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1、第一講 循環(huán)小數(shù)與分數(shù)第二講 和差倍分問題第三講 行程問題第五講 質數(shù)與合數(shù)第六講 工程問題第七講 牛吃草問題第八講 包含與排除第九講 整數(shù)的拆分第十講 邏輯推理第十一講 通分與裂項第十二講 幾何綜合第十三講 植樹問題第十五講 余數(shù)問題第十六講 直線面積第十七講 圓與扇形第十八講 數(shù)列與數(shù)表綜合第十九講 數(shù)字迷綜合第二十講 計數(shù)綜合第二十一講 行程與工程第二十二講 復雜工程問題第二十三講 運用比例求解行程問題第二十四講 應用題綜合第二十五講 數(shù)論綜合2第二十六講 進位制問題第二十七講 取整問題第二十八講 數(shù)論綜合3第二十九講 數(shù)論綜合4第三十講 幾何綜合2第三十一講 圖形變換第三十二講 勾股定

2、理第三十三講 計數(shù)綜合第三十四講 最值問題第三十五講 構造與論證1第三十六講 構造與論證2第一講 循環(huán)小數(shù)與分數(shù) 循環(huán)小數(shù)與分數(shù)的互化，循環(huán)小數(shù)之間簡單的加、減運算，涉及循環(huán)小數(shù)與分數(shù)的主要利用運算定律進行簡算的問題 1真分數(shù)化為小數(shù)后，如果從小數(shù)點后第一位的數(shù)字開始連續(xù)若干個數(shù)字之和是1992，那么是多少? 【分析與解】 =0.， =0.，=0.，=0.，=0.， =0. 因此，真分數(shù)化為小數(shù)后，從小數(shù)點第一位開始每連續(xù)六個數(shù)字之和都是1+4+2+8+5+7=27， 又因為199227=7321,27-21=6，而6=2+4，所以=0.，即=6 評注：的特殊性，循環(huán)節(jié)中數(shù)字不變，且順序不變，

3、只是開始循環(huán)的這個數(shù)有所變化 2某學生將乘以一個數(shù)時，把誤看成1.23，使乘積比正確結果減少0.3則正確結果該是多少? 【分析與解】 由題意得： -1.23=0.3，即：=0.3，所以有：解得= 90，所以= 90=190= 90=1113計算：，結果保留三位小數(shù)【分析與解】 方法一： -0.1111+0.1250+0.3333+0.1666 = 0.7359 0.736方法二： 0.7364計算：【分析與解】 方法一： = =2.4方法二： =() =2.1+(1+2+3+4+8+9) =2.1+27 =2.1+0.3 =2.4方法三：如下式， 0.011111 0.122222 0.233

4、333 0.344444(1+2+3+4+8+9=27) 0.788888+ 0.899999 2.399997注意到，百萬分位的7是因為沒有進位造成，而實際情況應該是2.399999=2.4評注：=1 ,=5將循環(huán)小數(shù)與相乘，取近似值，要求保留一百位小數(shù)，那么該近似值的最后一位小數(shù)是多少?【分析與解】 =循環(huán)節(jié)有6位，1006=164，因此第100位小數(shù)是循環(huán)節(jié)中的第4位8，第10l位是5這樣四舍五入后第100位為96. 將下列分數(shù)約成最簡分數(shù)：【分析與解】 找規(guī)律：, ,所以=評注：類似問題還有7. 將下列算式的計算結果寫成帶分數(shù)：【分析與解】=59=59-=588計算:71【分析與解】

5、71 = = = =5 9計算： 【分析與解】原式 10計算：【分析與解】 原式= = =9+5.5-4.5 =1011計算: 41.28.1+11+5370.19【分析與解】 原式=4120.81+119.25+0.19(412+125) =412(0.81+0.19)+119.25+0.19125 =412+118+111.25+191.25 =412+88+1.2530 =500+37.5 =537.512計算：【分析與解】原式= =13計算:【分析與解】 原式=14. (1)已知等式0.12679+12-625=10.08，那么口所代表的數(shù)是多少? (2)設上題答案為在算式（1993.

6、81+)的內，填入一個適當?shù)囊晃蛔匀粩?shù)，使乘積的個位數(shù)字達到最小值問內所填的數(shù)字是多少? 【分析與解】 (1)設口所代表的數(shù)是，0.12679+12-625=10.08，解得：=0.03，即口所代表的數(shù)是0.03(2)設內所填的數(shù)字是，(1993.81+O.03)=1993.84，有當為8時1993.84=1993.848=15050.94，所以內所填的數(shù)字是815求下述算式計算結果的整數(shù)部分：【分析與解】原式= 192.5+128.3+77+55+35+29.6 =517.4所以原式的整數(shù)部分是517第二講 和差倍分問題 各種具有和差倍分關系的綜合應用題，重點是包含分數(shù)的問題基本的解題方法是

7、將已知條件用恰當形式寫出或變形，并結合起來進行比較而求出相關的量，其中要注意單位“1”的恰當選取1有甲、乙兩個數(shù)，如果把甲數(shù)的小數(shù)點向左移兩位，就是乙數(shù)的，那么甲數(shù)是乙數(shù)的多少倍? 【分析與解】 甲數(shù)的小數(shù)點向左移動兩位，則甲數(shù)縮小到原來的，設這時的甲數(shù)為“1”，則乙數(shù)為18=8，那么原來的甲數(shù)=l100=100，則甲數(shù)是乙數(shù)的1008=12.5倍2. 有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑、白兩色棋子已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一樣多，第三堆里的黑子占全部黑子的如果把這三堆棋子集中在一起，那么白子占全部棋子的幾分之幾? 【分析與解】 如下表所示： 設全部黑子為“5”份，則第三堆里的

