《（全國(guó)通用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題提分教程 第二編 專(zhuān)題二 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第2講 三角恒等變換與解三角形練習(xí) 理》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題提分教程 第二編 專(zhuān)題二 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第2講 三角恒等變換與解三角形練習(xí) 理（22頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講三角恒等變換與解三角形考情研析正弦定理、余弦定理以及解三角形問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：1.邊和角的計(jì)算2.三角形形狀的判斷3.面積的計(jì)算4.有關(guān)參數(shù)的范圍問(wèn)題由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng)，與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)進(jìn)行命題將是今后高考的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)，不可輕視.核心知識(shí)回顧1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin22sincos；cos2cos2sin22cos2112sin2；tan2；cos2，sin2.3輔助角公式asinbcos sin().4正弦定理2R(2R為ABC外接圓的直

2、徑)變形：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.sinA，sinB，sinC.abcsinAsinBsinC.5余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.推論：cosA，cosB，cosC.6面積公式SABCbcsinAacsinBabsinC.7常用結(jié)論(1)三角形內(nèi)角和ABC；(2)abcABCsinAsinBsinC；(3)sin(AB)sinC，cos(AB)cosC.熱點(diǎn)考向探究考向1 三角恒等變換與求值例1(1)已知為第一象限角，cos，則()A.BCD答案C解析cos且為第一象限角，sin，sin22sincos2，co

3、s22cos21221，.(2)已知(0，)，且sin，則tan2()A.BCD答案C解析sin(sincos)，sincos.(0，)，且sin2cos21，tan，tan2.(3)(2019四川德陽(yáng)高三第二次診斷)已知為銳角，且tan，則cos()ABCD答案A解析cossin22sincos.(1)三角恒等變換的常用技巧是“化異為同”，即“化異名為同名”“化異次為同次”“化異角為同角”，其中涉及sin2，cos2時(shí)，常逆用二倍角余弦公式降冪(2)常見(jiàn)的“變角”技巧：()()，()()，等，使用“變角”技巧時(shí)，應(yīng)根據(jù)已知條件中的角，選擇恰當(dāng)變角技巧1在ABC中，若tanAtanBtanAt

4、anB1，則cosC的值為()ABCD答案B解析由tanAtanBtanAtanB1，可得1，即tan(AB)1.又因?yàn)锳，B是ABC的內(nèi)角，即AB(0，)，所以AB，易知C，cosC.2(2019遼寧撫順高三一模)已知函數(shù)f(x)sinxcos，若在區(qū)間上f(x)a恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是()ABCD答案A解析函數(shù)f(x)sinxcossinxcosxsin，由于0x，故x，sin.當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)的最小值為.由于在區(qū)間上f(x)a恒成立，故a，所以a的最大值為.故選A.3已知tan，且0，則等于()ABCD答案A解析由tan，得tan.又0，所以sin.故2sin.考向2 正弦定理與余弦定

5、理的應(yīng)用例2(2019遼寧撫順高三一模)已知a，b，c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若a10，角B是最小的內(nèi)角，且3c4asinB3bcosA.(1)求sinB的值；(2)若c14，求b的值解(1)由3c4asinB3bcosA且ABC，由正弦定理得3sinC4sinAsinB3sinBcosA，即3sin(AB)4sinAsinB3sinBcosA，由于0A0，整理可得3cosB4sinB，又sinB0，所以sinB.(2)因?yàn)榻荁是最小的內(nèi)角，所以0B，又由(1)知sinB，所以cosB，由余弦定理得b21421022141072，即b6.(1)利用正、余弦定理解三角形時(shí)，涉及邊

6、與角的余弦的積時(shí)，常用正弦定理將邊化為角，涉及邊的平方時(shí)，一般用余弦定理(2)涉及邊a，b，c的齊次式時(shí)，常用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的正弦值，再利用三角公式進(jìn)行變形(3)涉及正、余弦定理與三角形面積綜合問(wèn)題，求三角形面積時(shí)用SabsinC形式的面積公式已知ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足acos2C2ccosAcosCab0.(1)求角C的大小；(2)若b4sinB，求ABC面積S的最大值解(1)由acos2C2ccosAcosCab0，得a(2cos2C1)2ccosAcosCab0，即2acos2C2ccosAcosCb0.由正弦定理，得2sinAcos2C2sinCcos

