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1、第一章 隨機(jī)事件與概率習(xí)題參考答案與提示 1 設(shè)為三個事件，試用表示下列事件，并指出其中哪兩個事件是互逆事件：（1）僅有一個事件發(fā)生； （2）至少有兩個事件發(fā)生；（3）三個事件都發(fā)生； （4）至多有兩個事件發(fā)生；（5）三個事件都不發(fā)生； （6）恰好兩個事件發(fā)生。 分析：依題意，即利用事件之間的運(yùn)算關(guān)系，將所給事件通過事件表示出來。 解：（1）僅有一個事件發(fā)生相當(dāng)于事件有一個發(fā)生，即可表示成；類似地其余事件可分別表為（2）或；（3）；（4）或；（5）；（6）或。 由上討論知，（3）與（4）所表示的事件是互逆的。2如果表示一個沿著數(shù)軸隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)位置，試說明下列事件的包含、互不相容等關(guān)系： 解：

2、（1）包含關(guān)系： 、 。（2）互不相容關(guān)系：與（也互逆）、與、與。3寫出下列隨機(jī)事件的樣本空間：（1） 將一枚硬幣擲三次，觀察出現(xiàn)（正面）和（反面）的情況；（2）連續(xù)擲三顆骰子，直到6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)停止, 記錄擲骰子的次數(shù)； （3）連續(xù)擲三顆骰子，記錄三顆骰子點(diǎn)數(shù)之和；（4）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品時(shí)停止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總數(shù)。解：（1）；（2）； （3）；（4）。4設(shè)對于事件有, ，求至少出現(xiàn)一個的概率。 提示：至少出現(xiàn)一個的概率即為求，可應(yīng)用性質(zhì)4及性質(zhì)5得 5設(shè)、為隨機(jī)事件，求。 提示：欲求，由概率性質(zhì)3可先計(jì)算。 解：由于，且，從而 即 由概率性質(zhì)3得。6已知事件、滿足且，求。 解法一：由性質(zhì)

3、（5）知 = （性質(zhì)5） = （性質(zhì)3） = （對偶原理）= （已知條件） 解法二：由于 = =從而得，即 7一個袋中有5個紅球2個白球，從中任取一球，看過顏色后就放回袋中，然后再從袋中任取一球。求：（1）第一次和第二次都取到紅球的概率； （2）第一次取到紅球，第二次取到白球的概率。解：設(shè)表示：“第一次和第二次都取到紅球”； 表示：“第一次取到紅球，第二次取到白球“。 （1）由于()=，且()=，故 （2）由于()=，且()=，故 8一批產(chǎn)品有8個正品2個次品，從中任取兩次，每次取一個（不放回）。求：（1）兩次都取到正品的概率；（2）第一次取到正品，第二次取到次品的概率；（3）第二次取到次品的

4、概率；（4）恰有一次取到次品的概率。解：設(shè)表示：“第次取出的是次品”（=1，2），則所求概率依次化為、。由于無放回地從10個產(chǎn)品中任取兩次，每次取一個，第一次有10個可取，第二次有9個可取，因此(。（1）由于(87，所以 （2）(82，所以 或直接用乘法公式 （3）由于(21，(82，且，所以 ?；蛑苯佑贸朔ü?（4）由于互不相容， 。 9設(shè)有80件產(chǎn)品，其中有3件次品，從中任取5件檢查。求所取5件中至少有3件為正品的概率。解：設(shè)：“所取5件中至少有3件為正品”；則的對立事件為至多有2件為正品，即：“恰有2件為正品”（最多有3件次品）。因此 或： 。 10從5雙不同的鞋子中任取4只，求4只鞋

5、子至少有2只配成一雙的概率。 分析：直接求4只鞋子至少有2只配成一雙的概率不易得到正確的結(jié)果，這是由于所考慮事件比較復(fù)雜，解決此類問題的方法通常是利用概率性質(zhì)3，即先求逆事件的概率。該題的解法較多，現(xiàn)分述如下： 解：設(shè)事件表示：“取出的4只鞋子至少有2只配成一雙”，則事件表示：取出的4只鞋任意兩只均不能配成一雙”。方法一若取鞋子是一只一只地?。ú环呕兀?，則共有取法10987種，而取出的4只鞋任意兩只均不能配成一雙的取法共有10864種，所以 方法二、從5雙不同的鞋子中任取4只，共有=210種取法。取出的4只鞋任意兩只均不能配成一雙共有=80種取法（先從5雙中任取4雙共種取法，然后從每雙鞋子中任