8、黑子為“2”份，那么剩下的黑子占5-2=“3”份，而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一樣多，將第一堆黑子和第二堆白子調換，則第二堆全部為黑子 所以第二堆棋子總數(shù)為“3”份，三堆棋子總數(shù)為33=“9”份，其中黑子占“5”份，則白子占剩下的9-5=“4”份，那么白子占全部棋子的49=3甲、乙兩廠共同完成一批機床的生產任務，已知甲廠比乙廠少生產8臺機床，并且甲廠的生產量是乙廠的，那么甲、乙兩廠一共生產了機床多少臺? 【分析與解】 因為甲廠生產的是乙廠的，也就是甲廠為12份，乙廠為13份，那么甲廠比乙廠少1份=8臺總共=8(12+13)=200臺4足球賽門票15元一張，降價后觀眾增加了一半，收入增加了五

9、分之一，那么一張門票降價多少元? 【分析與解】設原來人數(shù)為“1”，則現(xiàn)在有1+0.5=1.5 原來收入為l15=15，降價后收人為15(1+)=18元，那么降價后門票為181.5=12元，則一張門票降價15-12=3元5李剛給軍屬王奶奶運蜂窩煤，第一次運了全部的，第二次運了50塊這時，已運來的恰好是沒運來的問還有多少塊蜂窩煤沒有運來? 【分析與解】 已經運來的是沒有運來的，則運來的是5份，沒有運來的是7份，也就是運來的占總數(shù)的則共有50(-)=1200塊，還剩下1200=700塊6有兩條紙帶，一條長21厘米，一條長13厘米，把兩條紙帶都剪下同樣長的一段以后，發(fā)現(xiàn)短紙帶剩下的長度是長紙帶剩下的長

10、度的問剪下的一段長多少厘米?【分析與解】方法一：開始時，兩條紙帶的長度差為2113=8厘米因為兩條紙帶都剪去同樣長度，所以兩條紙帶前后的長度差不變 設剪后短紙帶長度為“8”份，長紙帶即為“13”份，那么它們的差為13-8=5份，則每份為85=16(厘米) 所以，剪后短紙帶長為1.68=12.8(厘米)，于是剪去13-12.8=O.2(厘米) 方法二：設剪下厘米， 則，交叉相乘得：13(13-)=8(21-)，解得=0.2， 即剪下的一段長0.2厘米7為挖通300米長的隧道，甲、乙兩個施工隊分別從隧道兩端同時相對施工第一天甲、乙兩隊各掘進了10米，從第二天起，甲隊每天的工作效率總是前一天的2倍，

11、乙隊每天的工作效率總是前一天的l倍那么，兩隊挖通這條隧道需要多少天? 【分析與解】 如下表所示： 天數(shù)工作量12345甲10204080160乙101522.533.7550.625當天工作量203562.5113.75210.625已完成工作量2055117.5231.25441.375說明在第五天沒有全天干活，則第四天干完以后剩下：300-231.25=68.75米，那么共用時間為4+68.75210.625=4天8有一塊菜地和一塊麥地菜地的一半和麥地的三分之一放在一起是13公頃麥地的一半和菜地的三分之一放在一起是12公頃那么菜地是多少公頃?【分析與解】如下表所示：菜地麥地13公頃菜地3麥

12、地278公頃菜地2麥地372公頃菜地麥地12公頃 即5倍菜地公頃數(shù)+5倍麥地公頃數(shù)=78+72=150，所以菜地與麥地共有1505=30(公頃) 而菜地減去麥地，為78-72=6(公頃)，所以菜地有(30+6)2=18(公頃)9春風小學原計劃栽種楊樹、柳樹和槐樹共1500棵植樹開始后，當栽種了楊樹總數(shù)的和30棵柳樹以后，又臨時運來15棵槐樹，這時剩下的3種樹的棵數(shù)恰好相等問原計劃要栽植這三種樹各多少棵? 【分析與解】將楊樹分為5份，以這樣的一份為一個單位，則： 楊樹=5份；柳樹=2份+30棵；槐樹=2份-15棵， 則一份為(1500-30+15)(2+2+5)=165棵， 有：楊樹=5165=

13、825棵；柳樹=1652+30=360棵；槐樹=1652-15=315棵10. 師徒二人共同加工170個零件，師傅加工零件個數(shù)的比徒弟加工零件個數(shù)的還多10個那么，徒弟一共加工了多少個零件? 【分析與解】 我們用“師”表示師傅加工的零件個數(shù)，“徒”表示徒弟加工的零件個數(shù)，有：“師”- “徒”10，4“師”- 3“徒”=120,而4“師”+4“徒”=1704=680那么有7“徒”=680-120=560，“徒”=80，徒弟一共加工了80個零件11. 一批工人到甲、乙兩個工地進行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的1倍上午去甲工地的人數(shù)是去乙工地人數(shù)的3倍，下午這批工人中有的人去甲工地，其他