7、AcosCsinB0，2cosCsin(AC)sinB0，即2cosCsinBsinB0.0B180，sinB0，cosC，C120.(2)根據(jù)正弦定理，得c，b4sinB，C120，c2，由余弦定理c2a2b22abcosC，得(2)2a2b22abcos120a2b2ab3ab，ab4，SabsinC，ABC面積S的最大值為.考向3 解三角形的綜合問(wèn)題角度1解三角形與三角恒等變換的綜合例3(2019福建省高三模擬)已知在ABC中，AC3，C120，cosAsinB.(1)求邊BC的長(zhǎng)；(2)設(shè)D為AB邊上一點(diǎn)，且BCD的面積為，求sinBDC.解(1)由cosAsinB及C120，得cos

8、(60B)sinB，展開(kāi)得cosBsinBsinB0，即cos(B60)0，所以B30.所以A60B30，即AB30，所以BCAC3.(2)由SBCD3BDsin30，解得BD.在BCD中，CD2BC2BD22BCBDcosB，所以CD.由，得2，所以sinBDC.正、余弦定理與三角恒等變換的綜合問(wèn)題，應(yīng)先利用三角恒等變換公式將函數(shù)關(guān)系式變形為只含一個(gè)角的一種三角函數(shù)形式后，再根據(jù)要求求解(2019江西南昌高三適應(yīng)性測(cè)試)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若cosB，b2，求ABC的面積解(1)由正弦定理，得，所以，即(cosA2cosC)sinB(2

9、sinCsinA)cosB，cosAsinB2cosCsinB2sinCcosBsinAcosB，cosAsinBsinAcosB2sinCcosB2cosCsinB化簡(jiǎn)得sin(AB)2sin(BC)，又ABC，所以sinC2sinA，因此2.(2)由2，得c2a，由余弦定理b2a2c22accosB及cosB，b2，得4a24a24a2，得a1，從而c2.又因?yàn)閏osB，且0B0，所以AD3.真題押題真題模擬1(2019山東聊城高三一模)設(shè)函數(shù)f(x)sinxcosx，若對(duì)于任意的xR，都有f(2x)f(x)，則sin()A.BCD答案B解析f(x)sinxcosxsin，由f(2x)f(

10、x)，得x是函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸，得k，kZ，得k，kZ.sinsinsin.故選B.2(2018全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若ABC的面積為，則C()A.BCD答案C解析由題可知SABCabsinC，所以a2b2c22absinC.由余弦定理得a2b2c22abcosC，所以sinCcosC.C(0，)，C.故選C.3(2019全國(guó)卷)已知，2sin2cos21，則sin()A.BCD答案B解析由2sin2cos21，得4sincos2cos2.又，tan，sin.故選B.4(2019河南頂級(jí)名校高三四模)已知，sin(2)sin，cos的最小值為()A.BCD答案

11、A解析因?yàn)閟in(2)sin，即sin()sin()，則sin()coscos()sinsin()coscos()sin，有sin()cos5cos()sintan()5tan，即5tan，那么tan，tan0，tan0，tan，當(dāng)5tan即tan時(shí)等號(hào)成立因此tan2，即cos2，又，cos0cos.故選A.5(2018全國(guó)卷)已知sincos1，cossin0，則sin()_.答案解析解法一：因?yàn)閟incos1，cossin0，所以(1sin)2(cos)21，所以sin，cos，因此sin()sincoscossincos21sin21.解法二：由(sincos)2(cossin)21，

12、得22sin()1，所以sin().6(2019浙江高考)在ABC中，ABC90，AB4，BC3，點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上若BDC45，則BD_，cosABD_.答案解析如圖，易知sinC，cosC.在BDC中，由正弦定理可得，BD.由ABCABDCBD90，可得cosABDcos(90CBD)sinCBDsin(CBDC)sin(CBDC)sinCcosBDCcosCsinBDC.金版押題7已知sinxcosx，則cos()ABCD答案B解析sinxcosx222cos，即cos.8在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，則cosB()ABCD答案B解析在ABC中，由正弦定理，得1，t