6、取一只，每雙鞋子有2種取法，故共有種取法）。所以 方法三、為了使取出的4只鞋子任意兩只均不能配成一雙，故可考慮4只鞋子中取左腳（只，右腳只（這只右腳只能從剩余的雙鞋子中任?。┢涔灿蟹N取法，故 方法四、（直接法）設(shè)事件表示：“取出的4只鞋子恰有雙配對”（=1，2），則，且。包含基本事件數(shù)為從5雙鞋子中任取一雙，同時(shí)在另外4雙鞋子中任取不能配對的兩只的不同取法共有種（）；包含基本事件數(shù)為從5雙鞋子中任取2雙，不同取法共有種。故 11假設(shè)每個人的生日在一年365天都是等可能的，那么隨機(jī)選取個人，求他們的生日各不相同的概率及這個人至少有兩個人生日在同一天的概率；若，求上述兩個事件的概率。 分析：此問題

7、屬于占位問題。 解：設(shè)表示事件：“個人的生日各不相同”；表示事件：“這個人至少有兩個人生日在同一天”。由于每個人的生日在一年365天都是等可能的，所以()=，()，從而。 由于事件是事件的對立事件，所以 若取，則 12某進(jìn)出口公司外銷員與外商約談，兩人相約某天8點(diǎn)到9點(diǎn)在預(yù)定地點(diǎn)會面，先到者要等候另一個人20分鐘，過時(shí)就離去，若每人在這指定的一個小時(shí)內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)是等可能的，求事件=兩人能會面的概率。 解：設(shè)分別表示兩人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn) 的時(shí)刻，那么兩人到達(dá)時(shí)間的可能結(jié)果 60 對應(yīng)邊長為60的正方形里所有點(diǎn)（見圖1-1）， 這個正方形就是樣本空間，而兩人能會面 的充要條件是，即且 ，所以，事件對

8、應(yīng)圖中陰影 圖1-1部分里的所有點(diǎn)。因此，所求概率為 13設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時(shí)被打破的概率為3/10，第二次落下時(shí)被打破的概率為1/2，第三次落下時(shí)被打破的概率為9/10，試求透鏡落下三次未打破的概率。 分析：解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意，弄清概率1/2、9/10的具體含義。依題意“第二次落下時(shí)被打破的概率為1/2”指的是第一次落下未被打破的情況下，第二次落下時(shí)被打破的概率；概率9/10的含義類似。 解：設(shè)表示“第次落下時(shí)未被打破”，表示“落下三次未被打破”，則， 14由長期統(tǒng)計(jì)資料得知，某一地區(qū)在4月份下雨（記作事件）的概率為4/15，刮風(fēng)（記作事件）的概率為7/15，

9、刮風(fēng)又下雨（記作事件）的概率為1/10。求， ，。 解： .15設(shè)、為隨機(jī)事件，若，求：（1）；（2） 。 分析：該題主要是考查條件概率公式、乘法公式及概率性質(zhì)的應(yīng)用。解：（1）； （2）。 16一機(jī)床有1/3的時(shí)間加工零件，其余時(shí)間加工零件，加工零件時(shí)，停機(jī)的概率是3/10，加工零件時(shí)，停機(jī)的概率是4/10，求這臺機(jī)床停機(jī)的概率。分析：依題意，這是一全概率問題。解：設(shè)事件表示：“加工零件”；事件表示：“加工零件；事件表示：“機(jī)床停機(jī)”。 則由全概率公式得 17有兩個口袋，甲袋中盛有2個白球1個黑球；乙袋中盛有1個白球2個黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再從乙袋中取出一球，求取到白球的概率。 分

10、析：依題意，這是一全概率問題，因?yàn)閺囊掖腥〕鲆磺蚴前浊蛴袃蓚€前提，即由甲袋任取一球放入乙袋有兩種可能（由甲袋任取出的球可能是白球，也可能是黑球），并且也只有這兩種可能。因此若把這兩種可能看成兩個事件，這兩個事件的和事件便構(gòu)成了一個必然事件。 解：設(shè)表示：“由甲袋取出的球是白球”；表示：“由甲袋取出的球是黑球”；表示：“從乙袋取出的球是白球”。則由全概率公式得 18設(shè)有一箱同類產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，其中是第一家工廠生產(chǎn)的，其余兩家各生產(chǎn)，又知第一、二家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有2%的次品，第三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有4%的次品，現(xiàn)從箱中任取一只，求： （1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品，它是