14、人到乙工地到傍晚時，甲工地的工作已做完，乙工地的工作還需4名工人再做1天那么這批工人共有多少名?【分析與解】設甲工地的工作量為“1.5”，則乙工地的工作量為“1”甲乙上午下午1-= 于是甲工地一整天平均用了這批工人的，乙工地一整天平均用了這批工人的1- 這批工人的完成了“1.5”的工作量，那么的這批工人完成1.52=“0.75”的工作量，于是乙工地還剩下1-0.75=“0.25”的工作量，這“0.25”的工作量需要4人工作1天 而甲、乙工地的工作量為1.5+1=2.5，那么需2.50.25 4=40人工作1天 所以原來這批工人共有40-4=36人12有一個分數(shù)，如果分子加1，這個分數(shù)就等于；如

15、果分母加1，這個分數(shù)就等于問原來的分數(shù)是多少? 【分析與解】 如果分子加1，則分數(shù)為，設這時的分數(shù)為：，則原來的分數(shù)為，分母加1后為：，交叉相乘得：3(-1)=2+1，解得=4，則原分數(shù)為13圖2-1是某市的園林規(guī)劃圖，其中草地占正方形的，竹林占圓形的，正方形和圓形的公共部分是水池已知竹林的面積比草地的面積大450平方米問水池的面積是多少平方米? 【分析與解】 因為水池是正方形的，是圓的，則正方形是水池的4倍，圓是水池的7倍，相差7-4=3倍，差450平方米，則水池=4503=150平方米14唐僧師徒四人吃了許多饅頭，唐僧和豬八戒共吃了總數(shù)的，唐僧和沙僧共吃了總數(shù)的，唐僧和孫悟空共吃了總數(shù)的那

16、么唐僧吃了總數(shù)的幾分之幾? 【分析與解】 唐+豬=、唐+沙=、唐+孫=(兩邊同時加減)唐+豬+唐+沙+唐+孫=2唐+(唐+豬+沙+孫)=2唐+1=+=1則：2唐=，唐= 唐僧吃了總數(shù)的15小李和小張同時開始制作同一種零件，每人每分鐘能制作1個零件，但小李每制作3個零件要休息1分鐘，小張每制作4個零件要休息1.5分鐘現(xiàn)在他們要共同完成制作300個零件的任務，需要多少分鐘? 【分析與解】方法一：先估算出大致所需時間，然后再進行調整 因為小李、小張的工作效率大致相等，那么完成時小李完成3002=150個零件左右；小李完成150個零件需要15034=200分鐘； 在200分鐘左右，198分鐘是5.5的

17、整數(shù)倍，此時乙生產1985.54=144個零件，并且剛休息完，所以在2分鐘后，即200分鐘時完成144+2=146個零件； 那么在200分鐘時，小李、小張共生產150+146=296個零件，還剩下4個零件未完成，所以再需2分鐘，小李生產2個零件，小張生產2個零件，正好完成 所以共需202分鐘才能完成方法二：把休息時間包括進去，小李每4分鐘做3個，小張每5.5分鐘做4個 則在44分鐘內小李做了：4443=33個，小張做了：445.54=32個，他們一共做了：33+32=65個 30065=440，也就是他們共同做了4個44分鐘即：444=176分鐘后，還剩下40個零件沒有做完 而22=4+4+4

18、+4+4+2=5.54，所以22分鐘內小李做了：3+3+3+3+3+2=17個，小張做了：42=16個，那么還剩下：40-17-16=7個，4分鐘內小李做3個，小張做4個，共做4+3=7個，即這40個零件還需要26分鐘 所以共用時間：444+26=202分鐘第三講 行程問題（1）涉及分數(shù)的行程問題.順水速度、逆水速度與流速的關系，以及與此相關的問題.環(huán)形道路上的行程問題.解題時要注意發(fā)揮圖示的輔助作用，有時宜恰當選擇運動過程中的關鍵點分段加以考慮1.王師傅駕車從甲地開往乙地交貨.如果他往返都以每小時60千米的速度行駛,正好可以按時返回甲地.可是,當?shù)竭_乙地時,他發(fā)現(xiàn)從甲地到乙地的速度只有每小時

19、55千米.如果他想按時返回甲地,他應以多大的速度往回開? 【分析與解】 設甲地到乙地的路程為單位“1”,那么按時的往返一次需時間,現(xiàn)在從甲到乙花費了時間155千米,所以從乙地返回到甲地時所需的時間只能是.即如果他想按時返回甲地,他應以每小時66千米的速度往回開2. 甲、乙兩地相距100千米,小張先騎摩托車從甲地出發(fā),1小時后小李駕駛汽車從甲地出發(fā),兩人同時到達乙地.摩托車開始速度是每小時50千米,中途減速后為每小時40千米.汽車速度是每小時80千米,汽車曾在途中停駛1O分鐘.那么小張駕駛的摩托車減速是在他出發(fā)后的多少小時?【分析與解】 汽車從甲地到乙地的行駛時問為10080=1.25小時=1小

