《(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第43講 直接證明與間接證明練習(xí) 理(含解析)新人教A版》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第43講 直接證明與間接證明練習(xí) 理(含解析)新人教A版(12頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第43講直接證明與間接證明夯實(shí)基礎(chǔ)【p92】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例,了解直接證明的兩種基本方法:分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)及證明步驟2結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例,了解間接證明的一種基本方法反證法;了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)【基礎(chǔ)檢測(cè)】1利用反證法證明:“若x2y20,則xy0”時(shí),假設(shè)為()Ax,y都不為0Bxy且x,y都不為0Cxy且x,y不都為0Dx,y不都為0【解析】原命題的結(jié)論是x,y都為零,反證時(shí),假設(shè)為x,y不都為零【答案】D2要證a2b21a2b20,只要證明()A2ab1a2b20 Ba2b210C.1a2b20 D(a21)(b21)0【解析
2、】a2b21a2b20(a21)(b21)0.【答案】D3設(shè)a,b,c均為正實(shí)數(shù),則三個(gè)數(shù)a,b,c()A都大于2 B都小于2C至少有一個(gè)不大于2 D至少有一個(gè)不小于2【解析】a0,b0,c0,6,當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí),“”成立,故三者不能都小于2,即至少有一個(gè)不小于2.【答案】D4如果abab,則a、b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是_【解析】ab(ab)(ab)(ba)()(ab)()2()當(dāng)a0,b0,且ab時(shí),()2()0.abab成立的條件是a0,b0,且ab.【答案】a0,b0,且ab5已知集合a,b,c0,1,2,且下列三個(gè)關(guān)系:a2;b2;c0有且只有一個(gè)正確,則100a10bc_【解析】由已知,
3、若a2正確,則a0或a1,即a0,b1,c2或a0,b2,c1或a1,b0,c2或a1,b2,c0均與“三個(gè)關(guān)系有且只有一個(gè)正確”矛盾;若b2正確,則a2正確,不符合題意;所以,c0正確,a2,b0,c1,故100a10bc201.【答案】201【知識(shí)要點(diǎn)】1直接證明(1)從原命題的條件逐步推得命題成立的證明稱(chēng)為_(kāi)直接證明_綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法,也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常用的思維方法(2)從已知條件出發(fā),以已知的定義、公理、定理為依據(jù),逐步下推,直到推出要證明的結(jié)論為止這種證明方法常稱(chēng)為_(kāi)綜合法_推證過(guò)程如下:(3)從要證明的結(jié)論出發(fā),追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的充分條件,逐步上溯,
4、直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止這種證明方法常稱(chēng)為_(kāi)分析法_推論過(guò)程如下:得到一個(gè)明顯成立的條件P表示條件,Q表示要證的結(jié)論2間接證明反證法(1)假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出矛盾,因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做_反證法_(2)反證法的特點(diǎn):先假設(shè)原命題_不_成立,再在正確的推理下得出矛盾,所得矛盾可以是與已知條件矛盾,或與假設(shè)矛盾,或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等典例剖析【p92】考點(diǎn)1綜合法的應(yīng)用設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若對(duì)任意正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Snam,則稱(chēng)an是“H數(shù)列”(1)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n(nN*)
5、,證明:an是“H數(shù)列”;(2)證明:對(duì)任意的等差數(shù)列an,總存在兩個(gè)“H數(shù)列”bn和cn,使得anbncn(nN*)成立【解析】(1)由已知,an1Sn1Sn2n12n2n.于是對(duì)任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)mn1,使得Sn2nam.所以an是“H數(shù)列”(2)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則ana1(n1)dna1(n1)(da1)(nN*)令bnna1,cn(n1)(da1),則anbncn(nN*)下面證bn是“H數(shù)列”設(shè)bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,則Tna1(nN*)于是對(duì)任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Tnbm,所以bn是“H數(shù)列”同理可證cn也是“H數(shù)列”所以對(duì)任意的等差數(shù)列an,總存在
6、兩個(gè)“H數(shù)列”bn和cn,使得anbncn(nN*)成立【點(diǎn)評(píng)】綜合法證題的思路考點(diǎn)2分析法的應(yīng)用當(dāng)n0時(shí),試用分析法證明:.【解析】要證,即證2 , 只要證()2(2)2,即證 2n224n4,即證n1,只要證 n22nn22n1,而上式顯然成立,所以|b|,則fmb0,fmbbc,且abc0,求證:0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0【解析】ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.【答案】C2命題“對(duì)于任意角,cos4sin4cos 2”的證明:“cos4sin4(cos2sin2)(cos2s
