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1、第六章 第41煉 指對數比較大小 不等式 第41煉 指對數比較大小 在填空選擇題中我們會遇到一類比較大小的問題，通常是三個指數和對數混在一起，進行排序。這類問題如果兩兩進行比較，則花費的時間較多，所以本講介紹處理此類問題的方法與技巧 一、一些技巧和方法 1、如何快速判斷對數的符號？八字真言“同區(qū)間正，異區(qū)間負”，容我慢慢道來： 判斷對數的符號，關鍵看底數和真數，區(qū)間分為和 （1）如果底數和真數均在中，或者均在中，那么對數的值為正數 （2）如果底數和真數一個在中

2、，一個在中，那么對數的值為負數 例如：等 2、要善于利用指對數圖像觀察指對數與特殊常數（如0,1）的大小關系，一作圖，自明了 3、比較大小的兩個理念： （1）求同存異：如果兩個指數（或對數）的底數相同，則可通過真數的大小與指對數函數的單調性，判斷出指數（或對數）的關系，所以要熟練運用公式，盡量將比較的對象轉化為某一部分相同的情況 例如：，比較時可進行轉化，盡管底數難以轉化為同底，但指數可以變?yōu)橄嗤? ，從而只需比較底數的大小即可 （2）利用特殊值作“中間量”：在指對數中通?？蓛?yōu)先選擇“0,1”對所比較的數進行劃分，然后再進行比較，有時可以簡化比較的步驟（在兵法上可稱為“分割包圍，各

3、個擊破”，也有一些題目需要選擇特殊的常數對所比較的數的值進行估計，例如，可知，進而可估計是一個1點幾的數，從而便于比較 4、常用的指對數變換公式： （1） （2） （3） （4）換底公式： 進而有兩個推論： （令） 二、典型例題： 例1：設，則的大小關系是______________ 思路：可先進行分堆，可判斷出，從而肯定最大，只需比較即可，觀察到有相同的結構：真數均帶有根號，抓住這個特點，利用對數公式進行變換：，從而可比較出，所以 答案： 例2：設，則的大小關系是___________ 思路：觀察發(fā)現均在內，的真數相同，進而可通過比較底數得到大小關系

4、：，在比較和的大小，由于是指數，很難直接與對數找到聯系，考慮估計值得大小：，可考慮以為中間量，則，進而，所以大小順序為 答案： 例3：設 則的大小關系為（ ） A. B. C. D. 思路：觀察到都是以為底的對數，所以將其系數“放”進對數之中，再進行真數的比較。發(fā)現真數的底與指數也不相同，所以依然考慮“求同存異”，讓三個真數的指數一致： ，通過比較底數的大小可得： 答案：C 小煉有話說：（1）本題的核心處理方式就是“求同存異”，將三個數變形為具備某相同的部分，從而轉換比較的對象，將“無法比較”轉變?yōu)椤翱梢员?/p>

5、較” （2）本題在比較指數冪時，底數的次數較高，計算起來比較麻煩。所以也可以考慮將這三個數兩兩進行比較，從而減少底數的指數便于計算。例如可以先比較，從而，同理再比較或即可 例4：設，，，則（ ） A. B. C. D. 思路：觀察可發(fā)現： ，所以可得： 答案：D 例5：設 則的大小關系為（ ） A. B. C. D. 思路：觀察可發(fā)現的底數相同，的指數相同，進而考慮先進行這兩輪的比較。對于，兩者底數在，則指數越大，指數冪越小，所以可得，再比較，兩者指

6、數相同，所以底數越大，則指數冪越大，所以，綜上： 答案：B 例6：已知三個數，則它們之間的大小關系是（ ） A. B. C. D. 思路：可先進行分組，，，所以只需比較大小，兩者都介于之間且一個是對數，一個是三角函數，無法找到之間的聯系。所以考慮尋找中間值作為橋梁。以作為入手點。利用特殊角的余弦值估計其大小。，而，從而，大小順序為 答案：A 小煉有話說：在尋找中間量時可以以其中一個為入手點，由于非特殊角的三角函數值可用特殊角三角函數值估計值的大小，所以本題優(yōu)先選擇作為研究對象。 例7：（2015甘肅河西三校第一

7、次聯考）設，則（ ） A. B. C. D. 思路：首先進行分組，可得，下面比較的大小，可以考慮以作為中間量，，所以，從而 答案：D 例8：設且，則的大小關系是（ ） A. B. C. D. 思路：由可得：，先用將分堆，，，則為最大，只需要比較即可，由于的底數與真數不同，考慮進行適當變形并尋找中間量。，而，因為，所以，所以順序為 答案：C 例9：下列四個數：的大小順序為________ 思路：觀察發(fā)現，其余均為正。所以只需比較，考慮

8、，所以，而，所以下一步比較：，所以，綜上所述，大小順序為 答案： 例10：已知均為正數，且，則（ ） A. B. C. D. 思路：本題要通過左右相等的條件，以某一側的值作為突破口，去推斷的范圍。首先觀察等式左側，左側的數值均大于0，所以可得：均大于0，由對數的符號特點可得：，只需比較大小即可。觀察到，從而，所以順序為 答案：A 小煉有話說：本題也可用數形結合的方式比較大小，觀察發(fā)現前兩個等式右側為的形式，而第三個等式也可變形為，從而可以考慮視分別為兩個函數的交點。先作出圖像，再在這個坐標系中作出，比較交點的位置即可。