《2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計大一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用習(xí)題 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計大一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用習(xí)題 理（含解析）新人教A版（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第9節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用最新考綱1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義；2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.知 識 梳 理1.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同2.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a、b為常數(shù)，

2、a0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)與對數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)與冪函數(shù)相關(guān)模型f(x)axnb(a，b，n為常數(shù)，a0)微點提醒1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長速度緩慢.2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗證數(shù)學(xué)結(jié)果對實際問題的合理性.基 礎(chǔ)

3、自 測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利.()(2)函數(shù)y2x的函數(shù)值比yx2的函數(shù)值大.()(3)不存在x0，使ax0x1)的增長速度會超過并遠遠大于yxa(a0)的增長速度.()解析(1)9折出售的售價為100(110%)99元.每件賠1元，(1)錯.(2)中，當(dāng)x2時，2xx24.不正確.(3)中，如ax0，n，不等式成立，因此(3)錯.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修1P107A1改編)在某個物理實驗中，測得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013

4、.98y0.990.010.982.00則對x，y最適合的擬合函數(shù)是()A.y2x B.yx21C.y2x2 D.ylog2x解析根據(jù)x0.50，y0.99，代入計算，可以排除A；根據(jù)x2.01，y0.98，代入計算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)ylog2x，可知滿足題意.答案D3.(必修1P59A6改編)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A.2020年

5、B.2021年C.2022年 D.2023年解析設(shè)經(jīng)過n年資金開始超過200萬元，即130(112%)n200.兩邊取對數(shù)，得nlg1.12lg 2lg 1.3，n，n4，從2021年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.答案B4.(2018昆明診斷)生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)x22x20(萬元).一萬件售價是20萬元，為獲取最大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為()A.36萬件 B.18萬件C.22萬件 D.9萬件解析利潤L(x)20xC(x)(x18)2142，當(dāng)x18萬件時，L(x)有最大值.答案B5.(201

6、8黃岡檢測)已知f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當(dāng)x(4，)時，對三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列選項中正確的是()A.f(x)g(x)h(x) B.g(x)f(x)h(x)C.g(x)h(x)f(x) D.f(x)h(x)g(x)解析在同一坐標(biāo)系內(nèi)，根據(jù)函數(shù)圖象變化趨勢，當(dāng)x(4，)時，增長速度由大到小依次g(x)f(x)h(x).答案B6.(2019北京海淀區(qū)月考)某公司為了發(fā)展業(yè)務(wù)制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案，在銷售額x為8萬元時，獎勵1萬元.銷售額x為64萬元時，獎勵4萬元.若公司擬定的獎勵模型為yalog4xb.某業(yè)務(wù)員要得到8萬元獎勵，則他的銷售額應(yīng)為_萬元.解

7、析依題意解得y2log4x2，令2log4x28，得x451 024.答案1 024考點一利用函數(shù)的圖象刻畫實際問題【例1】 (2017全國卷)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)解析由題圖可知，2014年8月到9月的月接待游客量在減少，則A選項錯誤.答案A規(guī)律方法1.當(dāng)根據(jù)題意不易

8、建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際情況的答案.2.圖形、表格能直觀刻畫兩變量間的依存關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng).【訓(xùn)練1】 高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時水的體積為v，則函數(shù)vf(h)的大致圖象是()解析vf(h)是增函數(shù)，且曲線的斜率應(yīng)該是先變大后變小，故選B.答案B考點二已知函數(shù)模型求解實際問題【例2】 為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層，體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑

9、物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)(0x10，k為常數(shù))，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最??？并求最小值.解(1)當(dāng)x0時，C8，k40，C(x)(0x10)，f(x)6x6x(0x10).(2)由(1)得f(x)2(3x5)10.令3x5t，t5，35，則y2t1021070(當(dāng)且僅當(dāng)2t，即t20時等號成立)，此時x5，因此f(x)的最小值為70.隔熱層修建5 cm厚時，總費用f(x)達到最小，最小值為7

10、0萬元.規(guī)律方法1.求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點.(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).2.利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.【訓(xùn)練2】 已知某服裝廠生產(chǎn)某種品牌的衣服，銷售量q(x)(單位：百件)關(guān)于每件衣服的利潤x(單位：元)的函數(shù)解析式為q(x)求該服裝廠所獲得的最大效益是多少元？解設(shè)該服裝廠所獲效益為f(x)元，則f(x)100xq(x)當(dāng)0x20時，f(x)126 000，f(x)在區(qū)間(0，20上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x20時，f(x)有最大值120 000.當(dāng)20x180時，f(x)9 0

11、00x300x，則f(x)9 000450，令f(x)0，x80.當(dāng)20x0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)80x180時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x80時，f(x)有極大值，也是最大值240 000.由于120 000240 000.故該服裝廠所獲得的最大效益是240 000元.考點三構(gòu)造函數(shù)模型求解實際問題多維探究角度1二次函數(shù)、分段函數(shù)模型【例31】 “活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點.研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù).當(dāng)x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當(dāng)4x

12、20時，v是x的一次函數(shù)，當(dāng)x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年.(1)當(dāng)0x20時，求函數(shù)v關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達到最大？并求出最大值.解(1)由題意得當(dāng)0x4時，v2，當(dāng)4x20時，設(shè)vaxb(a0)，顯然vaxb在(4，20內(nèi)是減函數(shù)，由已知得解得所以vx.故函數(shù)v(2)設(shè)年生長量為f(x)千克/立方米，依題意，由(1)得f(x)當(dāng)0x4時，f(x)為增函數(shù)，故f(x)maxf(4)428；當(dāng)4x20時，f(x)x2x(x220x)(x10)2，f(x)maxf(10)12.5.所以當(dāng)0x20時，f(x

