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1、馬爾柯夫預(yù)測,馬爾柯夫（A.A Markov）預(yù)測法是應(yīng)用概率論中馬爾柯夫鏈的理論和方法來研究隨機事件變化并借此分析預(yù)測未來變化趨勢的一種方法。 馬爾柯夫鏈的基本理論 基于馬爾柯夫鏈基本理論的狀態(tài)預(yù)測、 市場占有率預(yù)測和人力資源結(jié)構(gòu)預(yù)測方法。,5.1 基本概念,馬爾柯夫（A.A Markov 俄國數(shù)學(xué)家）。 20世紀(jì)初，他在研究中發(fā)現(xiàn)自然界中有一類事物的變化過程僅與事物的近期狀況有關(guān)，而與事物的過去狀態(tài)無關(guān)。 例：設(shè)備維修和更新、人才結(jié)構(gòu)變化、資金流向、市場需求變化等許多經(jīng)濟行為都可用這一類過程來描述或近似。 所謂馬爾柯夫鏈，就是一種隨機時間序列，它在將來取什么值只與它現(xiàn)在的取值有關(guān)，而與它過

2、去取什么值無關(guān)，即無后效性。具備這個性質(zhì)的離散型隨機過程，稱為馬爾柯夫鏈。 概念:狀態(tài)?,1,2,3,1,2,3,基本概念4: 狀態(tài)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率、 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣、初始狀態(tài)概率向量,一、狀態(tài)與狀態(tài)變量 狀態(tài)：客觀事物可能出現(xiàn)或存在的狀況。 如：商品可能暢銷也可能滯銷；機器運轉(zhuǎn)可能正常也可能故障等。 同一事物不同狀態(tài)之間必須相互獨立:不能同時存在兩種狀態(tài)。 客觀事物的狀態(tài)不是固定不變的，它可能處于這種狀態(tài)，也可能處于那種狀態(tài)，往往條件變化，狀態(tài)也會發(fā)生變化。如某種產(chǎn)品在市場上本來是滯銷的，但是由于銷售渠道變化了，或者消費心理發(fā)生了變化等，它便可能變?yōu)闀充N產(chǎn)品。,用狀態(tài)變量來表示狀態(tài)： 它表示

3、隨機運動系統(tǒng)，在時刻 所處的狀態(tài)為 狀態(tài)轉(zhuǎn)移：客觀事物由一種狀態(tài)到另一種狀態(tài)的變化。 如：由于產(chǎn)品質(zhì)量或替代產(chǎn)品的變化，市場上產(chǎn)品可能由暢銷變?yōu)闇N。,二、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率 客觀事物可能有 共 種狀態(tài)，其中每次只能處于一種狀態(tài)，則每一狀態(tài)都具有 個轉(zhuǎn)向（包括轉(zhuǎn)向自身），即 。 由于狀態(tài)轉(zhuǎn)移是隨機的，因此，必須用概率來描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移可能性的大小，將這種轉(zhuǎn)移的可能性用概率描述，就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。 ,概率論中的條件概率：P（AB）就表達(dá)了由狀態(tài) B 向狀態(tài) A 轉(zhuǎn)移的概率，簡稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。 對于由狀態(tài) Ei 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej 的概率，稱它為從 i 到 j 的轉(zhuǎn)移概率。記為： 它表示由狀態(tài)Ei 經(jīng)過一步轉(zhuǎn)

