《2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課時作業(yè)48 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課時作業(yè)48 理（含解析）新人教A版（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、課時作業(yè)48利用向量求空間角1在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為(B)A. B.C. D.解析：以A為原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)棱長為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，設(shè)平面A1ED的一個法向量為n1(1，y，z)則有即n1(1,2,2)平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1)，cosn1，n2，即所成的銳二面角的余弦值為.2(2019大同模擬)設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距

2、離是(D)A. B.C. D.解析：如圖，以點D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(2,0,2)，設(shè)平面A1BD的一個法向量n(x，y，z)，則令z1，得n(1,1,1)D1到平面A1BD的距離d.3(2018全國卷)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為(A)A. B.C. D.解析：由正方體的性質(zhì)及題意可得，正方體共頂點的三條棱所在直線與平面所成的角均相等如圖，正方體ABCD-A1B1C1

3、D1中，易知棱AB，AD，AA1所在直線與平面A1BD所成的角均相等，所以平面A1BD，當(dāng)平面趨近點A時，截面圖形的面積趨近于0；當(dāng)平面經(jīng)過正方體的中心O時，截面圖形為正六邊形，其邊長為，截面圖形的面積為62；當(dāng)平面趨近于C1時，截面圖形的面積趨近于0，所以截面圖形面積的最大值為，故選A.4已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在表面積為16的球O的球面上，AC為球O的直徑當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大時，二面角P-AB-C的大小為，則sin等于(C)A. B.C. D.解析：如圖，設(shè)球O的半徑為R，由4R216，得R2，設(shè)點P到平面ABC的距離為d，則0d2，因為AC為球的直徑，所以AB2BC2AC

4、216，則V三棱錐P-ABCABBCd2，當(dāng)且僅當(dāng)ABBC2，d2時，V三棱錐P-ABC取得最大值，此時平面PAC平面ABC，連接PO，因為POAC，平面PAC平面ABCAC，PO平面PAC，所以PO平面ABC，過點P作PDAB于D，連接OD，因為ABPO，ABPD，POPDP，所以AB平面POD，則ABOD，所以PDO為二面角P-AB-C的平面角，因為ODBC，所以PD，則sinsinPDO，故選C.5如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是正方形A1B1C1D1和正方形ADD1A1的中心，則EF和CD所成的角的大小是45.解析：以D為原點，分別以DA、DC、DD1所在直

5、線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，(0,1,0)，cos，135，異面直線EF和CD所成的角的大小是45.6如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則cos的最大值為.解析：建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示設(shè)AB1，則，E.設(shè)M(0，y,1)(0y1)，則.，cos.則21.令8y1t，1t9，則，當(dāng)且僅當(dāng)t1時取等號cos，當(dāng)且僅當(dāng)y0時取等號7如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面A

6、BCD，E為PD的中點(1)證明：PB平面AEC；(2)設(shè)二面角D-AE-C為60，AP1，AD，求三棱錐E-ACD的體積解：(1)證明：連接BD交AC于點O，連接EO.因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點又E為PD的中點，所以EOPB.又因為EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)因為PA平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直如圖，以A為坐標(biāo)原點，的方向為x軸的正方向，|為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則D(0，0)，E，.設(shè)B(m,0,0)(m0)，則C(m，0)，(m，0)設(shè)n1(x，y，z)為平面ACE的法向量，則即可取n1.又n2(1,

7、0,0)為平面DAE的法向量，由題設(shè)得|cosn1，n2|，即 ，解得m.因為E為PD的中點，所以三棱錐E-ACD的高為.三棱錐E-ACD的體積V.8(2019江西六校聯(lián)考)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，ABD90，EB平面ABCD，EFAB，AB2，EB，EF1，BC，且M是BD的中點(1)求證：EM平面ADF；(2)求二面角A-FD-B的余弦值的大小解：(1)證法一：取AD的中點N，連接MN，NF.在DAB中，M是BD的中點，N是AD的中點，所以MNAB，MNAB，又因為EFAB，EFAB，所以MNEF且MNEF.所以四邊形MNFE為平行四邊形，所以EMFN，又因為FN

8、平面ADF，EM平面ADF，故EM平面ADF.證法二：因為EB平面ABD，ABBD，故以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz.由已知可得，(3，2,0)，(0，1，)，設(shè)平面ADF的法向量是n(x，y，z)由得令y3，則n(2,3，)又因為n0，所以n，又EM平面ADF，故EM平面ADF.(2)由(1)中證法二可知平面ADF的一個法向量是n(2,3，)易得平面BFD的一個法向量是m(0，1)所以cosm，n，又二面角A-FD-B為銳角，故二面角A-FD-B的余弦值大小為.9(2019河南鄭州一模)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，DABDCB，E為線段BD上的一點