13、anB，又B(0，)，B，cosB.故選B.配套作業(yè)一、選擇題1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，1)，則cos的值是()AB0CD1答案B解析由已知得sin，cos，所以coscossin0.2. (2019貴州凱里第一中學(xué)模擬)如圖，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果大正方形的面積為225，小正方形的面積為9，直角三角形較小的銳角為，則sin2()A.BCD答案D解析大正方形的面積為225，小正方形的面積為9，大正方形的邊長(zhǎng)為15，小正方形的邊長(zhǎng)為3.設(shè)四個(gè)全等的直

14、角三角形的長(zhǎng)直角邊為x，則短直角邊為x3，由勾股定理得x2(x3)2152，解得x12，為直角三角形較小的銳角，所以sin，cos，所以sin22sincos.3在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.若 ab，A2B，則cosB()A.BCD答案B解析ab，由正弦定理，得sinAsinB.又A2B，sinAsin2B，sinA2sinBcosB.由且角B為ABC的內(nèi)角得cosB.4(2019內(nèi)蒙古呼和浩特市3月質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊過(guò)P(2,1)，則cos2sin2的值為()A.BCD答案B解析在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊過(guò)P(2,1)，tan，則cos2sin2，故選B

15、.5(2019四川德陽(yáng)第二次模擬)在ABC中，BD是AC邊上的高，A，cosABC，則()A.BCD答案A解析cosABC，sinABC，sinCsin(sinABCcosABC)，BD是AC邊上的高，BDBCsinCBC，如圖，由正弦定理可知，即ACBC，故選A.6如圖，在ABC中，B45，D是BC邊上一點(diǎn)，AD5，AC7，DC3，則AB()A.BCD答案A解析在ACD中，由余弦定理可得cosC，則sinC.在ABC中，由正弦定理可得，則AB，選A.7(2019河南信陽(yáng)高三模擬)已知函數(shù)f(x)2sinxcosx2cos2x1，且yf(x)的圖象沿x軸方向平移m個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)

16、對(duì)稱(chēng)，則|m|的最小值為()A.BCD答案C解析f(x)2sinxcosx2cos2x1sin2xcos2x2sin，將yf(x)的圖象向左平移m個(gè)單位(若m0，則為向右平移m個(gè)單位)，得到g(x)2sin，因?yàn)槠揭坪髨D象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)，將(0,0)代入g(x)，得sin0，可得2mk，kZ，m，kZ，則|m|的最小值為.故選C.二、填空題8已知cossin，則cos的值是_答案解析cossincos，cos2cos21.9(2019遼寧遼南協(xié)作體高三一模)已知cos，則的值為_(kāi)答案解析由cos，得sin，.10在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若sin2Asin2Bsi

17、nBsinC，sinC2sinB，則A_.答案30解析根據(jù)正弦定理可得a2b2bc，c2b，解得ab.根據(jù)余弦定理cosA，得A30.11已知不等式3sincoscos2m0對(duì)任意的x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案，)解析依題意得，3sincoscos2msincosmsinm0在上恒成立，msin在上恒成立，由于， sin ，故m .三、解答題12(2019上海金山區(qū)第二學(xué)期質(zhì)檢)已知ABC中，tanA，tanB，AB.求：(1)角C的大??；(2)ABC中最小邊的邊長(zhǎng)解(1)tanCtan(AB)tan(AB)1，所以C.(2)因?yàn)閠anAtanB，所以最小角為A，又因?yàn)閠anA，所以s

18、inA，cAB，又，所以最小邊a.13已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a2ab2b20.(1)若B，求C；(2)若C，c14，求SABC.解(1)由已知B，a2ab2b20，結(jié)合正弦定理得2sin2AsinA10，于是sinA1或sinA(舍去)因?yàn)?A，所以A，所以C.(2)由題意及余弦定理可知a2b2ab196，由a2ab2b20得(ab)(a2b)0，即a2b，聯(lián)立解得b2，a4.所以SABCabsinC14.14(2019湖南永州高三三模)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinBcosB0，a1，c2.(1)求b；(2)如圖，D為AC邊上一點(diǎn)，且B