11、第三家工廠生產(chǎn)的概率。 解：設(shè)事件表示：“取到的產(chǎn)品是次品”；事件表示：“取到的產(chǎn)品是第家工廠生產(chǎn)的”（）。則，且。（1）又由于兩兩互不相容，由全概率公式得 （2）由條件概率定義、乘法公式、全概率公式得 =。 19某專門化醫(yī)院平均接待K型病患者50%，L型病患者30%，M型病患者20%，而治愈率分別為7/10、8/10、9/10。今有一患者已治愈，問此患者是K型病的概率是多少？ 分析：依題意，這是一全概率公式及貝葉斯公式的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是找出一組兩兩互斥事件。 解：設(shè)事件表示：“一患者已治愈”；事件（）表示：“患者是K、L 、M型病的”。則，且，兩兩互斥，由全概率公式得 = 20三個

12、人獨(dú)立地破譯一個密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為1/5、1/3、1/4，求此密碼被譯出的概率。 解：設(shè)事件表示：“此密碼被譯出”；事件表示：“第個人破譯出密碼”（），則。 方法一、 方法二、由相互獨(dú)立知，也相互獨(dú)立，所以 。21若，證明事件相互獨(dú)立。 證明：由于，且，所以 從而有 故由定義1-4知，事件相互獨(dú)立。22一個系統(tǒng)由三個元件按圖所示方式連接而成，設(shè)每個元件能正常工作的概率（即元件的可靠性）均為 A；求系統(tǒng)的可靠性。（設(shè)三個元件能否正常工作是 C相互獨(dú)立的）。 B分析：此問題是考查事件間的關(guān)系及獨(dú)立性的應(yīng)用。解：設(shè)事件、分別表示如圖：“元件、正常工作”； 則問題化為求。23設(shè)事件與相互

13、獨(dú)立，已知，求，。 解： = 解得，；所以 。 24已知，求。 分析：由，因此轉(zhuǎn)化為計(jì)算概率及，而。 解：由條件概率公式知 又，所以 故。25隨機(jī)地向半圓（為正常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，若該點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率。 解：設(shè)事件：“表示擲的點(diǎn)和原點(diǎn)的連線與軸的夾角小于”；這是一個幾何概型的概率計(jì)算問題。由幾何概率公式（如圖） 而故 26設(shè)有來自三個地區(qū)的各10名、15名、25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份、7份、5份。隨機(jī)地取一個地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽出兩份，求：（1）先抽到的一份是女生表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生表，求

14、先抽到的一份是女生表的概率。 分析：依題意，所有報(bào)名表來自三個地區(qū)，因此隨機(jī)地取一個地區(qū)的報(bào)名表，抽到各個地區(qū)的報(bào)名表的概率應(yīng)是相等的；若從中先后抽出兩份，則（1）可用全概率公式求得；（2）是一個條件概率。 解：設(shè)（表示“第次抽到的一份是女生表”； （表示“抽到的報(bào)名表來自第個地區(qū)”。 （1）) （2） 補(bǔ)充1（修訂版15）甲、乙、丙三商店分別有50、75、100名職工，女職工依此占50%、60%、70%。設(shè)所有職工受顧客表揚(yáng)是等可能的，與性別無關(guān)?，F(xiàn)知一女職工受到顧客表揚(yáng)，問此人是丙商店職工的概率是多少？ 分析：依題意，這是一全概率公式及貝葉斯公式的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是找出一組兩兩互斥

15、事件。 解：設(shè)事件表示：“一女職工受到顧客表揚(yáng)”；事件（）分別表示：“此人是甲、乙、丙商店的職工”。則，且，兩兩互斥，由全概率公式得 = 。補(bǔ)充2（修訂版17）設(shè)A、B是一個試驗(yàn)中的兩個事件，假設(shè)，則取何值時(shí)可說明A和B是相互獨(dú)立的。分析：此問題是考查獨(dú)立性概念及加法公式。解：由概率性質(zhì)5及已知條件知 由獨(dú)立性定義及已知條件應(yīng)有 解得。故取0.5時(shí)可說明A和B是相互獨(dú)立的。補(bǔ)充3（修訂版18）已知在制造某一產(chǎn)品時(shí)，出現(xiàn)A類不合格的概率為0.1，出現(xiàn)B類不合格的概率為0.05（假定出現(xiàn)兩類不合格是相互獨(dú)立的）求下列事件的概率： （1）一件產(chǎn)品沒有兩類不合格；（2） 一件產(chǎn)品有不合格。分析：此問題

