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1、第三章 3-1 已知二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 。試求單位階躍響應的tr , tm ,% , ts的數(shù)值？解：題意分析這是一道典型二階系統(tǒng)求性能指標的例題。解法是把給定的閉環(huán)傳遞函數(shù)與二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)標準形式進行對比，求出參數(shù)，而后把代入性能指標公式中求出，和的數(shù)值。 上升時間 tr 峰值時間tm 過度過程時間ts 超調(diào)量 3-2 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求系統(tǒng)的性能指標，峰值時間，超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間。 解：題意分析這是一道給定了開環(huán)傳遞函數(shù),求二階系統(tǒng)性能指標的練習題。在這里要抓住二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標準形式與參數(shù)(,)的對應關系，然后確定用哪一組公式去求性能指標。 根據(jù)題目給出條

2、件可知閉環(huán)傳遞函數(shù)為 與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標準形式相比較可得，即=1,=0.5。由此可知，系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)。故，單位階躍響應的性能指標為 3-3 如圖1所示系統(tǒng)，假設該系統(tǒng)在單位階躍響應中的超調(diào)量=25%，峰值時間=0.5秒，試確定K和的值。 X(s) Y(s) 圖1解：題意分析這是一道由性能指標反求參數(shù)的題目，關鍵是找出：K,與,的關系；,與,的關系；通過,把,與K,聯(lián)系起來。 由系統(tǒng)結(jié)構圖可得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標準形式相比較，可得 由題目給定： 即 兩邊取自然對數(shù)可得 依據(jù)給定的峰值時間： （秒）所以 （弧度/秒）故可得 0.13-4 已知系統(tǒng)的結(jié)構圖如圖2所示，若 時，試求

3、： (1) 當=0時，系統(tǒng)的tr , tm , ts的值。(2) 當0時，若使=20%，應為多大。 100X(s) Y(s) 圖2 解：題意分析這是一道二階系統(tǒng)綜合練習題。(1)練習輸入信號不是單位階躍信號時，求性能指標。關鍵是求出 ,。(2)的求法與例433相似。 (1) 由結(jié)構圖可知閉環(huán)傳遞函數(shù)為 可得 由于 輸出的拉氏變換為 則拉氏反變換為 (2) 當0時，閉環(huán)傳遞函數(shù)由 兩邊取自然對數(shù) ， 可得 故 3-5(1) 什么叫時間響應 答：系統(tǒng)在外加作用的激勵下，其輸出隨時間變化的函數(shù)關系叫時間響應。(2) 時間響應由哪幾部份組成？各部份的定義是什么？ 答：時間響應由瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應兩部分

4、組成。瞬態(tài)響應是系統(tǒng)受到外加作用后，系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終穩(wěn)定狀態(tài)的響應過程稱瞬態(tài)響應或者動態(tài)響應或稱過渡過程。穩(wěn)態(tài)響應是系統(tǒng)受到外加作用后，時間趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)或稱穩(wěn)態(tài)。(3) 系統(tǒng)的單位階躍響應曲線各部分反映系統(tǒng)哪些方面的性能？ 答：時間響應由瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應兩部分組成。瞬態(tài)響應反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性，相對穩(wěn)定性及響應的快速性；穩(wěn)態(tài)響應反映系統(tǒng)的準確性或穩(wěn)態(tài)誤差。(4) 時域瞬態(tài)響應性能指標有哪些？它們反映系統(tǒng)哪些方面的性能？答：延遲時間；上升時間；峰值時間；調(diào)節(jié)時間；最大超調(diào)量.,反映系統(tǒng)的快速性，即靈敏度，反映系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。3-6設系統(tǒng)的特征方程式為 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：