7、in2)cos2sin2cos 2”過(guò)程應(yīng)用了()A分析法B綜合法C綜合法、分析法綜合使用D間接證明法【解析】因?yàn)樽C明過(guò)程是“從左向右”,即由條件逐步推向結(jié)論【答案】B3若|loga|loga,|logba|logba,則a,b滿(mǎn)足的條件是()Aa1,b1 B0a1,b1Ca1,0b1 D0a1,0b1【解析】|loga|loga,loga0loga1,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知0a1.|logba|logba,logba0logb1,但b1,所以根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知b1.【答案】B4已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù),數(shù)列an是等差數(shù)列,a30,則f(a1)f(a3)f(a5)的
8、值()A恒為正數(shù)B恒為負(fù)數(shù)C恒為0 D可正可負(fù)【解析】由于f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù),且a30,所以f(a3)f(0)0.而a1a52a3,所以a1a50,則a1a5,于是f(a1)f(a5),即f(a1)f(a5),因此f(a1)f(a5)0,所以有f(a1)f(a3)f(a5)0.【答案】A5已知a0,m,na2,則m,n的大小關(guān)系是_ .【解析】分析法:a2,只需證2a,因?yàn)閍0,所以不等式兩邊均大于零因此只需證,即證a244a242,只需證,只需證a2,即證a22,只需證0,而0顯然成立,所以mn.【答案】mn6若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1,在區(qū)間內(nèi)至少存在
9、一點(diǎn)c,使f(c)0,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_【解析】法一:(補(bǔ)集法)令解得p3或p,故滿(mǎn)足條件的p的取值范圍為.法二:(直接法)依題意有f(1)0或f(1)0,即2p2p10或2p23p90,得p1或3p.故滿(mǎn)足條件的p的取值范圍是.【答案】7(1)設(shè)ab0,用綜合法證明:a3b3a2bab2;(2)用分析法證明:2.【解析】(1)a3b3(a2bab2)a2(ab)b2(ba)(ab)(a2b2)(ab)2(ab),而(ab)20,ab0,a3b3(a2bab2)0,a3b3a2bab2.(2)要證2,只需證()2(2)2,即證2,只需證()2(2)2,即4240,而4240顯然成立,故原不
10、等式得證8已知函數(shù)f(x)ax(a1)(1)證明:函數(shù)f(x)在(2,)上為增函數(shù);(2)用反證法證明:方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根【解析】法一:任取x1,x2(2,),不妨設(shè)x1x2,則x2x10,ax2x11且ax10,所以ax2ax1ax1(ax2x11)0,又因?yàn)閤120,x220,所以0,于是f(x2)f(x1)(ax2ax1)0,故函數(shù)f(x)在(2,)上為增函數(shù)法二:f(x)axln a,a1,ln a0,axln a0,f(x)0在(2,)上恒成立,即f(x)在(2,)上為增函數(shù)(2)假設(shè)存在x00(x02)滿(mǎn)足f(x0)0,則ax0,因?yàn)閤01,所以0ax01,所以01,解得x0
11、3,與假設(shè)x00矛盾故方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根B組題1已知a,b,c(0,),則下列三個(gè)數(shù)a,b,c()A都大于6 B至少有一個(gè)不大于6C都小于6 D至少有一個(gè)不小于6【解析】假設(shè)三個(gè)數(shù)a,b,c都小于6,則abc18.利用基本不等式可得,abc18,這與假設(shè)矛盾,故假設(shè)不成立,即三個(gè)數(shù)a,b,c至少有一個(gè)不小于6.【答案】D2對(duì)于任意nN*,求證:1.【解析】法一:(n2),111n21(n1)(n1)0,.111.3已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.求證:.【解析】要證,即證3,也就是1,只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc),需證c2a2ac
12、b2,又ABC三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,故B60,由余弦定理,得b2a2c22accos B,即b2a2c2ac,故c2a2acb2成立于是原等式成立4直線(xiàn)ykxm(m0)與橢圓W:y21相交于A,C兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1),且四邊形OABC為菱形時(shí),求AC的長(zhǎng);(2)當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí),證明:四邊形OABC不可能為菱形【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形,則AC與OB相互垂直平分由于O(0,0),B(0,1),所以設(shè)點(diǎn)A,代入橢圓方程得1,則t,故|AC|2.(2)假設(shè)四邊形OABC為菱形,因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn),且ACOB,所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),則,km.所以AC的中點(diǎn)為M.因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn),且m0,k0,所以直線(xiàn)OB的斜率為kOM,因?yàn)閗1,所以AC與OB不垂直所以O(shè)ABC不是菱形,與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),四邊形OABC不可能是菱形12