20、時15分鐘,加上中途停駛的10分鐘,共用時1小時25分鐘 而小張先小李1小時出發(fā),但卻同時到達,所以小張從甲到乙共用了2小時25分鐘，即2最小時以下給出兩種解法：方法一:設小張駕駛的摩托車減速是在他出發(fā)后小時,有50+40,解得. 所以小張駕駛的摩托車減速是在他出發(fā)后小時. 方法二:如果全程以每小時50千米的速度行駛,需10050=2小時的時間,全程以每小時40千米的速度行駛,需10040=2.5小時.依據(jù)雞兔同籠的思想知,小張以每小時50千米的速度行駛了的路程,即行駛了100千米的路程,距出發(fā)小時.3. 一位少年短跑選手,順風跑90米用了10秒鐘.在同樣的風速下,逆風跑70米,也用了10秒鐘

21、.問:在無風的時候,他跑100米要用多少秒? 【分析與解】 我們知道順風速度=無風速度+風速,逆風速度=無風速度-風速. 有順風時速度為9010=9米/秒,逆風速度為7010=7米/秒 則無風速度=米/秒所以無風的時候跑100米，需1008=12.5秒.4. 一條小河流過A，B, C三鎮(zhèn).A,B兩鎮(zhèn)之間有汽船來往,汽船在靜水中的速度為每小時11千米.B,C兩鎮(zhèn)之間有木船擺渡,木船在靜水中的速度為每小時3.5千米.已知A,C兩鎮(zhèn)水路相距50千米,水流速度為每小時1.5千米.某人從A鎮(zhèn)上船順流而下到B鎮(zhèn),吃午飯用去1小時,接著乘木船又順流而下到C鎮(zhèn),共用8小時.那么A,B兩鎮(zhèn)間的距離是多少千米?【

22、分析與解】 如下畫出示意圖， 有AB段順水的速度為11+1.5=12.5千米/小時,有BC段順水的速度為3.5+1.5=5千米/小時而從AC全程的行駛時間為8-1=7小時設AB長千米,有,解得=25所以A,B兩鎮(zhèn)間的距離是25千米.5.一條大河有A,B兩個港口,水由A流向B,水流速度是每小時4千米.甲、乙兩船同時由A向B行駛,各自不停地在A,B之間往返航行,甲船在靜水中的速度是每小時28千米,乙船在靜水中的速度是每小時20千米.已知兩船第二次迎面相遇的地點與甲船第二次追上乙船(不算甲、乙在A處同時開始出發(fā)的那一次)的地點相距40千米,求A,B兩個港口之間的距離. 【分析與解】 設AB兩地的路程

23、為單位“1”,則： 甲、乙兩人在A、B往返航行，均從A點同時同向出發(fā),則第次同向相遇時,甲、乙兩人的路程差為2； 甲、乙兩人在A、B往返航行,均從A點同時同向出發(fā),則第次相向相遇時,甲、乙兩人的路程和為2； 甲、乙兩人在A、B往返航行,分別從A、B兩點相向出發(fā),則第次同向相遇時,甲、乙兩人的路程差為(2-1)； 甲、乙兩人在A、B往返航行,分別從A、B兩點相向出發(fā),則第次相向相遇時,甲、乙兩人的路程和為(2-1) 有甲船的順水速度為32千米/小時,逆水速度為24千米/小時， 乙船的順水速度為24千米/小時，逆水速度為16千米/小時. 兩船第二次迎面相遇時,它們的路程和為“4”；甲船第二次追上乙

24、船時，它們的路程差為“4”. (一)第二次迎面相遇時，一定是甲走了23個AB長度，乙走了21個AB長度，設甲走了2個AB的長度,則乙走了2-個AB的長度,有 ，解得，即第二次迎面相遇的地點距A點AB的距離.(二)第二次甲追上乙時，有甲行走(為整數(shù)，1)個AB的長度，則乙行走了個AB的長度，有，化簡得，顯然無法滿足為整數(shù)，1； 第二次甲追上乙時，有甲行走(y為整數(shù)，1)個AB的長度，則乙行走了個AB的長度，有，化簡有，有，. 即第二次甲追上乙時的地點距B點AB的距離，那么距A也是AB的距離 所以，題中兩次相遇點的距離為(AB，為40千米，所以AB全長為240千米.6.甲、乙兩船分別在一條河的A，

25、B兩地同時相向而行,甲順流而下,乙逆流而上.相遇時,甲乙兩船行了相等的航程,相遇后繼續(xù)前進,甲到達B地、乙到達A地后,都立即按原來路線返航,兩船第二次相遇時,甲船比乙船少行1000米.如果從第一次相遇到第二次相遇的時間相隔為1小時20分,那么河水的流速為每小時多少千米? 【分析與解】 因為甲、乙第一次相遇時行駛的路程相等,所以有甲、乙同時刻各自到達B、A兩地.接著兩船再分別從B、A兩地往AB中間行駛.所以在第二次相遇前始終是一船逆流、一船順流,那么它們的速度和始終等于它們在靜水中的速度和. 有:甲靜水速度+水速=乙靜水速度水速. 還有從開始到甲第一次到達B地，乙第一次到達A地之前,兩船在河流中

26、的速度相等.所以甲船比乙船少行駛的1000米是在甲、乙各自返航時產生的 甲乙返航時,有甲在河流中行駛的速度為:甲靜水速度-水速,乙在河流中的速度為:乙靜水速度+水速.它們的速度差為4倍水速 從第一次相遇到第二次相遇,兩船共行駛了2AB的路程,而從返航到第二次相遇兩船共行駛了AB的路程,需時間802=40分鐘 有4倍水速=,有水速=375米/小時=0.375千米/小時即河水的流速為每小時0.375千米7.甲、乙二人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點同時出發(fā)，背向而行.現(xiàn)在已知甲走一圈的時間是70分鐘，如果在出發(fā)后45分鐘甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的時間是多少分鐘? 【分析與解】 甲行走45分鐘，再行