5、特征方程符號相同，又不缺項，故滿足穩(wěn)定的必要條件。列勞斯表判別。 由于第一列各數(shù)均為正數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。也可將特征方程式因式分解為 根均有負實部，系統(tǒng)穩(wěn)定。3-7設系統(tǒng)的特征方程式為 解：列勞斯表 將特征方程式因式分解為 根為 系統(tǒng)等幅振蕩，所以系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。3-8 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求k的穩(wěn)定范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程： 列勞斯表 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 K00.35-0.025K0得 K14所以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，K的取值范圍為0K14。3-9(1) 系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義是什么？ 答：系統(tǒng)受到外界擾動作用后，其輸出偏離平衡狀態(tài)，當擾動消失后，經(jīng)過足夠長的時間，若系統(tǒng)又恢復到原平衡狀態(tài)，

6、則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之系統(tǒng)不 穩(wěn)定。(2) 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是什么？ 答：系統(tǒng)的全部特征根都具有負實部，或系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點均位于S平面的左半部。(3) 誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義是什么？ 答：輸出端定義誤差e(t)：希望輸出與實際輸出之差。輸入端定義誤差e(t)；輸入與主反饋信號之差。穩(wěn)態(tài)誤差，誤差函數(shù)e(t)，當t時的誤差值稱為穩(wěn)態(tài)誤差,即 3-10已知單位反饋隨動系統(tǒng)如圖3所示。若，。試求：（1）典型二階系統(tǒng)的特征參數(shù)和；（2）暫態(tài)特性指標和； （3）欲使，當不變時，應取何值。 圖3隨動系統(tǒng)結(jié)構圖解： 由系統(tǒng)結(jié)構圖可求出閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)比較得 已知、值，由

7、上式可得于是，可 為使，由公式可求得，即應使由0.25增大到0.5，此時 即值應減小4倍。3-11控制系統(tǒng)框圖如圖4所示。要求系統(tǒng)單位階躍響應的超調(diào)量，且峰值時間。試確定與的值，并計算在此情況下系統(tǒng)上升時間和調(diào)整時間。 圖4 控制系統(tǒng)框圖解：由圖可得控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)的特征方程為。所以 由題設條件：，可解得，進而求得在此情況下系統(tǒng)上升時間 調(diào)整時間 3-12設系統(tǒng)的特征方程式分別為1 23試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解題的關鍵是如何正確列出勞斯表，然后利用勞斯表第一列系數(shù)判斷穩(wěn)定性。1列勞斯表如下s4 1 3 5 s3 2 4 s2 1 5s1 -6s0 5勞斯表中第一

8、列系數(shù)中出現(xiàn)負數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；又由于第一列系數(shù)的符號改變兩次，1-65，所以系統(tǒng)有兩個根在s平面的右半平面。2列勞斯表如下s4 1 1 1 s3 2 2 s2 0() 1 s1 2-2/s0 1由于是很小的正數(shù)，行第一列元素就是一個絕對值很大的負數(shù)。整個勞斯表中第一列元素符號共改變兩次，所以系統(tǒng)有兩個位于右半s平面的根。3列勞斯表如下s5 1 3 2 s4 1 3 2s3 0 0 由上表可以看出，s3行的各項全部為零。為了求出s3各行的元素，將s4行的各行組成輔助方程式為 A(s)= s4+3s2+2s0將輔助方程式A(s)對s求導數(shù)得用上式中的各項系數(shù)作為s3行的系數(shù)，并計算以下各行的系

9、數(shù)，得勞斯表為s5 1 3 2 s4 1 3 2s3 4 6 s2 3/2 2s1 2/3 s0 2從上表的第一列系數(shù)可以看出，各行符號沒有改變，說明系統(tǒng)沒有特征根在s右半平面。但由于輔助方程式A(s)= s4+3s2+2=（s2+1）（s2+2）=0可解得系統(tǒng)有兩對共軛虛根s1,2=j，s3,4=j2，因而系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3-13已知系統(tǒng)結(jié)構圖如圖5所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解： 解題的關鍵是由系統(tǒng)結(jié)構圖正確求出系統(tǒng)的特征方程式，然后再用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。圖5控制系統(tǒng)結(jié)構圖 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 其閉環(huán)特征方程式為 s3 + 3s2 + 2s+ =0 列勞斯表為