16、是考查事件間的關(guān)系。解：設(shè)事件表示：“出現(xiàn)A類不合格”； 事件表示：“出現(xiàn)類不合格”；則“一件產(chǎn)品沒有兩類不合格”相當(dāng)于“都不發(fā)生”，即（1）化為求；“一件產(chǎn)品有不合格” 相當(dāng)于“至少有一個發(fā)生”，即（2）化為求。故（1）（2）。補(bǔ)充4（修訂版21） 設(shè)事件與事件相互獨(dú)立，試證明：事件與事件，事件與事件，事件與事件也相互獨(dú)立。分析：欲證明相互獨(dú)立，只需證；證明：由于，所以 由事件獨(dú)立的定義知，事件與事件相互獨(dú)立。 同理可證，事件與事件相互獨(dú)立。 （3）由于 所以事件與事件相互獨(dú)立。第二章 隨機(jī)變量及其分布 1對某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到擊中為止。如果每次射擊命中率為，求射擊次數(shù)的分布律。解：設(shè)表示

17、射擊次數(shù)，由題意知的可能取值為1，2，3，而 所以射擊次數(shù)的分布律為 1 2 3 2一批零件中有9個合格品與3個廢品，安裝時(shí)從這批零件中任取一個，如果每次取出的廢品不再放回，求在取得合格品以前取出的廢品數(shù)的分布律。分析：在取得合格品以前取出的廢品數(shù)是一隨機(jī)變量，要求其分布律，只需確定隨機(jī)變量的一切可能取值及相應(yīng)的概率即可。解：設(shè)表示在取得合格品以前取出的廢品數(shù)，由題意知的可能取值為0，1，2，3，而 （相當(dāng)于第一次取到的是合格品） （相當(dāng)于第二次才取到合格品） 所以，隨機(jī)變量的分布律為 0 1 2 3 3/4 9/44 9/220 1/220 3設(shè)隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 1/5 2

18、/5 3/10 1/10求：（1）的分布函數(shù)；（2）；（3）解：（1）由概率分布與分布函數(shù)的關(guān)系式 得的分布函數(shù) （2）； （3）。4已知的分布函數(shù)為。設(shè)是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，求常數(shù)。 解：要使是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，由分布函數(shù)的性質(zhì)知，必有 =1 即，從而解得。 5將3個球隨機(jī)地放入4個杯子中去，求某杯中有球個數(shù)的分布律。 分析：某杯中有球個數(shù)只有4種可能：3個球都在該杯中；3個球中的兩個球放在該杯中；3個球中的一個球放入該杯中；3個球都不在該杯中。因此某杯中有球個數(shù)是一個離散型隨機(jī)變量，它可能的取值為0，1，2，3。運(yùn)用第一章的有關(guān)知識可求出取相應(yīng)值的概率。若將每個球隨機(jī)地放入4個杯

19、子中，它是否落入某杯中看作一次試驗(yàn)，則它是一貝努利試驗(yàn)。隨機(jī)地將3個球放入4個杯子中去，即是三重的貝努利試驗(yàn)，因此某杯中有球個數(shù)服從二項(xiàng)分布。 解法一：設(shè)表示“某杯中有球個數(shù)”，則可能取值為：0，1，2，3。而將3個球隨機(jī)地放入4個杯子中去共有種放法，即3個球隨機(jī)地放入其它3個杯子中去，共有種放法，所以 同理得 故某杯中有球個數(shù)的概率分布列為 0 1 2 3 27/64 27/64 9/64 1/64 解法二：設(shè)表示“某杯中有球個數(shù)”，則服從，的二項(xiàng)分布，即，所以的分布律為 或表示為 0 1 2 3 27/64 27/64 9/64 1/64 6自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為，生產(chǎn)過程中

20、出現(xiàn)廢品時(shí)立即調(diào)整。求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品的分布律。解：設(shè)表示在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品的個數(shù)，由題意知的可能取值為0，1，2，3，而 所以的分布律為 0 1 2 7一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號燈顯示的時(shí)間相等。以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口個數(shù)，求的概率分布和分布函數(shù)。 解：由題意知的一切可能取值為0，1，2，3。為計(jì)算方便設(shè)： 表示：“汽車在第個路口遇到紅燈”，則相互獨(dú)立，且由條件知。所以 ； 即的概率分布列為 0 1 2 3 1/2 1/4 1/8 1/8 的分布函數(shù)為 8 設(shè)隨機(jī)變量