13、)的最大值為12.5.故當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米.角度2構(gòu)建指數(shù)(對數(shù))型函數(shù)模型【例32】 一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的.(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？解(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0x1)，則a(1x)10a，即(1x)10，解得x1.故每年砍伐面積的百分比為1.(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的，則a(1x)ma，把x1代入，

14、即，即，解得m5.故到今年為止，該森林已砍伐了5年.規(guī)律方法1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型解題，關(guān)鍵是對模型的判斷，先設(shè)定模型，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，求解時要準(zhǔn)確進行指、對數(shù)運算，靈活進行指數(shù)與對數(shù)的互化.2.實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車計價與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解.但應(yīng)關(guān)注以下兩點：分段要簡潔合理，不重不漏；分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.【訓(xùn)練3】 (1)某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10 m3的，按每立方米m元收費；用水超過10 m3的，超過部分加倍

15、收費.某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水為()A.13 m3 B.14 m3 C.18 m3 D.26 m3(2)(2017北京卷)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是()(參考數(shù)據(jù)：lg 30.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093解析(1)設(shè)該職工用水x m3時，繳納的水費為y元，由題意得y則10m(x10)2m16m，解得x13.(2)M3361，N1080，則lglglg 3361lg1080361lg 38093.1093.答案(1)A(2)D思維升華解函數(shù)應(yīng)

16、用問題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.以上過程用框圖表示如下：易錯防范1.解應(yīng)用題思路的關(guān)鍵是審題，不僅要明白、理解問題講的是什么，還要特別注意一些關(guān)鍵的字眼(如“幾年后”與“第幾年后”，學(xué)生常常由于讀題不謹慎而漏讀和錯讀，導(dǎo)致題目不會做或函數(shù)解析式寫錯，故建議復(fù)習(xí)時務(wù)必養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣.2.在解應(yīng)用題建模后一定要注意定義域，建模的關(guān)鍵是注意尋找量與量之間的相互依賴關(guān)系.3.

17、解決完數(shù)學(xué)模型后，注意轉(zhuǎn)化為實際問題寫出總結(jié)答案.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.一根蠟燭長20 cm，點燃后每小時燃燒5 cm，燃燒時剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(小時)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的()解析由題意得關(guān)系式為h205t(0t4).圖象應(yīng)為B項.答案B2.設(shè)某公司原有員工100人從事產(chǎn)品A的生產(chǎn)，平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值t萬元(t為正常數(shù)).公司決定從原有員工中分流x(0x100，xN*)人去進行新開發(fā)的產(chǎn)品B的生產(chǎn).分流后，繼續(xù)從事產(chǎn)品A生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值在原有的基礎(chǔ)上增長了1.2x%.若要保證產(chǎn)品A的年產(chǎn)值不減少，則最多能分流的人數(shù)是()A.15

18、B.16 C.17 D.18解析由題意，分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為100t(萬元)，分流x人后，每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為(100x)(11.2x%)t，則由解得0x.因為xN*，所以x的最大值為16.答案B3.某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y14.1x0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y22x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()A.10.5萬元 B.11萬元C.43萬元 D.43.025萬元解析設(shè)公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16x)輛，所以可得利潤y4.1x

19、0.1x22(16x)0.1x22.1x320.10.132.因為x0，16且xN，所以當(dāng)x10或11時，總利潤取得最大值43萬元.答案C4.我們處在一個有聲世界里，不同場合，人們對聲音的音量會有不同要求.音量大小的單位是分貝(dB)，對于一個強度為I的聲波，其音量的大小可由如下公式計算：10lg(其中I0是人耳能聽到聲音的最低聲波強度)，則70 dB的聲音的聲波強度I1是60 dB的聲音的聲波強度I2的()A.倍 B.10倍C.10倍 D.ln倍解析由10lg 得II010，所以I1I0107，I2I0106，所以10，所以70 dB的聲音的聲波強度I1是60 dB的聲音的聲波強度I2的10

20、倍.答案C5.當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5 730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它經(jīng)過的“半衰期”個數(shù)至少是()A.8 B.9 C.10 D.11解析設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1，則經(jīng)過n個“半衰期”后的含量為，由，得n10.所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少需要經(jīng)過10個“半衰期”.答案C二、填空題6.(2017江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一

21、年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是_.解析一年的總運費與總存儲費用之和為y64x4x2240，當(dāng)且僅當(dāng)4x，即x30時，y有最小值240.答案307.“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的.已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關(guān)系Ra(a為常數(shù))，廣告效應(yīng)為DaA.那么精明的商人為了取得最大廣告效應(yīng)，投入的廣告費應(yīng)為_(用常數(shù)a表示).解析令t(t0)，則At2，所以Datt2a2.所以當(dāng)ta，即Aa2時，D取得最大值.答案a28.一個容器裝有細沙a cm3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩

22、余的細沙量為yaebt(cm3)，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過_min，容器中的沙子只有開始時的八分之一.解析當(dāng)t8時，yae8ba，所以e8b.容器中的沙子只有開始時的八分之一時，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，則t24.所以再經(jīng)過16 min容器中的沙子只有開始時的八分之一.答案16三、解答題9.某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2，其中3x6，a為常數(shù).已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解(1)因為x5時，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為y10(x6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)(x3)210(x3)(x6)2，3x3，解得x10.所以，10年內(nèi)該企業(yè)的人均年終獎不會超過3萬元.(2)任取x1，x2N*，且1x10，所以608002 000a0，解得a24.所以，為使人均年終獎年年有增長，該企業(yè)每年員工的凈增量不能超過23人.15