27、走7045=25分鐘即可走完一圈.而甲行走45分鐘，乙行走45分鐘也能走完一圈.所以甲行走25分鐘的路程相當于乙行走45分鐘的路程 甲行走一圈需70分鐘，所以乙需702545=126分鐘即乙走一圈的時間是126分鐘8.如圖3-1，甲和乙兩人分別從一圓形場地的直徑兩端點同時開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運動，當乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇.求此圓形場地的周長 【分析與解】 注意觀察圖形，當甲、乙第一次相遇時，甲乙共走完圈的路程，當甲、乙第二次相遇時，甲乙共走完1+圈的路程 所以從開始到第一、二次相遇所需的時間比為1：3，因而第二次相遇時乙行走的總路程

28、為第一次相遇時行走的總路程的3倍，即1003=300米 有甲、乙第二次相遇時，共行走(1圈60)+300，為圈，所以此圓形場地的周長為480米9.甲、乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓練：他們同時從同一地點出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達出發(fā)點后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時，乙的速度是甲速度的.甲跑第二圈時速度比第一圈提高了；乙跑第二圈時速度提高了已知沿跑道看從甲、乙兩人第二次相遇點到第一次相遇點的最短路程是190米，那么這條橢圓形跑道長多少米? 【分析與解】設甲跑第一圈的速度為3，那么乙跑第一圈的速度為2，甲跑第二圈的速度為4，乙跑第二圈的速度為. 如下圖，第一次相遇地點逆時針方向

29、距出發(fā)點的跑道長度 有甲回到出發(fā)點時，乙才跑了的跑道長度.在乙接下來跑了跑道的距離時，甲以“4”的速度跑了圈 所以還剩下的跑道長度，甲以4的速度，乙以的速度相對而跑，所以乙跑了圈.也就是第二次相遇點逆時針方向距出發(fā)點圈即第一次相遇點與第二次相遇點相差圈，所以，這條橢圓形跑道的長度為米10.如圖3-2，在400米的環(huán)形跑道上，A,B兩點相距100米.甲、乙兩人分別從A，B兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒鐘.那么甲追上乙需要時間是多少秒? 【分析與解】 如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的時間為100(5-4)=100秒 此時甲跑了1005=

30、500米，乙跑了1004=400米 而實際上甲跑500米，所需的時間為100+410=140秒，所以140150秒時甲都在逆時針距A點500處 而乙跑400米所需的時間為100+310=130秒，所以130140秒時乙走在逆時針距B點400處顯然從開始計算140秒時，甲、乙在同一地點，即甲追上乙需要時間是140秒11.周長為400米的圓形跑道上，有相距100米的A，B兩點甲、乙兩人分別從A，B兩點同時相背而跑，兩人相遇后，乙即轉身與甲同向而跑，當甲跑到A時，乙恰好跑到B如果以后甲、乙跑的速度和方向都不變，那么甲追上乙時，甲從出發(fā)開始，共跑了多少米? 【分析與解】 如下圖,記甲乙相遇點為C. 當

31、甲跑了AC的路程時，乙跑了BC的路程；而當甲跑了400米時，乙跑了2BC的路程 由乙的速度保持不變，所以甲、乙第一次相向相遇所需的時間是甲再次到達A點所需時間的. 即AC=400=200(米)，也就是甲跑了200米時，乙跑了100米，所以甲的速度是乙速度的2倍 那么甲到達A，乙到達B時，甲追上乙時需比乙多跑400-100=300米的路程，所以此后甲還需跑300(2-1)2=600米，加上開始跑的l圈400米所以甲從出發(fā)到甲追上乙時，共跑了600+400=1000米12.如圖3-3，一個長方形的房屋長13米，寬8米甲、乙兩人分別從房屋的兩個墻角出發(fā)，甲每秒鐘行3米，乙每秒鐘行2米.問:經過多長時

32、間甲第一次看見乙?【分析與解】 開始時，甲在順時針方向距乙8+13+8=29米因為一邊最長為 13、所以最少要追至只相差13，即至少要追上29-13=16米 甲追上乙16米所需時間為16(3-2)=16秒，此時甲行了316=48米，乙行了216=32米 甲、乙的位置如右圖所示：顯然甲還是看不見乙，但是因為甲的速度比乙快，所以甲能在乙離開上面的那條邊之前到達上面的邊，從而看見乙而甲要到達上面的邊，需再跑2米，所需時間為23=秒所以經過16+=16秒后甲第一次看見乙.13.如圖3-4,學校操場的400米跑道中套著300米小跑道,大跑道與小跑道有200米路程相重甲以每秒6米的速度沿大跑道逆時針方向跑