4、移到狀態(tài)Ej 的概率。,某地區(qū)有甲、乙、丙三家食品廠生產(chǎn)同一種食品，有一千個用戶（或購貨點），假定在研究期間無新用戶加入也無老用戶退出，只有用戶的轉(zhuǎn)移，已知 2006 年 5 月份有 500 戶是甲廠的顧客；400 戶是乙廠的顧客；100 戶是丙廠的顧客。6 月份，甲廠有400 戶原來的顧客，上月的顧客有 50 戶轉(zhuǎn)乙廠，50 戶轉(zhuǎn)丙廠；乙廠有 300 戶原來的顧客，上月的顧客有 20 戶轉(zhuǎn)甲廠，80 戶轉(zhuǎn)丙廠；丙廠有 80 戶原來的顧客，上月的顧客有 10 戶轉(zhuǎn)甲廠，10 戶轉(zhuǎn)乙廠。 計算其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。,例：,解：由題意得 6 月份顧客轉(zhuǎn)移表 1：,從,到,表 1,例：,三、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩

5、陣 將事件 個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率依次排列起來，就構(gòu)成一個 N行N 列的矩陣，這種矩陣就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。 通常稱矩陣 P 為 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，沒有特別說明步數(shù)時，一般均為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。矩陣中的每一行稱之為概率向量。 轉(zhuǎn)移概率矩陣的特征?,基本概念,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣具有如下特征： （1） （2）,三、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣及其基本特征,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的估算 主觀概率法（一般缺乏歷史統(tǒng)計資料或資料不全情況下使用） 統(tǒng)計估算法。,例 設(shè)味精市場的銷售記錄共有 6 年 24 個季度的數(shù)據(jù)，見表。求味精銷售轉(zhuǎn)移概率矩陣。,用“1”表示暢銷 用“2”表示滯銷,共24個季度數(shù)據(jù)，其中有15個季度暢銷，9個季度滯

6、銷，現(xiàn)分別統(tǒng)計出:連續(xù)暢銷、由暢轉(zhuǎn)滯、由滯轉(zhuǎn)暢和連續(xù)滯銷的次數(shù)。 以 p11 表示連續(xù)暢銷的可能性，以頻率代替概率，得： ? 分子 7 是表中連續(xù)出現(xiàn)暢銷的次數(shù)，分母 15 是表中出現(xiàn)暢銷的次數(shù)，因為第24季度是暢銷，無后續(xù)記錄，故減1。,2個狀態(tài): “1” 暢銷 “2” 滯銷,以 p12 表示由暢銷轉(zhuǎn)入滯銷的可能性： 分子 7 是表中由暢銷轉(zhuǎn)入滯銷的次數(shù)。 以 p21 表示由滯銷轉(zhuǎn)入暢銷的可能性： 分子 7 是表中由滯銷轉(zhuǎn)入暢銷的次數(shù)，分母數(shù) 9 是表中出現(xiàn)滯銷的次數(shù)。,2個狀態(tài): “1” 暢銷 “2” 滯銷,以 p22 表示連續(xù)滯銷的可能性： 分子 2 是表中連續(xù)出現(xiàn)滯銷的次數(shù)。 綜上所述

7、，得銷售狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣完全描述了所研究對象的變化過程。正如前面所指出的，上述矩陣為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。對于多步轉(zhuǎn)移概率矩陣，可按如下定義解釋。 定義 3. 若系統(tǒng)在時刻 處于狀態(tài) ，經(jīng)過 步轉(zhuǎn)移，在時刻 處于狀態(tài) 。那么，對這種轉(zhuǎn)移的可能性的數(shù)量描述稱為 步轉(zhuǎn)移概率。記為: 并令,三、多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣,稱 為 步轉(zhuǎn)移概率矩陣。 多步轉(zhuǎn)移概率矩陣，除具有一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的性質(zhì)外，還具有以下的性質(zhì)：,例：某經(jīng)濟系統(tǒng)有三種狀態(tài) （如暢銷、一般、滯銷），系統(tǒng)地轉(zhuǎn)移情況見下表，試求系統(tǒng)的二步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。 解：首先是寫出一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移,二步轉(zhuǎn)移概率矩陣可由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣通過