21、的分布函數(shù)為 求：（1）系數(shù)A；（2）隨機(jī)變量落在區(qū)間（0.3，0.7）內(nèi)的概率； （3）隨機(jī)變量的概率密度。 分析：本題是已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)，由分布函數(shù)的性質(zhì)可求出系數(shù)A；再由概率密度函數(shù)性質(zhì)可求得（2）及（3）。解：（1）由分布函數(shù)的連續(xù)性性質(zhì)得，故分布函數(shù)為 （2）由概率密度函數(shù)性質(zhì)知，落在區(qū)間（0.3，0.7）內(nèi)的概率為 （3）由概率密度函數(shù)性質(zhì)知，所求概率密度為 9設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求：（1）系數(shù)；（2）落在區(qū)間內(nèi)的概率；（3）的分布函數(shù)。 分析：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度必須滿足歸一性，因此由歸一性及定義可求出系數(shù)及的分布函數(shù)，至于（2）可由的分布函數(shù)求得。 解：（1）由歸

22、一性， 解得。 （3）由連續(xù)型隨機(jī)變量的定義知的分布函數(shù)為 當(dāng)時(shí)，=0； 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，故的分布函數(shù)為 （2）所求概率為 10 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 求：（1），；（2）的概率密度。解：（1） （2）隨機(jī)變量的概率密度為 11 設(shè)隨機(jī)變量的分布密度 ，求分布函數(shù)。 解：當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 。故隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 12公共汽車站每隔5分鐘有一輛客車通過，乘客到達(dá)汽車站的任一時(shí)刻是等可能的。求乘客侯車時(shí)間不超過3分鐘的概率。解：設(shè)表示乘客侯車時(shí)間，則，乘客侯車時(shí)間不超過3分鐘的概率為 補(bǔ)充1（修訂版11）某城市每天耗電量不超過一百萬千瓦小時(shí)，13設(shè)隨機(jī)變量，求；。解： 14設(shè)

23、測量從某地到某目標(biāo)的距離時(shí)，帶有的隨機(jī)誤差具有分布密度 （1）求測量誤差的絕對值不超過30的概率；（2）如果接連測量三次，各次測量是相互獨(dú)立的，求至少有一次誤差的絕對值不超過30的概率。解：（1） （2）設(shè)表示3次獨(dú)立重復(fù)測量中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則服從二項(xiàng)分布，即,從而問題化為求。 15在電源電壓不超過200、和超過240伏三種情況下，某種電子元件塤壞的概率分別為0.1、0.001和0.2，假定電源電壓，試求：（1）該電子元件被塤壞的概率； （2）電子元件被塤壞時(shí)，電源電壓在伏內(nèi)的概率。 分析：電子元件被塤壞時(shí)，電源電壓只可能是不超過200、和超過240伏三種情況下之一，因此（1）屬于全概率問題

24、；（2）屬于條件概率問題。 解：設(shè)：“電源電壓不超過200伏”；：“電源電壓在伏”； ：“電源電壓超過240伏”； ：“電子元件被塤壞”。由于，所以 或 由題設(shè),，所以由全概率公式 由條件概率公式 16隨機(jī)向量的分布密度為 求（1）系數(shù)；（2）落在圓內(nèi)的概率。解：（1）由歸一性， 得。（2） 17只取下列數(shù)組中的值（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），其相應(yīng)的概率依次為1/6，1/3，1/12，5/12，試列出的概率分布表，并求出關(guān)于的邊緣分布。解：的概率分布表為 -1 0 2 0 0 1/6 5/12 1/3 1/12 0 0 1 1/3 0 0關(guān)于的邊緣分布為 0 1/3

25、 1 7/12 1/12 1/3 18袋中裝有標(biāo)有號碼1，2，2的三只球，從袋中任取一球后不再放回，然后再從袋中任取一球，以、分別表示第一次、第二次取得球上的號碼。求和的聯(lián)合概率分布。解：的所有可能取值為(1，2)、(2，1)、(2，2)，由概率乘法公式得 此外是不可能事件，所以,于是（，）的概率分布表為 1 2 1 0 1/3 2 1/3 1/3 19設(shè)的概率密度為求：（1）常數(shù)；（2）關(guān)于的邊緣概率密度；（3）隨機(jī)變量與是否相互獨(dú)立，為什么？解：（1）由歸一性 解得 （2）所以 所以 （3）由于，故隨機(jī)變量與相互獨(dú)立。20設(shè)隨機(jī)向量（，）的分布函數(shù) 求：（1）系數(shù)、； （2）（，）的分布密

