《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第5講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理 北師大版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第5講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理 北師大版(6頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第5講 數(shù)學(xué)歸納法 基礎(chǔ)題組練1用數(shù)學(xué)歸納法證明:首項(xiàng)是a1,公差是d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Snna1d時(shí),假設(shè)當(dāng)nk時(shí),公式成立,則Sk()Aa1(k1)dBCka1d D(k1)a1d解析:選C.假設(shè)當(dāng)nk時(shí),公式成立,只需把公式中的n換成k即可,即Skka1d.2設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:當(dāng)f(k)k1成立時(shí),總能推出f(k1)k2成立,那么下列命題總成立的是()A若f(1)2成立,則f(10)11成立B若f(3)4成立,則當(dāng)k1時(shí),均有f(k)k1成立C若f(2)3成立,則f(1)2成立D若f(4)5成立,則當(dāng)k4時(shí),均有f(k)k1成立解析:選D.當(dāng)f(
2、k)k1成立時(shí),總能推出f(k1)k2成立,說明如果當(dāng)kn時(shí),f(n)n1成立,那么當(dāng)kn1時(shí),f(n1)n2也成立,所以如果當(dāng)k4時(shí),f(4)5成立,那么當(dāng)k4時(shí),f(k)k1也成立3用數(shù)學(xué)歸納法證明1,則當(dāng)nk1時(shí),左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上()A. BC. D解析:選C.因?yàn)楫?dāng)nk時(shí),左端1,當(dāng)nk1時(shí),左端1.所以,左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上.4已知f(n)122232(2n)2,則f(k1)與f(k)的關(guān)系是()Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2解析:選A.f(k1)122232(2k
3、)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2.5利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1f(n)(n2,nN+)的過程中,由nk到nk1時(shí),左邊增加了()A1項(xiàng) Bk項(xiàng)C2k1項(xiàng) D2k項(xiàng)解析:選D.令不等式的左邊為g(n),則g(k1)g(k)1,其項(xiàng)數(shù)為2k112k12k12k2k.故左邊增加了2k項(xiàng)6用數(shù)學(xué)歸納法證明11)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是_解析:由nN+,n1知,n取第一個(gè)值n02,當(dāng)n2時(shí),不等式為12.答案:1,假設(shè)nk時(shí),不等式成立,則當(dāng)nk1時(shí),應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_答案:8用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(n2)的過程中,由nk推導(dǎo)nk1時(shí),不等式的左邊增加的式子是_解析:不
4、等式的左邊增加的式子是,故填.答案:9用數(shù)學(xué)歸納法證明等式12223242(1)n1n2(1)n1.證明:(1)當(dāng)n1時(shí),左邊121,右邊(1)01,左邊右邊,原等式成立(2)假設(shè)nk(k1,kN+)時(shí)等式成立,即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么,當(dāng)nk1時(shí),12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k.所以當(dāng)nk1時(shí),等式也成立,由(1)(2)知,對任意nN+,都有12223242(1)n1n2(1)n1.10已知f(n)1,g(n),nN+.(1)當(dāng)n1,2,3時(shí),試比較f(n)與g(n)的大?。?2)猜想f(n)
5、與g(n)的大小關(guān)系,并給出證明解:(1)當(dāng)n1時(shí),f(1)1,g(1)1,所以f(1)g(1);當(dāng)n2時(shí),f(2),g(2),所以f(2)g(2);當(dāng)n3時(shí),f(3),g(3),所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n),下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明當(dāng)n1,2,3時(shí),不等式顯然成立假設(shè)當(dāng)nk(k3,kN+)時(shí)不等式成立,即1.那么,當(dāng)nk1時(shí),f(k1)f(k).因?yàn)?,所以f(k1)g(k1)由可知,對一切nN+,都有f(n)g(n)成立綜合題組練1已知整數(shù)p1,證明:當(dāng)x1且x0時(shí),(1x)p1px.證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)p2時(shí),(1x)212xx212x,原不等式成立假設(shè)當(dāng)p
6、k(k2,kN+)時(shí),不等式(1x)k1kx成立則當(dāng)pk1時(shí),(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以當(dāng)pk1時(shí),原不等式也成立綜合可得,當(dāng)x1且x0時(shí),對一切整數(shù)p1,不等式(1x)p1px均成立2已知數(shù)列xn滿足x1,且xn1(nN+)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明:0xn0,即xk10.又因?yàn)閤k110,所以0xk11.綜合可知0xn1.(2)由xn1可得1,即an12an1,所以an112(an1)令bnan1,則bn12bn,又b1a1111,所以bn是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,即bn2n1,所以an2n11.3將正整數(shù)作如下分組:(1),(
7、2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),分別計(jì)算各組包含的正整數(shù)的和如下:S11,S2235,S345615,S47891034,S5111213141565,S6161718192021111,試猜測S1S3S5S2n1的結(jié)果,并用數(shù)學(xué)歸納法證明解:由題意知,當(dāng)n1時(shí),S1114;當(dāng)n2時(shí),S1S31624;當(dāng)n3時(shí),S1S3S58134;當(dāng)n4時(shí),S1S3S5S725644.猜想:S1S3S5S2n1n4.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)n1時(shí),S1114,等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN+,k1)時(shí)等式成立,即S1S3S5S2k1k4,那么,當(dāng)nk1時(shí),S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4,所以當(dāng)nk1時(shí),等式也成立根據(jù)(1)和(2)可知,對于任意的nN+,S1S3S5S2n1n4都成立6