33、,乙以每秒4米的速度沿小跑道順時針方向跑,兩人同時從兩跑道的交點A處出發(fā),當他們第二次在跑道上相遇時,甲共跑了多少米?【分析與解】 如下圖,甲、乙只可能在大跑道上相遇并且只能在AB順時針的半跑道上易知小跑道AB逆時針路程為100,順時針路程為200,大跑道上AB的順、逆時針路程均是200米我們將甲、乙的行程狀況分析清楚 當甲第一次到達B時,乙還沒有到達B點,所以第一次相遇一定在逆時針的BA某處 而當乙第一次到達B點時，所需時間為2004=50秒,此時甲跑了506=300米,在B點300-200=100米處 乙跑出小跑道到達A需1004=25秒,則甲又跑了256=150米,在A點左邊(100+1

34、50)-200=50米處 所以當甲到達B處時,乙還未到B處,那么甲必定能在B點右邊某處與乙第二次相遇 從乙再次到達A處開始計算,還需(400-50)(6+4)=35秒,甲、乙第二次相遇,此時甲共跑了50+25+35=110秒所以,從開始到甲、乙第二次相遇甲共跑了1106=660米14如圖3-5,正方形ABCD是一條環(huán)形公路已知汽車在AB上時速是90千米，在BC上的時速是120千米，在CD上的時速是60千米,在DA上的時速是80千米從CD上一點P,同時反向各發(fā)出一輛汽車,它們將在AB中點相遇如果從PC的中點M,同時反向各發(fā)出一輛汽車,它們將在AB上一點N相遇問A至N的距離除以N至B的距離所得到的

35、商是多少? 【分析與解】 如下圖,設甲始終順時針運動,乙始終逆時針運動,并設正方形ABCD的邊長為單位“1”.有甲從P到達AB中點O所需時間為.乙從P到達AB中點O所需時間為.有甲、乙同時從P點出發(fā),則在AB的中點O相遇,所以有：=且有PD=DC-PC=1-PC,代入有,解得PC=. 所以PM=MC=,DP=. 現(xiàn)在甲、乙同時從PC的中點出發(fā),相遇在N點,設AN的距離為. 有甲從M到達N點所需時間為；乙從M到達N點所需時間為.有，解得.即AN=.所以ANBN15.如圖3-6，8時10分,有甲、乙兩人以相同的速度分別從相距60米的A，B兩地順時針方向沿長方形ABCD的邊走向D點.甲8時20分到D

36、點后,丙、丁兩人立即以相同速度從D點出發(fā).丙由D向A走去,8時24分與乙在E點相遇；丁由D向C走去，8時30分在F點被乙追上.問三角形BEF的面積為多少平方米?【分析與解】 如下圖，標出部分時刻甲、乙、丙、丁的位置 先分析甲的情況，甲10分鐘，行走了AD的路程；再看乙的情況，乙的速度等于甲的速度，乙14分鐘行走了60+AE的路程，乙20分鐘走了60+AD+DF的路程所以乙10分鐘走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF的路程有，有 然后分析丙的情況,丙4分鐘,行了走ED的路程,再看丁的情況,丁的速度等于丙的速度,丁10分鐘行走了DF的距離 有，即5ED2DF 聯(lián)立，解得 于是,得到如下的

37、位置關系： -=6087(平方米)第五講 質數(shù)與和數(shù)與質數(shù)有關的構造問題，通過分解質因數(shù)求解的整數(shù)問題1、有人說：“任何7個連續(xù)整數(shù)中一定有質數(shù)”請你舉一個例子，說明這句話是錯的 【分析與解】 例如連續(xù)的7個整數(shù)：842、843、844、845、846、847、848分別能被2、3、4、5、6、7、8整除，電就是說它們都不是質數(shù)評注：有些同學可能會說這是怎么找出來的，翻質數(shù)表還是，我們注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，(n+1)!+(n+1)這n個數(shù)分別能被2、3、4、(n+1)整除，它們是連續(xù)的n個合數(shù)其中n!表示從1一直乘到n的積，即123n2、從小到大寫出5個質

38、數(shù)，使后面的數(shù)都比前面的數(shù)大12 【分析與解】 我們知道12是2、3的倍數(shù)，如果開始的質數(shù)是2或3，那么即與12的和一定也是2或3的倍數(shù)，將是合數(shù)，所以從5開始嘗試有5、17、29、41、53是滿足條件的5個質數(shù)39個連續(xù)的自然數(shù)，它們都大于80，那么其中質數(shù)最多有多少個?【分析與解】 大于80的自然數(shù)中只要是偶數(shù)一定不是質數(shù)，于是奇數(shù)越多越好，9個連續(xù)的自然數(shù)中最多只有5個奇數(shù)，它們的個位應該為1，3，5，7，9但是大于80且個位為5的數(shù)一定不是質數(shù)，所以最多只有4個數(shù)驗證101，102，103，104，105，106，107，108，109這9個連續(xù)的自然數(shù)中101、103、107、109

39、這4個數(shù)均是質數(shù)也就是大于80的9個連續(xù)自然數(shù)，其中質數(shù)最多能有4個4. 用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字組成質數(shù)，如果每個數(shù)字都要用到并且只能用一次，那么這9個數(shù)字最多能組成多少個質數(shù)? 【分析與解】要使質數(shù)個數(shù)最多，我們盡量組成一位的質數(shù)，有2、3、5、7均為一位質數(shù)，這樣還剩下1、4、6、8、9這5個不是質數(shù)的數(shù)字未用有1、4、8、9可以組成質數(shù)41、89，而6可以與7組合成質數(shù)67所以這9個數(shù)字最多組成了2、3、5、41、67、89這6個質數(shù)53個質數(shù)的倒數(shù)之和是，則這3個質數(shù)之和為多少? 【分析與解】設這3個質數(shù)從小到大為a、b、c，它們的倒數(shù)分別為、，計算它們的和時需