26、度； （3）邊緣分布密度。解：（1）由分布函數(shù)性質(zhì) （1） （2） （3）由（1）得，由（2）得，代入（3）得。故隨機(jī)向量（，）的分布函數(shù)為 （2）由分布函數(shù)性質(zhì)（4）知 （3） 21設(shè)二維隨機(jī)變量（，）的概率分布為 求隨機(jī)變量和的邊緣分布密度、。 分析：二維隨機(jī)變量（，）關(guān)于隨機(jī)變量和的邊緣概率密度，可應(yīng)用（2-10）式和（2-11）式求得。 解：（1）如圖2-4，由（2-10）式知，當(dāng)時(shí) = 其它情形均為零，故的邊緣概率密度為 1 = 圖2-4 同理，當(dāng)時(shí) = 其它情形均為零，故的邊緣分布密度為 22設(shè)的分布密度為 （1）求條件分布密度及；（2）判斷是否獨(dú)立。 分析：條件分布密度及，可由（

27、2-17）及（2-19）式求得，這就需先求關(guān)于、的邊緣概率分布。 解：（1）的非零取值區(qū)域如圖2-5陰影部分，由（2-10）式，當(dāng)時(shí)， =其它情況均為零，故關(guān)于的邊緣分布密度為 由（2-19）式知，當(dāng)時(shí)，的條件分布密度為 1 同理，由（2-11）式 圖2-5 =由（2-17）式，時(shí) 時(shí)， （2）不獨(dú)立，因?yàn)椤?3隨機(jī)向量（）在矩形區(qū)域，內(nèi)服從均勻分布。求（）的分布密度及邊緣分布密度，并判斷是否獨(dú)立。解：由題意知（）的分布密度為 當(dāng)， ，其它均為0，故（）關(guān)于的邊緣分布密度為 同理得（）關(guān)于的邊緣分布密度為 又由于，所以獨(dú)立。補(bǔ)充2（修訂版23）在習(xí)題22中，求及的條件分布密度。解：由上題獨(dú)立的

28、結(jié)論知，當(dāng)時(shí)，有 當(dāng)時(shí)，有 24設(shè)，求的分布密度。解： 25設(shè)的概率分布為 -2 -1 1 2 3/10 1/10 1/5 2/5求；（1）的概率分布；（2）的概率分布。解：（1）的概率分布為 3 6 3/10 7/10 （2）的概率分布為 -7 0 2 9 3/10 1/10 1/5 2/526設(shè)，求：（1）的分布密度；（2）的分布密度。解：（1）由，即解得，故，當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí)，所以的分布密度為 （2）由分布函數(shù)定義，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí) 所以的分布密度為 27. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為是的分布函數(shù)。求隨機(jī)變量的分布函數(shù)。分析:先求出分布函數(shù)的具體形式，從而可確定 ,然后按定義求的分布函數(shù)即可。注意應(yīng)先確

29、定的值域范圍，再對分段討論.解: 易見，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，。對于，有 。設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù). 顯然，當(dāng)時(shí)，=0；當(dāng)時(shí)，=1. 對于，有 = =。于是，的分布函數(shù)為 注：事實(shí)上，本題為任意連續(xù)型隨機(jī)變量均可，此時(shí)仍服從均勻分布:當(dāng)時(shí)，=0;當(dāng) 時(shí)，=1;當(dāng) 0時(shí)， = =。28已知隨機(jī)變量且與相互獨(dú)立，設(shè)隨機(jī)變量，求的概率分布。 解：本題考查有關(guān)正態(tài)分布的性質(zhì)，由正態(tài)分布的性質(zhì)“若與相互獨(dú)立，且，則仍服從正態(tài)分布，即”，再由正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)也服從正態(tài)分布，即，故 29設(shè)與相互獨(dú)立，都服從0，2上的均勻分布，求。 分析：由條件知、的分布密度分別為 ， ，從而由獨(dú)立性得與的聯(lián)合概率分布為 所

