、x)exx1，由經(jīng)典不等式exx1恒成立可知，g(x)0恒成立，所以g(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，且g(0)0.所以函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn)，即兩曲線有唯一公共點(diǎn).【例2】 (2017全國卷改編)已知函數(shù)f(x)x1aln x.(1)若f(x)0，求a的值；(2)證明：對于任意正整數(shù)n， e.(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)，若a0，因?yàn)閒aln 20，由f(x)1知，當(dāng)x(0，a)時(shí)，f(x)0；所以f(x)在(0，a)單調(diào)遞減，在(a，)單調(diào)遞增，故xa是f(x)在(0，)的唯一最小值點(diǎn).因?yàn)閒(1)0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，f(x)0，故a1.(2)證明由(1)知當(dāng)x(1，)時(shí)，x1ln

12、x0.令x1，得ln.從而lnlnln11.故e.【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)ln xx1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)求證：當(dāng)x(1，)時(shí)，1x.(1)解由題設(shè)知，f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1，令f(x)0，解得x1.當(dāng)0x0，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，f(x)在(1，)上單調(diào)遞減.(2)證明由(1)知f(x)在x1處取得最大值，最大值為f(1)0.所以當(dāng)x1時(shí)，ln xx1.故當(dāng)x(1，)時(shí)，ln x1.因此ln ，x.故當(dāng)x(1，)時(shí)恒有1x.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：35分鐘)一、選擇題1.(2019汕頭一模)函數(shù)f(x)ln xa的導(dǎo)數(shù)為f(x)

13、，若方程f(x)f(x)的根x0小于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(1，) B.(0，1)C.(1，) D.(1，)解析由函數(shù)f(x)ln xa可得f(x)，x0使f(x)f(x)成立，ln x0a，又0x01，ln x01.答案A2.(2019南昌調(diào)研)已知a為常數(shù)，函數(shù)f(x)x(ln xax)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2(x10，f(x2)B.f(x1)0，f(x2)0，f(x2)D.f(x1)解析f(x)ln x2ax1，依題意知f(x)0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，即曲線y1ln x與直線y2ax有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖.由直線yx是曲線y1ln x的切線，可知：02a1，0x11x2，a.由

14、0x11，得f(x1)x1(ln x1ax1)0，當(dāng)x1x0，f(x2)f(1)a.答案D二、填空題3.若對任意a，b滿足0abt，都有bln aaln b，則t的最大值為_.解析0abt，bln aaln b，0，解得0xe，故t的最大值是e.答案e4.函數(shù)f(x)x2sin x，對任意的x1，x20，恒有|f(x1)f(x2)|M，則M的最小值為_.解析f(x)x2sin x，f(x)12cos x，當(dāng)0x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x時(shí)，f(x)有極小值，即最小值，且f(x)minf2sin .又f(0)0，f()，f(x)max.由題意得|f(x1)f

15、(x2)|M等價(jià)于M|f(x)maxf(x)min|.M的最小值為.答案三、解答題5.已知f(x)(1x)ex1.(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設(shè)g(x)，x1且x0，證明：g(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)0時(shí)，f(x)0，g(x)01.當(dāng)1x0時(shí)，g(x)x.設(shè)h(x)f(x)x，則h(x)xex1.當(dāng)x(1，0)時(shí)，0x1，0ex1，則0xex1，從而當(dāng)x(1，0)時(shí)，h(x)0，h(x)在(1，0)上單調(diào)遞減.當(dāng)1xh(0)0，即g(x)1且x0時(shí)總有g(shù)(x)1.6.已知函數(shù)f(x)x3ax210.(1)當(dāng)a1時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程

16、；(2)在區(qū)間1，2內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得f(x)x至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x使之成立，即a.設(shè)g(x)x(1x2)，則g(x)1，因?yàn)?x2，所以g(x)，即a的取值范圍是.能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)7.(2019安徽江南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)xln x(x0).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若對任意x(0，)，f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值.解(1)由f(x)xln x(x0)，得f(x)1ln x，令f(x)0，得x；令f(x)0，得0x0)，則g(x)，由g(x)0x1，由g(x)00x0，證明(ex1)ln(x1)x2.(1)證明當(dāng)a0時(shí)，f(x)ex1x，f(x)

17、ex1.當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)0.故f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(0)0，f(x)0.(2)解f(x)ex12ax，令h(x)ex12ax，則h(x)ex2a.當(dāng)2a1，即a時(shí)，在0，)上，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增，h(x)h(0)，即f(x)f(0)0，f(x)在0，) 上為增函數(shù)，f(x)f(0)0，當(dāng)a時(shí)滿足條件.當(dāng)2a1，即a時(shí)，令h(x)0，解得xln (2a)，在0，ln (2a)上，h(x)0，h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(0，ln (2a)時(shí)，有h(x)h(0)0，即f(x)f(0)0，f(x)在區(qū)間(0，ln (2a)上為減函數(shù)，f(x)0時(shí)，ex1x，即ex1x，欲證不等式(ex1)ln(x1)x2，只需證ln(x1).設(shè)F(x)ln(x1)，則F(x).當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)0恒成立，且F(0)0，F(xiàn)(x)0恒成立.原不等式得證.14