2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)13 實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)建模 文 北師大版
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1、課后限時(shí)集訓(xùn)13 實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)建模 建議用時(shí):45分鐘 一、選擇題 1.(2019·廣東廣州一模)如圖,一高為H且裝滿水的魚缸,其底部裝有一排水小孔,當(dāng)小孔打開(kāi)時(shí),水從孔中勻速流出,水流完所用時(shí)間為T.若魚缸水深為h時(shí),水流出所用時(shí)間為t,則函數(shù)h=f(t)的圖像大致是( ) B [函數(shù)h=f(t)是關(guān)于t的減函數(shù),故排除C,D,一開(kāi)始,h隨著時(shí)間的變化,變化緩慢,水排出超過(guò)一半時(shí),h隨著時(shí)間的變化,變化加快,故對(duì)應(yīng)的圖像為B,故選B.] 2.某新產(chǎn)品投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷售100臺(tái),第二個(gè)月銷售200臺(tái),第三個(gè)月銷售400臺(tái),第四個(gè)月銷售790臺(tái),則下列函數(shù)模型中能
2、較好地反映銷量y與投放市場(chǎng)的月數(shù)x之間關(guān)系的是( ) A.y=100x B.y=50x2-50x+100 C.y=50×2x D.y=100log2x+100 C [根據(jù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異和題目中的數(shù)據(jù)可知,應(yīng)為指數(shù)函數(shù)模型.故選C.] 3.某商品價(jià)格前兩年每年遞增20%,后兩年每年遞減20%,則四年后的價(jià)格與原來(lái)價(jià)格比較,變化的情況是( ) A.減少7.84% B.增加7.84% C.減少9.5% D.不增不減 A [設(shè)某商品原來(lái)價(jià)格為a,四年后價(jià)格為: a(1+0.2)2(1-0.2)2=a×1.22×0.82=0.921 6a, (0.921 6-1)a=-0.0
3、78 4a, 所以四年后的價(jià)格與原來(lái)價(jià)格比較,減少7.84%.] 4.某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長(zhǎng)率為p,第二年的增長(zhǎng)率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為( ) A. B. C. D.-1 D [設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x,原生產(chǎn)總值為a,則a(1+p)·(1+q)=a(1+x)2,解得x=-1,故選D.] 5.某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費(fèi)f(x)(元)滿足關(guān)系f(x)=已知某家庭2019年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如下表: 月份 用氣量 煤氣費(fèi) 一月份 4 m3 4元 二月份 25 m3 14元 三月份 35 m3 19元 若
4、四月份該家庭使用了20 m3的煤氣,則其煤氣費(fèi)為( ) A.11.5元 B.11元 C.10.5元 D.10元 A [根據(jù)題意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以f(x)=所以f(20)=4+(20-5)=11.5,故選A.] 二、填空題 6.一個(gè)工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的總成本y(單位:萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(單位:臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y=0.1x2+10x+300(0<x≤240,x∈N),若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元,生產(chǎn)的產(chǎn)品全部賣出,則該工廠獲得最大利潤(rùn)(利潤(rùn)=銷售收入-產(chǎn)品成本)時(shí)的產(chǎn)量是__
5、______臺(tái). 75 [由題意可知,利潤(rùn)f(x)=25x-y=-0.1x2+15x-300,(0<x≤240,x∈N) ∴當(dāng)x=75時(shí),f(x)取到最大值.] 7.有一批材料可以建成200 m長(zhǎng)的圍墻,如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)池,中間用同樣的材料隔成三個(gè)面積相等的矩形(如圖所示),則圍成的矩形場(chǎng)地的最大面積為_(kāi)_______m2.(圍墻厚度不計(jì)) 2 500 [設(shè)圍成的矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為x m, 則寬為 m,則S=x·=(-x2+200x). 當(dāng)x=100時(shí),Smax=2 500(m2).] 8.已知投資x萬(wàn)元經(jīng)銷甲商品所獲得的利潤(rùn)為P=;投資x萬(wàn)元經(jīng)銷乙商品
6、所獲得的利潤(rùn)為Q= (a>0). 若投資20萬(wàn)元同時(shí)經(jīng)銷這兩種商品或只經(jīng)銷其中一種商品,使所獲得的利潤(rùn)不少于5萬(wàn)元,則a的最小值為_(kāi)_______. [設(shè)投資乙商品x萬(wàn)元(0≤x≤20),則投資甲商品(20-x)萬(wàn)元. 利潤(rùn)分別為Q= (a>0),P=, 因?yàn)镻+Q≥5,0≤x≤20時(shí)恒成立, 則化簡(jiǎn)得a≥,0≤x≤20時(shí)恒成立. (1)x=0時(shí),a為一切實(shí)數(shù); (2)0<x≤20時(shí),分離參數(shù)a≥,0<x≤20時(shí)恒成立, 所以a≥,a的最小值為.] 三、解答題 9.某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率為t,市場(chǎng)價(jià)格x(單位:千元)與市場(chǎng)供應(yīng)量p(單位:萬(wàn)件)之間近似滿足關(guān)系式:p=2(