9、，且EBEDECBC，連接CE并延長交AD于F.(1)若G為PD的中點，求證：平面PAD平面CGF；(2)若BC2，PA3，求平面BCP與平面DCP所成銳二面角的余弦值解：(1)證明：在BCD中，EBEDECBC，故BCD，CBECEB，連接AE，DABDCB，EABECB，從而有FEDBECAEB，AECEDE.AEFFED.故EFAD，AFFD.又PGGD，F(xiàn)GPA.又PA平面ABCD，故GF平面ABCD，GFAD，又GFEFF，故AD平面CFG.又AD平面PAD，平面PAD平面CGF.(2)以點A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(3，0)，

10、D(0，2，0)，P(0,0,3)故(1，0)，(3，3)，(3，0)設(shè)平面BCP的一個法向量為n1(1，y1，z1)，則解得即n1.設(shè)平面DCP的一個法向量為n2(1，y2，z2)，則解得即n2(1，2)從而平面BCP與平面DCP所成銳二面角的余弦值為.10(2017全國卷)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中點(1)證明：直線CE平面PAB；(2)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45，求二面角M-AB-D的余弦值解：(1)取PA的中點F，連接EF，BF.因為E是PD的中點，所以EFAD，EFAD

11、.由BADABC90得BCAD，又BCAD，所以EF綊BC，四邊形BCEF是平行四邊形，CEBF，又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD，以A為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)設(shè)M(x，y，z)(0x1)，則(x1，y，z)，(x，y1，z)因為BM與底面ABCD所成的角為45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，設(shè)，則x，y1，z.

12、由解得(舍去)，或所以M，從而.設(shè)m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，則即所以可取m(0，2)于是cosm，n.易知所求二面角為銳角因此二面角M-AB-D的余弦值為.11如圖，在四棱錐P-ABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD，E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90.(1)在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM平面PBE，并說明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值解：(1)在梯形ABCD中，AB與CD不平行如圖，延長AB，DC，相交于點M(M平面PAB)，點M即為所求的一個點理由如下：由已知，BCED，且BCED.所

13、以四邊形BCDE是平行四邊形，從而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.(說明：延長AP至點N，使得APPN，則所找的點可以是直線MN上任意一點)(2)解法一：由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.從而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角所以PDA45.設(shè)BC1，則在RtPAD中，PAAD2.過點A作AHCE，交CE的延長線于點H，連接PH.易知PA平面ABCD，又CE平面ABCD，從而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.過A作AQPH于Q，則AQ平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角在RtAEH中，AE

14、H45，AE1，所以AH.在RtPAH中，PH，所以sinAPH.解法二：由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.于是CDPD.從而PDA是二面角P-CD-A的平面角所以PDA45.由PAAB，可得PA平面ABCD.設(shè)BC1，則在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A為原點，以，的方向分別為x軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2)設(shè)平面PCE的法向量n(x，y，z)，由得設(shè)x2，解得n(2，2,1)設(shè)直線PA與平面PCE所成角為

15、，則sin.所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.12(2019江西南昌二中月考)如圖，在等腰梯形ABCD中，ABC60，CD2，AB4，點E為AB的中點，現(xiàn)將該梯形中的三角形EBC沿線段EC折起，形成四棱錐B-AECD.(1)在四棱錐B-AECD中，求證：ADBD；(2)若平面BEC與平面AECD所成二面角的平面角為120，求直線AE與平面ABD所成角的正弦值解：(1)證明：由三角形BEC沿線段EC折起前，ABC60，CD2，AB4，點E為AB的中點，得三角形BEC沿線段EC折起后，四邊形AECD為菱形，邊長為2，DAE60，如圖，取EC的中點F，連接DF，BF，DE，BEC和DEC均為

16、正三角形，ECBF，ECDF, 又BFDFF，EC平面BFD，ADEC，AD平面BFD，BD平面BFD，ADBD.(2)以F為坐標(biāo)原點，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，由EC平面BFD，知z軸在平面BFD內(nèi)，BFEC，DFEC，BFD為平面BEC與平面AECD所成二面角的平面角，BFD120，BFz30，又BF，點B的橫坐標(biāo)為，點B的豎坐標(biāo)為.因D(，0,0)，E(0,1,0)，A(，2,0)，B，故(，1,0)，(0，2，0)設(shè)平面ABD的法向量為n(x，y，z)，得令x1，得y0，z，平面ABD的一個法向量為n(1,0，)，cos，n，直線AE與平面ABD所成角為銳角，直線AE與平面ABD所成角的正弦值為.15