30、以由概率分布的性質(zhì) 。30設(shè)和相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量(，)聯(lián)合分布律及關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律的部分值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處。 1/81/81/61解：由聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關(guān)系知；由和相互獨(dú)立性知，即；同理，依此得表中空白處的其它數(shù)值見下表： 1/241/81/121/41/83/81/43/41/61/21/3131設(shè)相互獨(dú)立，其密度函數(shù)分別為 求的概率密度。解：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，所以 或： 所以 32. 設(shè)的分布密度為 求：（1）關(guān)于的邊緣分布密度，并判斷是否獨(dú)立； （2）的概率分布。 分析：由于的分布密度中包含待定常數(shù)，故應(yīng)首先將其確定。解：由歸一性, 解得。（1）所以

31、關(guān)于的邊緣分布密度為 同理得關(guān)于的邊緣分布密度為 由于,故相互獨(dú)立。 （2）當(dāng)時(shí) ； 當(dāng)時(shí) 故的分布函數(shù)為 的概率分布為 33已知的概率分布 1 0 1 0 1 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2而且。求：（1）隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布；（2）問和是否獨(dú)立？為什么？ 分析：隨機(jī)變量與的聯(lián)合分布即為隨機(jī)向量（，）的概率分布。由于和均為離散型隨機(jī)變量，所以（，）為離散型隨機(jī)向量，求其概率分布就是求（，）的所有可能取值及其相應(yīng)的概率。解：（1）依題意，(,)所有可能取值：(-1，0)，(0，0)，(1，0)，（-1，1），（0，1），（1，1），由。易得又由的概率分布與和的聯(lián)合概率分布間的關(guān)系知 因

32、此由歸一性（或由邊緣分布與聯(lián)合概率分布間的關(guān)系），必有 于是得和的聯(lián)合概率分布表如下： 0 1 -1 1/4 0 0 0 1/2 1 1/4 0（2）由聯(lián)合概率分布表得和的分布列分別為 -1 0 1 1/4 1/2 1/4 0 1 1/2 1/2 顯然，故和不獨(dú)立。34假設(shè)一電路裝有三個同種電子元件，其工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無故障工作時(shí)間都服從參數(shù)為0的指數(shù)分布，當(dāng)三個電子元件都無故障時(shí)電路正常工作，否則整個電路不能正常工作，試求電路正常工作的時(shí)間的概率分布。 分析：電路正常工作的時(shí)間即三個電子元件無故障工作時(shí)間的最小值。 解：設(shè)表示“第個元件無故障時(shí)間”，且的分布為 而電路正常工作的時(shí)間，即

33、故電路正常工作的時(shí)間服從指數(shù)分布，其概率分布為。35設(shè)和的聯(lián)合分布是正方形上的均勻分布，試求隨機(jī)變量的概率密度。解：由條件知和的聯(lián)合概率密度為 32 1 1 2 3 以表示隨機(jī)變量的分布函數(shù)。顯然，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)，。設(shè)時(shí)，則 圖2-6 于是，隨機(jī)變量的概率密度為 36設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，其中的概率分布為 0 1 0.3 0.7而的概率密度為，求隨機(jī)變量的概率密度。分析：求二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，一般用分布函數(shù)法轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的概率. 注意只有兩個可能的取值，求概率時(shí)可用全概率公式進(jìn)行計(jì)算。解： 設(shè)是的分布函數(shù)，則由全概率公式，知的分布函數(shù)為 = =。由于和獨(dú)立，可見 =由此,得的概率密度 =注： 本

34、題屬新題型，求兩個隨機(jī)變量和的分布，其中一個是連續(xù)型一個是離散型，具有一定的難度和綜合性。第 三 章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為 3 0 1 5 0.1 0.2 0.3 0.4試求。解：。2已知隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 0.1 0.4 0.2求：（1）常數(shù) ；（2）數(shù)學(xué)期望；（3）方差。解：（1）由歸一性，；（2）；（3）由于；所以， 3 已知隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 0.3 0.5 求：（1）數(shù)學(xué)期望；（2）方差。解：（1）由歸一性，；設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列為 0 1 0.2 0.8 所以， ；又；所以， 4已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布為 求的數(shù)學(xué)期望。解：

35、5設(shè)隨機(jī)變量服從拉普拉斯分布，其分布密度為，（）。求的數(shù)學(xué)期望。分析：該題要求熟練掌握計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的公式。解：由數(shù)學(xué)期望的定義，有 令，則 =。6設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求：（1）常數(shù)；（2）數(shù)學(xué)期望；（3）方差 。 解：（1）由歸一性， 從而得，； （2）=；（3）由于=； 于是 。7設(shè)的概率分布為 （）求、。解： 8設(shè)的概率分布為 求的數(shù)學(xué)期望和方差。分析：該題考察計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的公式。解：由數(shù)學(xué)期望的定義，有，由是奇函數(shù)，故有，令，則有從而可得 。9設(shè)用A、B兩測量儀器測量某一產(chǎn)品的直徑多次，結(jié)果如下表：118 119 120 121 122 0.06