7、1-kt)(x-b)2,其中k,b均為常數(shù).當(dāng)關(guān)稅稅率t=75%時(shí),若市場(chǎng)價(jià)格為5千元,則市場(chǎng)供應(yīng)量約為1萬(wàn)件;若市場(chǎng)價(jià)格為7千元,則市場(chǎng)供應(yīng)量約為2萬(wàn)件. (1)試確定k,b的值. (2)市場(chǎng)需求量q(單位:萬(wàn)件)與市場(chǎng)價(jià)格x(單位:千元)近似滿足關(guān)系式:q=2-x,當(dāng)p=q時(shí),市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格,當(dāng)市場(chǎng)平衡價(jià)格不超過(guò)4千元時(shí),試確定關(guān)稅稅率的最大值. [解](1)由已知得: ? 解得b=5,k=1. (2)當(dāng)p=q時(shí),2=2-x, 所以(1-t)(x-5)2=-x?t=1+=1+. 而f(x)=x+在(0,4]上單調(diào)遞減, 所以當(dāng)x=4時(shí),f(x)有最小值, 故當(dāng)
8、x=4時(shí),關(guān)稅稅率的最大值為500%. 10.為響應(yīng)國(guó)家提出的“大眾創(chuàng)業(yè),萬(wàn)眾創(chuàng)新”的號(hào)召,小李同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后,決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過(guò)調(diào)查,生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本5萬(wàn)元,每年生產(chǎn)x萬(wàn)件,需另投入流動(dòng)成本C(x)萬(wàn)元,且C(x)=每件產(chǎn)品售價(jià)為10元,經(jīng)分析,生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完. (1)寫出年利潤(rùn)P(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式(年利潤(rùn)=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本). (2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí),小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少? [解](1)因?yàn)槊考a(chǎn)品售價(jià)為10元,所以x萬(wàn)件產(chǎn)品銷售收入為10x萬(wàn)元. 依題意得,當(dāng)0
9、<x<8時(shí),P(x)=10x--5=-x2+6x-5; 當(dāng)x≥8時(shí),P(x)=10x--5=30-. 所以P(x)= (2)當(dāng)0<x<8時(shí),P(x)=-(x-6)2+13,當(dāng)x=6時(shí),P(x)取得最大值P(6)=13; 當(dāng)x≥8時(shí),P′(x)=-1+<0,所以P(x)為減函數(shù),當(dāng)x=8時(shí),P(x)取得最大值P(8)=. 由13<可知當(dāng)年產(chǎn)量為8萬(wàn)件時(shí),小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為萬(wàn)元. 1.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就.實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面
10、與探測(cè)器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問(wèn)題,發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行.L2點(diǎn)是平衡點(diǎn),位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,L2點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律,r滿足方程:+=(R+r). 設(shè)α=.由于α的值很小,因此在近似計(jì)算中≈3α3,則r的近似值為( ) A. R B. R C. R D. R D [由+=(R+r),得+=M1.因?yàn)棣粒?,所以+?1+α)M1,得=.由≈3α3,得3α3≈,即3≈,所以r≈·R,故選D.] 2.某汽車銷售公司在A,B兩地銷售同一種品牌的汽車,
11、在A地的銷售利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)為y1=4.1x-0.1x2,在B地的銷售利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)為y2=2x,其中x為銷售量(單位:輛),若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車,則能獲得的最大利潤(rùn)是( ) A.10.5萬(wàn)元 B.11萬(wàn)元 C.43萬(wàn)元 D.43.025萬(wàn)元 C [設(shè)公司在A地銷售該品牌的汽車x(0≤x≤16且x∈N)輛,則在B地銷售該品牌的汽車(16-x)輛,所以可得利潤(rùn)y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-·+×+32. 因?yàn)閤∈[0,16]且x∈N, 所以當(dāng)x=10或11時(shí),總利潤(rùn)取得最大值43萬(wàn)元.] 3.某工廠投資100萬(wàn)元