10、： s3 1 2 s2 3 s1 (6-)/3 s0 為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使勞斯表中第一列系數(shù)全大于零，即和，因此，的取值范圍為，并且系統(tǒng)臨界穩(wěn)定放大系數(shù)為=6。3-14 已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下。（1） （2）試求：1靜態(tài)位置誤差系數(shù)、靜態(tài)速度誤差系數(shù)和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)；2求當輸入信號為時的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解：（1）首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 其閉環(huán)特征方程為。由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為型，可以求得靜態(tài)誤差為：所以給定輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差計算如下：(2) 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 其閉環(huán)特征方程為。由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為型，可以求

11、得靜態(tài)誤差為：所以給定輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差計算如下： 注意：該例中若取，則由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。因此不能定義靜態(tài)誤差系數(shù)，也談不上求穩(wěn)態(tài)誤差。第四章4-1單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。解：按下述步驟繪制概略根軌跡（1） 系統(tǒng)開環(huán)有限零點為，開環(huán)有限極點為。（2） 實軸上的根軌跡區(qū)間為。（3） 根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實軸的交點為（4） 確定分離點。分離點方程為，用試探法求得。閉環(huán)系統(tǒng)概略根軌跡如下圖1圖14-2設某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖。解：漸近線與實軸的交點漸近線與實軸正方向的夾角為。分離點與匯合點：由得所以，

12、。根軌跡如下圖2圖24-3以知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解：（1）系統(tǒng)無開環(huán)有限零點，開環(huán)極點有四個，分別為0，-4，（2）實軸上的根軌跡區(qū)間為。（3）漸近線有四條。（4）根軌跡的起始角。復數(shù)開環(huán)極點（5）確定根軌跡的分離點。由分離點方程解得，皆為根軌跡的分離點。（6） 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為列寫勞斯表，可以求出當K=260時，勞斯表出現(xiàn)全零行，輔助方程為。解得根軌跡與虛軸的交點。如下圖3圖34-4單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，k的變換范圍為，試繪制系統(tǒng)根軌跡。解：分析知道，應繪制零度根軌跡。按照零度根軌跡的基本法則確定根軌跡的參數(shù)：（1）系統(tǒng)開環(huán)有限零點為1，開環(huán)有限極點為0，

13、-2。（2）實軸上的根軌跡區(qū)間為。（3）漸近線有一條（4）確定根軌跡的分離點，由分離點的方程，解得（5） 確定根軌跡與虛軸的交點。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為。當k=-2時，閉環(huán)特征方程的根為。如下圖4：圖44-5以知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，a的變化范圍為，試繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為即有。等效開環(huán)傳遞函數(shù)為，變化范圍為。（1） 等效系統(tǒng)無開環(huán)有限零點，開環(huán)極點為（2） 實軸上的根軌跡區(qū)間為（3） 根軌跡有三條漸近線（4） 根軌跡的分離點方程，解得。（5） 確定根軌跡與虛軸的交點。由勞斯表，可以求出當a=1時，勞斯表出現(xiàn)全零行，輔助方程為。解得。如下圖5圖54-6. 設單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡圖（要求確定分離點坐標）。解系統(tǒng)有三個開環(huán)極點：, 實軸上的根軌跡： , 漸近線： 分離點：解之得：，(舍去)。 與虛軸的交點：特征方程為 令 解得與虛軸的交點（0，）。根軌跡如圖6所示。圖64-7設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試作出從變化時的根軌跡。圖7 根軌跡圖解：做等效開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)實軸上的根軌跡：分離點：解得：(舍去)，如圖解414所示，根軌跡為以開環(huán)零點為圓心，開環(huán)零點到開環(huán)極點的距離為半徑的圓。18試題和教育