36、 0.14 0.60 0.15 0.05118 119 120 121 122 0.09 0.15 0.52 0.16 0.08試比較兩種儀器的優(yōu)劣。分析：由于題設(shè)中沒有給出所測產(chǎn)品直徑的真實(shí)值，故要比較兩種儀器的優(yōu)劣，就是要比較這兩種儀器哪個的測量精度更高一些，即要比較兩種儀器測量的方差哪個更小一些。解：由題設(shè)，得，。而 =1.104。 =0.6552。顯然有，可見A 儀器的測量誤差要比B儀器的測量誤差大，故B儀器要優(yōu)良些。10設(shè)的概率分布為 求：（1）的數(shù)學(xué)期望；（2）的數(shù)學(xué)期望。解： 11試證明事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)的方差不超過。分析：事件在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)為，的二

37、項(xiàng)分布，當(dāng)然在一次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)應(yīng)服從，即為(0-1)分布。證明：令顯然，其中表示每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率。則，。而，故有，即事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)的方差不超過。 12設(shè)的概率分布分別為 求：和。 分析：由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)知，要計(jì)算和，關(guān)鍵是計(jì)算、。 解：由于均服從指數(shù)分布，故知； =、，因此由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)得 13設(shè)是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率分布分別為 ； 求。 解： 14設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望，方差。試求：（1）的概率密度；（2）的概率密度。 解：由題意知，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，即，其概率密度為 由正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布知，隨機(jī)變量的分布應(yīng)為。又，所以，其概

38、率密度為 。15設(shè)隨機(jī)變量、，且相互獨(dú)立，求：（1）的期望和方差；（2）的期望和方差。分析：由兩個獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)也服從正態(tài)分布即可得到相應(yīng)分布，進(jìn)而求得其期望和方差。解：（1）由、，且相互獨(dú)立知，從而得 （2）同樣由、，且相互獨(dú)立知，從而得 16設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，且已知，求。解： =1即，解得=1。17設(shè)二維隨機(jī)變量(，)的聯(lián)合概率分布律為 0 1 0 0.1 0.2 1 0.3 0.4求：（1），； （2）(，)的協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)，協(xié)方差陣，相關(guān)陣。 解：（1）關(guān)于和的邊緣分布律分別為 0 1 0 1 0.3 0.7 0.4 0.6所以 （2）； Cov 協(xié)方差陣

39、為 相關(guān)陣為 18設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求相關(guān)系數(shù)。 分析：欲求相關(guān)系數(shù)，需先求、Cov。 解： 同理得，進(jìn)而得 Cov 。 19設(shè)兩個隨機(jī)變量的方差分別為25及36，相關(guān)系數(shù)為0.4，求(及(。解：由方差的性質(zhì)知(20設(shè)與方差分別為4和1，協(xié)方差，求：（1）與的相關(guān)系數(shù)；（2）及。分析：與的相關(guān)系數(shù)可由相關(guān)系數(shù)的定義(3-16)式直接求得。及可由方差的性質(zhì)2、協(xié)方差的性質(zhì)及其關(guān)系求得。解：（1）由題設(shè)知，從而得由方差的性質(zhì)，協(xié)方差的性質(zhì)及其關(guān)系可知2Cov 21設(shè)表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，若每次命中目標(biāo)的概率為0.4，則的數(shù)學(xué)期望 。分析：由題意，由于，所以，而 故 22已知、分別服從正態(tài)分布和，且與的相關(guān)系數(shù)，設(shè)，求： （1）求數(shù)學(xué)期望，方差； （2）與的相關(guān)系數(shù)； 分析：本題要求熟悉數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差的性質(zhì)、計(jì)算及有關(guān)正態(tài)分布的性質(zhì)。 解：（1）由數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)及相關(guān)系數(shù)的定義得 2Cov () ； （2）由協(xié)方差的性質(zhì)3得 CovCovCovCov 從而有與的相關(guān)系數(shù) ；23設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為0.5,求。解： = =4+ 。24假設(shè)一部機(jī)器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)