12、開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品,第一年獲利10萬(wàn)元,從第二年開(kāi)始每年獲利比上一年增加20%.若從第n年開(kāi)始,前n年獲利總和超過(guò)投入的100萬(wàn)元,則n=________.(參考數(shù)據(jù):lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 7 [由從第n年開(kāi)始,前n年獲利總和超過(guò)投入的100萬(wàn)元,得10+10×(1+20%)1+10×(1+20%)2+…+10(1+20%)n-1>100,即>100,所以n>=≈≈6.即從第7年開(kāi)始,前7年獲利總和超過(guò)投入的100萬(wàn)元.] 4.十九大提出對(duì)農(nóng)村要堅(jiān)持精準(zhǔn)扶貧,至2020年底全面脫貧.現(xiàn)有扶貧工作組到某山區(qū)貧困村實(shí)施脫貧工作,經(jīng)摸底排查,該村現(xiàn)有貧困農(nóng)戶100家,他們
13、均從事水果種植,2017年底該村平均每戶年純收入為1萬(wàn)元.扶貧工作組一方面請(qǐng)有關(guān)專家對(duì)水果進(jìn)行品種改良,提高產(chǎn)量;另一方面,抽出部分農(nóng)戶從事水果包裝、銷售工作,其人數(shù)必須小于種植的人數(shù).從2018年初開(kāi)始,若該村抽出5x戶(x∈Z,1≤x≤9)從事水果包裝、銷售工作,經(jīng)測(cè)算,剩下從事水果種植的農(nóng)戶的年純收入每戶平均比上一年提高,而從事包裝、銷售的農(nóng)戶的年純收入每戶平均為萬(wàn)元(參考數(shù)據(jù):1.13=1.331,1.153≈1.521,1.23=1.728). (1)至2020年底,為使從事水果種植的農(nóng)戶能實(shí)現(xiàn)脫貧(每戶年均純收入不低于1萬(wàn)6千元),至少要抽出多少戶從事包裝、銷售工作? (2)至
14、2018年底,該村每戶年均純收入能否達(dá)到1.35萬(wàn)元?若能,請(qǐng)求出從事包裝、銷售的戶數(shù);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由. [解](1)至2020年底,種植戶平均收入=≥1.6,即≥1.6,即x≥20(-1). 由題中所給數(shù)據(jù),知1.15<<1.2,所以3<20(-1)<4. 所以x的最小值為4,此時(shí)5x≥20,即至少要抽出20戶從事包裝、銷售工作. (2)至2018年底,假設(shè)該村每戶年均純收入能達(dá)到1.35萬(wàn)元.每戶的平均收入為 ≥1.35,化簡(jiǎn)得3x2-30x+70≤0. 因?yàn)閤∈Z且1≤x≤9 ,所以x∈{4,5,6}. 所以當(dāng)從事包裝、銷售的戶數(shù)達(dá)到20至30戶時(shí),能達(dá)到,否則,不能.
15、 1.李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷:一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會(huì)得到支付款的80%. ①當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒,需要支付________元; ②在促銷活動(dòng)中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的最大值為_(kāi)_______. 130 15 [①一次購(gòu)買草莓和西瓜各一盒需付款140元,若x=10,則超過(guò)120元可少付10元,故顧客實(shí)際需要支付130元.
16、 ②設(shè)顧客一次購(gòu)買水果促銷前總價(jià)為y元. 當(dāng)y<120時(shí),不享受優(yōu)惠,即x=0,此時(shí)0.8y≥0.7y,滿足要求. 當(dāng)y≥120時(shí),享受優(yōu)惠x元,則0.8(y-x)≥0.7y,得x≤y恒成立.又∵y≥120,∴y≥15,∴x≤15,即x的最大值為15.] 2.據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè):發(fā)生于沿海M地的臺(tái)風(fēng)一直向正南方向移動(dòng),其移動(dòng)速度v(單位:km/h)與時(shí)間t(單位:h)的函數(shù)圖像如圖所示,過(guò)線段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l,梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積為時(shí)間t內(nèi)臺(tái)風(fēng)所經(jīng)過(guò)的路程s(單位:km). (1)當(dāng)t=4時(shí),求s的值; (2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示
17、出來(lái); (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,試判斷這場(chǎng)臺(tái)風(fēng)是否會(huì)侵襲到N城,如果會(huì),在臺(tái)風(fēng)發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N城?如果不會(huì),請(qǐng)說(shuō)明理由. [解](1)由圖像可知,直線OA的方程是v=3t(0≤t≤10),直線BC的方程是v=-2t+70(20<t≤35). 當(dāng)t=4時(shí),v=12,所以s=×4×12=24. (2)當(dāng)0≤t≤10時(shí),s=×t×3t=t2; 當(dāng)10<t≤20時(shí),s=×10×30+(t-10)×30=30t-150; 當(dāng)20<t≤35時(shí),s=150+300+×(t-20)×(-2t+70+30)=-t2+70t-550. 綜上可知,s隨t變化的規(guī)律是 s= (3)當(dāng)t∈[0,10]時(shí),smax=×102=150<650, 當(dāng)t∈(10,20]時(shí),smax=30×20-150=450<650, 當(dāng)t∈(20,35]時(shí),令-t2+70t-550=650, 解得t=30或t=40(舍去), 即在臺(tái)風(fēng)發(fā)生30小時(shí)后將侵襲到N城. - 7 -
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