19、DBC，求ABD的面積解(1)由sinBcosB0得，tanB，又0B，所以B.由余弦定理得，b2a2c22accosB142127，所以b.(2)由(1)得，cosC，sinC，即tanC.在RtBDC中，BDBCtanC1，ABDABCDBC，所以SABDABBDsinABD2.15在四邊形ABCD中，ADBC，AB2，AD1，A.(1)求sinADB；(2)若BDC，求四邊形ABCD的面積解(1)如圖，在ABD中，AB2，AD1，A，由余弦定理，得BD2AB2AD22ABADcosA，即BD241221cos，解得BD.在ABD中，由正弦定理，得，即，解得sinADB.(2)設(shè)CBD，因

20、為ADBC，所以ADBCBD，所以sin.因?yàn)?，所以cos，因?yàn)锽DC，所以sinCsinsincoscossin.在BCD中，由正弦定理得，即，解得BC7.所以SBCDBDBCsin7，SABDABADsinBAD21sin.所以四邊形ABCD的面積SSBCDSABD4.16. 如圖，已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acosCasinCbc0.(1)求A；(2)若AD為BC邊上的中線(xiàn)，cosB，AD，求ABC的面積解(1)acosCasinCbc0，由正弦定理得sinAcosCsinAsinCsinBsinC，即sinAcosCsinAsinCsin(AC)sinC，

21、又sinC0，所以化簡(jiǎn)得sinAcosA1，所以sin(A30).在ABC中，0A0)，則在ABD中，AD2AB2BD22ABBDcosB，即25x249x225x7x，解得x1，所以a7，c5，故SABCacsinB10.三角函數(shù)與解三角形類(lèi)解答題(12分)已知函數(shù)f(x)sinxcosxsin2x1(0)的圖象中相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為.(1)求的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知a，b，c分別為ABC中角A，B，C的對(duì)邊，且滿(mǎn)足a，f(A)1，求ABC面積S的最大值解題思路(1)首先將函數(shù)解析式化為“一角一函數(shù)”的形式，然后利用函數(shù)圖象中對(duì)稱(chēng)軸之間的距離確定函數(shù)的周期，從而求得

22、的值，最后利用換元法求得函數(shù)的遞減區(qū)間；(2)根據(jù)第(1)問(wèn)所得，利用f(A)1求得角A，再根據(jù)余弦定理建立b，c的關(guān)系式，利用基本不等式求得bc的最大值，將其代入面積公式即可解(1)f(x)sin2x1sin.(3分)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象中相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，所以T，即，所以1.(4分)所以f(x)sin.令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)(6分)(2)由f(A)1得sin.因?yàn)?A，所以2A，得A.(8分)由余弦定理得a2b2c22bccosA，即()2b2c22bccos，(9分)所以bc3b2c22bc，解得bc3，當(dāng)且僅當(dāng)bc

23、時(shí)等號(hào)成立(11分)所以SABCbcsinA3.故ABC面積S的最大值為.(12分)1化簡(jiǎn)：用誘導(dǎo)公式、和角公式、差角公式和倍角公式化簡(jiǎn)給3分2求值：運(yùn)用三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸及周期性求值給1分3求單調(diào)區(qū)間：利用三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求f(x)的單調(diào)區(qū)間給2分4求角：已知三角函數(shù)值求角給2分5建立關(guān)系式：利用余弦定理得出b，c的關(guān)系式給1分6求最值：利用基本不等式求出bc的最大值給2分7求面積最值：代入面積公式求最大值給1分1發(fā)現(xiàn)差異：觀(guān)察角、函數(shù)運(yùn)算的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”2尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系3合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓酱偈共町惖霓D(zhuǎn)化4挖掘隱含：如定義域、銳角、三角函

24、數(shù)值的正負(fù)對(duì)角的范圍的影響，將已知的三角函數(shù)值與特殊角的三角函數(shù)值比較、縮小角的范圍等等跟蹤訓(xùn)練(2019天津九校聯(lián)考)(12分)在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若bc，且2sinBsinA.(1)求sinB的值；(2)求cos的值；(3)若b2，求ABC的面積解(1)因?yàn)?sinBsinA，所以2ba，即ab，(1分)所以cosB，(3分)因?yàn)锽(0，)，所以sinB.(4分)(2)由(1)可知cosB.(5分)因?yàn)閟in2B2sinBcosB2，cos2B2cos2B1221.(6分)所以coscos2Bcossin2Bsin.(8分)(3)因?yàn)閎2，所以c2，a，(10分)所以SABCacsinB2.(12分)- 22 -