《2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 5 第5講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理(含解析)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 5 第5講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理(含解析)(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第5講 數(shù)學(xué)歸納法 基礎(chǔ)題組練1用數(shù)學(xué)歸納法證明“2nn21對(duì)于nn0的正整數(shù)n都成立”時(shí),第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2 B3C5 D6解析:選C.當(dāng)n1時(shí),212121,當(dāng)n2時(shí),2242215,當(dāng)n3時(shí),23832110,當(dāng)n4時(shí),241652126,當(dāng)n6時(shí),266462137,故起始值n0應(yīng)取5.2設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:當(dāng)f(k)k1成立時(shí),總能推出f(k1)k2成立,那么下列命題總成立的是()A若f(1)2成立,則f(10)11成立B若f(3)4成立,則當(dāng)k1時(shí),均有f(k)k1成立C若f(2)3成立,則f(1)2成立D若f(4)5成立,則當(dāng)k4
2、時(shí),均有f(k)k1成立解析:選D.當(dāng)f(k)k1成立時(shí),總能推出f(k1)k2成立,說(shuō)明如果當(dāng)kn時(shí),f(n)n1成立,那么當(dāng)kn1時(shí),f(n1)n2也成立,所以如果當(dāng)k4時(shí),f(4)5成立,那么當(dāng)k4時(shí),f(k)k1也成立3用數(shù)學(xué)歸納法證明1,則當(dāng)nk1時(shí),左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上()A. BC. D.解析:選C.因?yàn)楫?dāng)nk時(shí),左端1,當(dāng)nk1時(shí),左端1.所以,左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上.4已知f(n)122232(2n)2,則f(k1)與f(k)的關(guān)系是()Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1
3、)2解析:選A.f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2.5利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1f(n)(n2,nN*)的過(guò)程中,由nk到nk1時(shí),左邊增加了()A1項(xiàng) Bk項(xiàng)C2k1項(xiàng) D2k項(xiàng)解析:選D.令不等式的左邊為g(n),則g(k1)g(k)1,其項(xiàng)數(shù)為2k112k12k12k2k.故左邊增加了2k項(xiàng)6用數(shù)學(xué)歸納法證明11)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是_解析:由nN*,n1知,n取第一個(gè)值n02,當(dāng)n2時(shí),不等式為12.答案:1(n2)的過(guò)程中,由nk推導(dǎo)nk1時(shí),不等式的左邊增加的式子是_解析:不等式的左邊增加的式子是,故填.答案:8用數(shù)學(xué)歸納
4、法證明,假設(shè)nk時(shí),不等式成立,則當(dāng)nk1時(shí),應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_答案:9用數(shù)學(xué)歸納法證明等式12223242(1)n1n2(1)n1.證明:(1)當(dāng)n1時(shí),左邊121,右邊(1)01,左邊右邊,原等式成立(2)假設(shè)nk(k1,kN*)時(shí)等式成立,即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么,當(dāng)nk1時(shí),12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k.所以當(dāng)nk1時(shí),等式也成立,由(1)(2)知,對(duì)任意nN*,都有12223242(1)n1n2(1)n1.10已知整數(shù)p1,證明:當(dāng)x1且x0時(shí),(1x)p1px.證明:用數(shù)學(xué)歸納
5、法證明當(dāng)p2時(shí),(1x)212xx212x,原不等式成立假設(shè)當(dāng)pk(k2,kN*)時(shí),不等式(1x)k1kx成立則當(dāng)pk1時(shí),(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以當(dāng)pk1時(shí),原不等式也成立綜合可得,當(dāng)x1且x0時(shí),對(duì)一切整數(shù)p1,不等式(1x)p1px均成立綜合題組練1用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)一切大于1的自然數(shù),不等式均成立證明:當(dāng)n2時(shí),左邊1,右邊.因?yàn)樽筮呌疫?,所以不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2,且kN*)時(shí)不等式成立,即.則當(dāng)nk1時(shí),.所以當(dāng)nk1時(shí),不等式也成立由知,對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立2已知數(shù)列xn滿足x1,且xn1(nN
6、*)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明:0xn0,即xk10.又因?yàn)閤k110,所以0xk11.綜合可知0xn1.(2)由xn1可得1,即an12an1,所以an112(an1)令bnan1,則bn12bn,又b1a1111,所以bn是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,即bn2n1,所以an2n11.3將正整數(shù)作如下分組:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),分別計(jì)算各組包含的正整數(shù)的和如下:S11,S2235,S345615,S47891034,S5111213141565,S6161718192021111,試
7、猜測(cè)S1S3S5S2n1的結(jié)果,并用數(shù)學(xué)歸納法證明解:由題意知,當(dāng)n1時(shí),S1114;當(dāng)n2時(shí),S1S31624;當(dāng)n3時(shí),S1S3S58134;當(dāng)n4時(shí),S1S3S5S725644.猜想:S1S3S5S2n1n4.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)n1時(shí),S1114,等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*,k1)時(shí)等式成立,即S1S3S5S2k1k4,那么,當(dāng)nk1時(shí),S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4,所以當(dāng)nk1時(shí),等式也成立根據(jù)(1)和(2)可知,對(duì)于任意的nN*,S1S3S5S2n1n4都成立.6