《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)28 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)28 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 理 北師大版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、課后限時集訓(xùn)28正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用建議用時：45分鐘一、選擇題1一名學(xué)生在河岸上緊靠河邊筆直行走，某時刻測得河對岸靠近河邊處的參照物與學(xué)生前進方向成30角前進200 m后，測得該參照物與前進方向成75角，則河的寬度為()A50(1)mB100(1)mC50 mD100 mA如圖所示，在ABC中，BAC30，ACB753045，AB200 m，由正弦定理，得BC100(m)，所以河的寬度為BCsin 7510050(1)(m)2已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos 2Acos 2B2cos 2C，則cos C的最小值為()A.B. C.D.C因為cos 2Acos

2、 2B2cos 2C，所以12sin2A12sin2B24sin2C，得a2b22c2，cos C，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立，故選C.3在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知(abc)(abc)3ab，且c4，則ABC面積的最大值為()A8B4C2D.B由已知等式得a2b2c2ab，則cos C.由C(0，)，所以sin C.又16c2a2b2ab2ababab，則ab16，所以SABCabsin C164.故Smax4.故選B.4在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2ccos B2ab，若ABC的面積為Sc，則ab的最小值為()A8B10C12D14C在ABC中

3、，由已知及正弦定理可得2sin Ccos B2sin Asin B2sin(BC)sin B，即2sin Ccos B2sin Bcos C2sin Ccos Bsin B，所以2sin Bcos Csin B0.因為sin B0，所以cos C，C.由于ABC的面積為Sabsin Cabc，所以cab.由余弦定理可得c2a2b22abcos C，整理可得a2b2a2b2ab3ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，取等號，所以ab12.5在ABC中，sin B，BC邊上的高為AD，D為垂足，且BD2CD，則cosBAC()A B.CD.A依題意設(shè)CDx，ADy，則BD2x，BC3x.因為sin B，所以AB3

4、y.因為BC邊上的高為AD，如圖所示，所以AB2AD2BD2y24x29y2，即xy.所以ACy.根據(jù)余弦定理得cosBAC.故選A.二、填空題6一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60，另一燈塔在船的南偏西75，則這艘船的速度是每小時_海里10如圖所示，依題意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，從而CDCA10，在RtABC中，得AB5，于是這艘船的速度是10(海里/時)7在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asin Bbcos A若a4，則ABC周長的最大值為_12由正弦定理，可將a

5、sin Bbcos A轉(zhuǎn)化為sin Asin Bsin Bcos A.又在ABC中，sin B0，sin Acos A，即tan A.0A，A.由于a4，由余弦定理得a2b2c22bccos A，得16b2c22bcb2c2bc(bc)23bc，又bc2，(bc)264，即bc8，abc12.8.如圖，在ABC中，D是邊AC上的點，且ABAD,2ABBD，BC2BD，則sin C的值為_設(shè)ABa，ABAD,2ABBD，BC2BD，ADa，BD，BC.在ABD中，cosADB，sinADB，sinBDC.在BDC中，sin C.三、解答題9.在四邊形ABCD中，ADBC，AB，A120，BD3.

6、(1)求AD的長；(2)若BCD105，求四邊形ABCD的面積解(1)在ABD中，AB，A120，BD3，由余弦定理得cos 120，解得AD(AD2舍去)，AD的長為.(2)ADBC，A120，BD3，ABAD，BCD105，DBC30，BDC45，由正弦定理得，解得BC33，DC.如圖，過點A作AEBD，交BD于點E，過點C作CFBD，交BD于點F，則AEAB，CFBC，四邊形ABCD的面積SSABDSBDCBD(AECF)3.10(2019綿陽模擬)在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且2csin B3atan A.(1)求的值；(2)若a2，求ABC面積的最大值解(1)2

7、csin B3atan A，2csin Bcos A3asin A，由正弦定理得2cbcos A3a2，由余弦定理得2cb3a2，化簡得b2c24a2，4.(2)a2，由(1)知b2c24a216，由余弦定理得cos A，根據(jù)基本不等式得b2c22bc，即bc8，當(dāng)且僅當(dāng)bc時，等號成立，cos A.由cos A，得bc，且A，ABC的面積Sbcsin Asin A3tan A.1tan2A1，tan A.S3tan A.ABC面積的最大值為.1在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若sin B2sin Acos C0，則當(dāng)cos B取最小值時，()A. B.C2D.B由sin B

8、2sin Acos C0，根據(jù)正弦定理和余弦定理得b2a0，a22b2c20，b2，cos B，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，cos B取最小值.故選B.2.(2019吉林長春質(zhì)量監(jiān)測(四)海島算經(jīng)是中國學(xué)者劉徽編撰的一部測量數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)有取自其中的一個問題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問島高幾何？其大意為：如圖所示，立兩個三丈高的標(biāo)桿BC和DE，兩標(biāo)桿之間的距離BD1 000步，兩標(biāo)桿的底端與海島的底端H在同一直線上，從前面的標(biāo)桿B處后退123步，人眼

9、貼地面，從地上F處仰望島峰，A，C，F(xiàn)三點共線，從后面的標(biāo)桿D處后退127步，人眼貼地面，從地上G處仰望島峰，A，E，G三點也共線，則海島的高為(注：1步6尺，1里180丈1 800尺300步)()A1 255步B1 250步C1 230步D1 200步A因為AHBC，所以BCFHAF，所以.因為AHDE，所以DEGHAG，所以.又BCDE，所以，即，所以HB30 750步，又，所以AH1 255(步)故選A.3.如圖所示，在ABC中，C，BC4，點D在邊AC上，ADDB，DEAB，E為垂足，若DE2，則cos A_.ADDB，AABD，BDC2A.設(shè)ADDBx，在BCD中，可得.在AED中，

10、可得.聯(lián)立可得，解得cos A.4(2019寧德模擬)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且2cb2acos B，a.(1)若c，求ABC的面積；(2)若ABC為銳角三角形，求bc的取值范圍解(1)2cb2acos B，由正弦定理得2sin C sin B2sin Acos B，2sin(AB)sin B2sin Acos B，2cos Asin Bsin B.B(0，)，sin B0，cos A.又A(0，)，A.由余弦定理得7b232b，即b23b40，(b4)(b1)0，b4或b1(舍去)，SABCbcsin A4.(2)由(1)知A.由正弦定理得，2，bc222sin.

11、ABC是銳角三角形，B，B，sin，bc(，)1.(2019福建寧德5月質(zhì)檢)海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍洞若要測量如圖所示的海洋藍洞的口徑(即A，B兩點間的距離)，現(xiàn)取兩點C，D，測得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，則圖中海洋藍洞的口徑為_80由已知得，在ACD中，ACD15，ADC150，所以DAC15，由正弦定理得AC40()在BCD中，BDC15，BCD135，所以DBC30，由正弦定理，得BC160sin 1540()在ABC中，由余弦定理，得AB21 600(84)1 600(8

12、4)21 600()()1 600161 60041 6002032 000，解得AB80.故圖中海洋藍洞的口徑為80.2.如圖，在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c4，b2,2ccos Cb，D，E分別為線段BC上的點，且BDCD，BAECAE.(1)求線段AD的長；(2)求ADE的面積解(1)因為c4，b2,2ccos Cb，所以cos C.由余弦定理得cos C，所以a4，即BC4.在ACD中，CD2，AC2，所以AD2AC2CD22ACCDcosACD6，所以AD.(2)因為AE是BAC的平分線，所以2，又，所以2，所以CEBC，DE2.又因為cos C，所以sin C.又SADESACDSACE，所以SADEDEACsin C.8