40、通分，且通分后的分母為abc，求和得到的分數(shù)為,如果這個分數(shù)能夠約分，那么得到的分數(shù)的分母為a、b、c或它們之間的積現(xiàn)在和為，分母1986=23331，所以一定是a=2，b=3，c=331，檢驗滿足所以這3個質數(shù)的和為2+3+331=3366已知一個兩位數(shù)除1477，余數(shù)是49求滿足這樣條件的所有兩位數(shù)【分析與解】 有1477除數(shù)=商49，那么1477-49：除數(shù)商，所以，除數(shù)商=1428=223717 一般情況下有除數(shù)大于余數(shù)即除數(shù)大于49且整除1428，有84、51、68滿足 所以滿足題意的兩位數(shù)有51、68、847有一種最簡真分數(shù)，它們的分子與分母的乘積都是140如果把所有這樣的分數(shù)從小

41、到大排列，那么第三個分數(shù)是多少? 【分析與解】 有140=2257，因為這些分數(shù)的分子與分母的乘積均為140，當分母越大時，分子越小，所以對應的分數(shù)也越小 有分母從大到小依次為140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1； 對應分子從小到大依次為1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140； 對應分數(shù)從小到大依次為而、其中第三個最簡真分數(shù)為8某校師生為貧困地區(qū)捐款1995元這個學校共有35名教師，14個教學班各班學生人數(shù)相同且多于30人不超過45人如果平均每人捐款的錢數(shù)是整數(shù)，那么平均每人捐款多少元?【分析與解】 這個學校最少有35+1430=455名師生，

42、最多有35+1445=665名師生，并且?guī)熒側藬?shù)能整除19951995=35133，在455665之間的約數(shù)只有5133=665，所以師生總數(shù)為665人，則平均每人捐款1995665=3元9在做一道兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的乘法題時，小馬虎把一乘數(shù)中的數(shù)字5看成8，由此得乘積為1872那么原來的乘積是多少? 【分析與解】 1872=22223313=口口口口，其中某個口為8，一一驗證只有：1872=4839，1872=7824滿足當為1872=4839時，小馬虎錯把5看成8，也就是錯把45看成48，所以正確的乘積應該是4539=1755當為1872=7824時，小馬虎錯把5看成8，也就是錯把75看成

43、78，所以正確的乘積應該是7524=1800所以原來的積為1755或180010.已知兩個數(shù)的和被5除余1，它們的積是2924，那么它們的差等于多少?【分析與解】 2924=221743=AB，且有A+B被5除余l(xiāng)，則和的個位為1或6 有417+43=68+43=11l，也就是說68、43為滿足題意的兩個數(shù) 它們的差為68-43=2511在射箭運動中，每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”(脫靶)，或者是不超過10的自然數(shù)甲、乙兩名運動員各射了5箭，每人5箭得到的環(huán)數(shù)的積都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)求甲、乙的總環(huán)數(shù)各是多少? 【分析與解】 1764=223377，1764對應為5個小于10的

44、自然數(shù)乘積 只能是1764=43377 =26377 =22977 =16677 =14977對應的和依次為4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28 對應的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭環(huán)數(shù)為4、3、3、7、7，乙的5箭環(huán)數(shù)為1、4、9、7、7所以甲的總環(huán)數(shù)為24，乙的總環(huán)數(shù)為2812在面前有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長、寬、高都是質數(shù)，那么這個長方體的體積是多少? 【分析與解】 如下圖，設長、寬、高依次為a、b、c，有正面和上面的和為ac+ab=209 ac+ab=a(

45、c+b)=209，而209=1119 當a=11時，c+b=19，當兩個質數(shù)的和為奇數(shù)，則其中必定有一個數(shù)為偶質數(shù)2，則c+b=2+17; 當a=19時，c+b=11，則c+b=2+9，b為9不是質數(shù)，所以不滿足題意所以它們的乘積為11217=37413.一個長方體的長、寬、高是連續(xù)的3個自然數(shù)，它的體積是39270立方厘米，那么這個長方體的表面積是多少平方厘米?【分析與解】方法一：39270=23571117，為三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，而343434即最接近39270，39270的約數(shù)中接近或等于34的有35、34、33，有333435=39270所以33、34、35為滿足題意的長、寬、高則長

46、方體的表面積為：2(長寬+寬高+高長)=2(3334+3435+3533)=6934(平方厘米)方法二：39270=23571117，為三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，考慮質因數(shù)17，如果17作為長、寬或高顯然不滿足當17與2結合即34作為長方體一條邊的長度時有可能成立，再考慮質因數(shù)7，與34接近的數(shù)3236中，只有35含有7，于是7與5的乘積作為長方體的一條邊的長度而39270的質因數(shù)中只剩下了3和1l，所以這個長方體的大小為333435長方體的表面積為2(+)=2(1190+1155+1122)=23467=6934(平方厘米)14一個長方體的長、寬、高都是整數(shù)厘米，它的體積是1998立方厘米，那么

