《2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課時(shí)作業(yè)55 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課時(shí)作業(yè)55 理（含解析）新人教A版（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、課時(shí)作業(yè)55　拋物線 1．(2019·廣東珠海模擬)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，PA⊥l，垂足為A，|PF|＝4，則直線AF的傾斜角等于(　B　) A. B． C. D． 解析：由拋物線y2＝4x知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1，由拋物線定義可知|PA|＝|PF|＝4，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2)，因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,2)，所以kAF＝＝－，所以直線AF的傾斜角等于，故選B. 2．(2019·湖北四地七校聯(lián)考)已知拋物線y2＝2px(p＞0)，點(diǎn)C(－4,0)，過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線，與拋物

2、線交于A，B兩點(diǎn)，若△CAB的面積為24，則以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　D　) A．y2＝4x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝－8x 解析：因?yàn)锳B⊥x軸，且AB過點(diǎn)F，所以AB是焦點(diǎn)弦，且|AB|＝2p，所以S△CAB＝×2p×＝24，解得p＝4或－12(舍)，所以拋物線方程為y2＝8x，所以直線AB的方程為x＝2，所以以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－8x，故選D. 3．已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)，若直線y＝2x被拋物線所截弦長為4，則拋物線C的方程為(　C　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝2y

3、 D．x2＝y(tǒng) 解析：由得或 即兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(4p,8p)， 則＝4，得p＝1(舍去負(fù)值)， 故拋物線C的方程為x2＝2y. 4．(2019·河南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，且|MO|＝|MF|＝(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則·＝(　A　) A．－ B． C. D．－ 解析：不妨設(shè)M(m，)(m＞0)， 易知拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為， 因?yàn)閨MO|＝|MF|＝， 所以解得m＝，p＝2， 所以＝，＝， 所以·＝－2＝－.故選A. 5．如圖，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A

4、，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是(　A　) A. B． C. D． 解析：過A，B點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別為M，N， 則|AM|＝|AF|－1，|BN|＝|BF|－1. 可知＝＝＝＝，故選A. 6．(2019·江西六校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2x，過焦點(diǎn)F且斜率為的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為M，N兩點(diǎn)，則S△MFN＝(　B　) A．8 B．2 C．4 D．8 解析：法一：不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸上方，如圖，由拋物線定義可知|PF|＝|PM|，|QF|＝|QN|， 設(shè)直

5、線PQ的傾斜角為θ，則tanθ＝，所以θ＝， 由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知， |PF|＝＝＝2， |QF|＝＝＝， 所以|MN|＝|PQ|·sinθ＝(|PF|＋|QF|)·sin＝×＝4， 所以S△MFN＝×|MN|×p＝×4×＝2，故選B. 法二：由題意可得直線PQ： y＝＝x－，與拋物線方程y2＝2x聯(lián)立，得2＝2x，即3x2－5x＋＝0， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝， 所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝＋＝， 所以|MN|＝|PQ|sin＝4， 所以S△MNF＝×4×＝2，故選B. 7．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2 m，水面寬

6、4 m．當(dāng)水面寬為2 m時(shí)，水位下降了　1　m. 解析：以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p＞0)，把(2，－2)代入方程得p＝1，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2y.將x＝代入x2＝－2y得：y＝－3，又－3－(－2)＝－1，所以水面下降了1 m. 8．如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(a＜b)，原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線y2＝2px(p＞0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則＝　1＋　. 解析：|OD|＝，|DE|＝b，|DC|＝a，|EF|＝b， 故C，F(xiàn)， 又拋物線y2＝2px(p＞0)經(jīng)過C、F兩點(diǎn)，

7、 從而有即 ∴b2＝a2＋2ab，∴2－2·－1＝0， 又＞1，∴＝1＋. 9．已知拋物線C1：y＝ax2(a＞0)的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：＋＝1(b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M，P分別為曲線C1，C2上的點(diǎn)，則|MP|＋|MF|的最小值為　2　. 解析：將P代入到＋＝1中，可得＋＝1，∴b＝，∴c＝1，∴拋物線的焦點(diǎn)F為(0,1)， ∴拋物線C1的方程為x2＝4y，準(zhǔn)線為直線y＝－1，設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D，根據(jù)拋物線的定義可知|MF|＝|MD|，∴要求|MP|＋|MF|的最小值，即求|MP|＋|MD|的最小值，易知當(dāng)D，M，P三點(diǎn)共線時(shí)，|MP|＋|MD|最小，最小值為1－(－1)＝

8、2. 10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．若直線AF的斜率k＝－，則線段PF的長為　6　. 解析：由拋物線方程為y2＝6x， 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)F，準(zhǔn)線方程為x＝－， 因?yàn)橹本€AF的斜率為－， 所以直線AF的方程為y＝－，畫圖象如圖． 當(dāng)x＝－時(shí)，y＝3， 所以A， 因?yàn)镻A⊥l，A為垂足，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3， 可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為， 根據(jù)拋物線的定義可知 |PF|＝|PA|＝－＝6. 11．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求

9、證： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)＋為定值； (3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． 證明：(1)由已知得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 由題意可設(shè)直線方程為x＝my＋，代入y2＝2px， 得y2＝2p， 即y2－2pmy－p2＝0.(*) 因?yàn)樵趻佄锞€內(nèi)部， 所以直線與拋物線必有兩交點(diǎn)． 則y1，y2是方程(*)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 所以y1y2＝－p2. 因?yàn)閥＝2px1，y＝2px2， 所以yy＝4p2x1x2， 所以x1x2＝＝＝. (2)＋＝＋ ＝. 因?yàn)閤1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得＋＝＝(定值)． (3)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(

10、x0，y0)，如圖所示， 分別過A，B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為C，D，過M作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為N， 則|MN|＝(|AC|＋|BD|) ＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|. 所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． 12．(2019·武漢調(diào)研)已知直線y＝k(x－2)與拋物線Γ：y2＝x相交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作y軸的垂線交Γ于點(diǎn)N. (1)證明：拋物線Γ在點(diǎn)N處的切線與直線AB平行； (2)是否存在實(shí)數(shù)k使·＝0？若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：(1)證明：由消去y并整理，得2k2x2－(8k2＋1)x＋8k2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，

11、B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝4， ∴xM＝＝， yM＝k(xM－2)＝k＝. 由題設(shè)條件可知，yN＝y(tǒng)M＝，xN＝2y＝， ∴N. 設(shè)拋物線Γ在點(diǎn)N處的切線l的方程為 y－＝m， 將x＝2y2代入上式， 得2my2－y＋－＝0. ∵直線l與拋物線Γ相切， ∴Δ＝1－4×2m×＝＝0， ∴m＝k，即l∥AB. (2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使·＝0， 則NA⊥NB. ∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴|MN|＝|AB|. 由(1)，得|AB|＝|x1－x2| ＝· ＝· ＝·. ∵M(jìn)N⊥y軸， ∴|MN|＝|xM－xN|＝－＝. ∴＝·， 解得k＝±.

12、 故存在k＝±，使得·＝0. 13．(2019·福建六校聯(lián)考)已知拋物線E：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，其垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，MN⊥y軸于點(diǎn)N.若四邊形CMNF的面積等于7，則拋物線E的方程為(　C　) A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：由題意，得F，直線AB的方程為y＝x－，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，聯(lián)立y＝x－和y2＝2px得，y2－2py－p2＝0，則y1＋y2＝2p，所以y0＝＝p，故N(0，p)，又因?yàn)辄c(diǎn)M在直線AB上，所以x0＝

13、，即M，因?yàn)镸C⊥AB，所以kAB·kMC＝－1，故kMC＝－1，從而直線MC的方程為y＝－x＋p，令y＝0，得x＝p，故C，四邊形CMNF的面積可以看作直角梯形CMNO與直角三角形NOF的面積之差， 即S四邊形CMNF＝S梯形CMNO－S△NOF＝ ·p－p·＝p2＝7，∴p2＝4，又p＞0，∴p＝2，故拋物線E的方程為y2＝4x，故選C. 14．拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB＝120°，過AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為(　A　) A. B．1 C. D．2 解析：過A，B分別作拋物

14、線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1，如圖， 由題意知|MN|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)， 在△AFB中，|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|·cos120°＝|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|， ∴2＝· ＝ ＝ ≤×＝， 當(dāng)且僅當(dāng)|AF|＝|BF|時(shí)取等號(hào)， ∴的最大值為. 15．設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)．若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是　(2,4)　. 解析：如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，

15、 則兩式相減得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． 當(dāng)l的斜率k不存在時(shí)，符合條件的直線l必有兩條． 當(dāng)k存在時(shí)，x1≠x2， 則有·＝2， 又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2. 由CM⊥AB，得k·＝－1， 即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3， 即M必在直線x＝3上． 將x＝3代入y2＝4x， 得y2＝12，則有－2＜y0＜2. 因?yàn)辄c(diǎn)M在圓上，所以(x0－5)2＋y＝r2， 故r2＝y(tǒng)＋4＜12＋4＝16. 又y＋4＞4(為保證有4條，在k存在時(shí)，y0≠0)， 所以4＜r2＜16，即2＜r＜4. 16．(2019·武漢調(diào)研)已知

16、拋物線C：x2＝2py(p＞0)和定點(diǎn)M(0,1)，設(shè)過點(diǎn)M的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B處的切線交點(diǎn)為N. (1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值； (2)若△ABN面積的最小值為4，求拋物線C的方程． 解：(1)可設(shè)AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將AB的方程代入拋物線C，得 x2－2pkx－2p＝0，顯然方程有兩個(gè)不等實(shí)根， 則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.① 又x2＝2py，得y′＝， 則A，B處的切線斜率乘積為＝－＝－1， 則有p＝2. (2)設(shè)切線AN為y＝x＋b， 又切點(diǎn)A在拋物線y＝上， ∴y1＝，∴b＝－＝－， ∴yAN＝x－.同理yBN＝x－. 又∵N在yAN和yBN上， ∴解得N. ∴N(pk，－1)． |AB|＝|x2－x1|＝·， 點(diǎn)N到直線AB的距離d＝＝， S△ABN＝·|AB|·d＝≥2， ∴2＝4，∴p＝2. 故拋物線C的方程為x2＝4y. 11