47、它的長、寬、高的和的最小可能值是多少厘米?【分析與解】 我們知道任意個已確定個數(shù)的數(shù)的乘積一定時，它們相互越接近，和越小如3個數(shù)的積為18，則三個數(shù)為2、3、3時和最小，為81998=233337，37是質數(shù)，不能再分解，所以2333對應的兩個數(shù)應越接近越好有2333=69時，即1998=6937時，這三個自然數(shù)最接近它們的和為6+9+37=52(厘米)15如果兩數(shù)的和是64，兩數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個數(shù)的差等于多少? 【分析與解】4875=355513， 有ab為4875的約數(shù)，且這兩個數(shù)的和為64發(fā)現(xiàn)39=313、25=55這兩個數(shù)的和為64，所以39、25為滿足題意的兩個數(shù) 那

48、么它們的差為39-25=14 評注：由上題可推知，當兩個數(shù)的和一定時，這兩個數(shù)越接近，積越大，所以兩個和為64的數(shù)的乘積最大為3232=1024，而積最小為163=63 而4875在641024之間的約數(shù)有65，195，325，375，975等 我們再對65，195，325，375，975等一一驗證 嚴格的逐步計算，才不會漏掉滿足題意的其他的解而在本題中滿足題意的只有39、25這組數(shù)第六講 工程問題 多人完成工作、水管的進水與排水等類型的應用題解題時要經常進行工作時間與工作效率之間的轉化 1甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時司以完成任務如果甲單獨加工，便需要12小時完成現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產了

49、2小時后，甲被調出做其他工作，由乙繼續(xù)生產了420個零件才完成任務問乙一共加工零件多少個? 【分析與解】乙單獨加工，每小時加工=. 甲調出后，剩下工作乙需做(82)()=(小時)，所以乙每小時加工零件420=25個，則2小時加工225=60(個)，因此乙一共加工零件60+420480(個) 2某工程先由甲單獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成如果由甲、乙兩人合作，需48天完成現(xiàn)在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么還需做多少天?【分析與解】 由右表知，甲單獨工作15天相當于乙單獨工作20天，也就是甲單獨工作3天相當于乙單獨工作4天 所以，甲單獨工作63天，相當于乙單獨工作6334=8

50、4天，即乙單獨工作84+28=112天即可完成這項工程 現(xiàn)在甲先單獨做42天，相當于乙單獨工作4234=56天，即乙還需單獨工作11256=56天即可完成這項工程 3有一條公路，甲隊獨修需10天，乙隊獨修需12天，丙隊獨修需15天現(xiàn)在讓3個隊合修，但中間甲隊撤出去到另外工地，結果用了6天才把這條公路修完當甲隊撤出后，乙、丙兩隊又共同合修了多少天才完成? 【分析與解】 甲、乙、丙三個隊合修的工作效率為+=，那么它們6天完成的工程量為6=，而實際上因為中途撤出甲隊6天完成了的工程量為1 所以1=是因為甲隊的中途撤出造成的，甲隊需=5(天)才能完成的工程量，所以甲隊在6天內撤出了5天 所以，當甲隊撤

51、出后，乙、丙兩隊又共同合修了5天才完成 4一件工程，甲隊獨做12天可以完成，甲隊做3天后乙隊做2天恰好完成一半現(xiàn)在甲、乙兩隊合做若干天后，由乙隊單獨完成，做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時間相等，則共用了多少天? 【分析與解】 甲隊做6天完成一半，甲隊做3天乙隊做2天也完成一半。所以甲隊做3天相當于乙隊做2天 即甲的工作效率是乙的，從而乙單獨做12=8(天)完成，所以兩段所用時間相等，每段時間應是： 8(1+l+)3(天)，因此共用326(天) 5抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當甲、乙每天工作效率和的如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨抄需要多少天才能完

52、成？ 【分析與解】已知甲、乙、丙合抄一天完成書稿的，又已知甲每天抄寫量等于乙、丙兩人每天抄寫量之和，因此甲兩天抄寫書稿的，即甲每天抄寫書稿的； 由于丙抄寫5天相當于甲乙合抄一天，從而丙6天抄寫書稿的，即丙每天抄寫書稿的；于是可知乙每天抄寫書稿的. 所以乙一人單獨抄寫需要1=24天才能完成 6游泳池有甲、乙、丙三個注水管如果單開甲管需要20小時注滿水池；甲、乙兩管合開需要8小時注滿水池；乙、丙兩管合開需要6小時注滿水池那么，單開丙管需要多少小時注滿水池? 【分析與解】 乙管每小時注滿水池的-=, 丙管每小時注滿水池的-=. 因此，單開丙管需要1=10(小時) 7一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完

53、成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天可以完成那么甲、丁兩人合作多少天可以完成? 【分析與解】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、. 對于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)(乙，丙)=(甲，丁)即+=，所以甲、丁合作的工作效率為所以，甲、丁兩人合作24天可以完成這件工程 8一項工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成那么丙一個人來做，完成這項工作需要多少天? 【分析與解】 方法一：對于工作效率有： (甲，乙)+(乙，丙)(丙，甲)=2乙，即+=為兩倍乙的工作效率，所以乙的工作效率為 而對于工作效率有，(乙，丙)乙=丙，那么丙的工作效率為 那么丙一個人來做，完成這項工作需1=48天 方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)，所以(甲，乙，丙)=2，即甲、乙、丙3人合作的工作效率為 那么丙單獨工作的工作效率為，那么丙一個人來做，完成這項工作需48