8、公式 ? 計算求出:,由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣求出，由公式 計算得：,記 為過程的開始時刻， 則稱： 為初始狀態(tài)概率向量。 已知馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣 以及初始狀態(tài)概率向量 ，則任一時刻的狀態(tài)概率分布也就確定了： 對 k1 ，記 則由全概率公式有：,四、初始狀態(tài)概率向量,若記向量 ，則上式可寫為： 由此可得,四、初始狀態(tài)概率向量,例：一臺機床的運行狀態(tài),機床運行存在正常和故障兩種狀態(tài)。由于出現(xiàn)故障帶有隨機性，故可將機床運行看作一個隨時間變化的隨機系統(tǒng)。 機床以后的狀態(tài)只與其以前的狀態(tài)有關(guān)，而與過去的狀態(tài)無關(guān)(有無后效性)。因此，機床的運行可看作馬爾科夫鏈。 如機床運行過程中出現(xiàn)故障，表示為從狀態(tài) 1

9、轉(zhuǎn)移到狀態(tài) 2 ；處于故障狀態(tài)的機床經(jīng)維修恢復(fù)到正常狀態(tài)即從狀態(tài) 2 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1。 現(xiàn)以1個月為時間單位，經(jīng)統(tǒng)計知：從某月到下月機床出現(xiàn)故障的概率為0.2 ，即 p12 = 0.2 。保持正常狀態(tài)的概率為為 p11 = 0.8 。在這一時間，故障機床經(jīng)維修返回正常狀態(tài)的概率為 0.9 ，即 p21 = 0.9 ；不能修好的概率為 p22 = 0.1 。,機床狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖,由機床的一步轉(zhuǎn)移概率得：狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：,若已知本月機床的狀態(tài)向量 P(0) = (0.85，0.15)，要求預(yù)測機床兩個月后的狀態(tài)。,問題： 知本月狀態(tài)向量 P(0) = (0.85，0.15)，預(yù)測兩月后的狀態(tài)。 求出兩

10、步轉(zhuǎn)移概率矩陣 預(yù)測：兩個月后的狀態(tài)向量, 5.2 穩(wěn)態(tài)概率矩陣: 平穩(wěn)分布與穩(wěn)態(tài)分布,在馬爾可夫鏈中，已知系統(tǒng)的初始狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，就可推斷出系統(tǒng)在任意時刻可能所處的狀態(tài)。 現(xiàn)在需要研究當(dāng) k 不斷增大時，P(k) 的變化趨勢。 一、平穩(wěn)分布 預(yù)備定義: 如存在非零向量X=(x1，x2， ，xN)，使得： X P = X 其中P為一概率矩陣，則稱 X 為 P 的固定概率向量。,一、平穩(wěn)分布,如存在非零向量 X=(x1，x2， ，xN)，使得： X P = X 其中：P為一概率矩陣 則稱 X 為 P 的固定概率向量。 特別地，設(shè) X=(x1，x2， ，xN) 為一狀態(tài)概率向量， P為狀

11、態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，若 X P = X 即： 稱 X 為該馬爾可夫鏈的一個平穩(wěn)分布 性質(zhì)？,若隨機過程某時刻的狀態(tài)概率向量 P(k) 為平穩(wěn)分布，則稱過程處于平衡狀態(tài)。 （X P = X） 一旦過程處于平衡狀態(tài)，則經(jīng)過一步或多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移之后，其狀態(tài)概率分布保持不變，也就是說，過程一旦處于平衡狀態(tài)后將永遠(yuǎn)處于平衡狀態(tài)。 對于所討論的狀態(tài)有限（即N個狀態(tài)）的馬爾可夫鏈，平穩(wěn)分布必定存在。 特別地，當(dāng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為正規(guī)概率矩陣時，平穩(wěn)分布唯一。 正規(guī)概率矩陣？,定義1：如果 P 為概率矩陣，且存在 m0，使 Pm 中諸元素皆非負(fù)非零。則稱 P 為正規(guī)概率矩陣。 例如： 均為正規(guī)概率矩陣。 P1為正規(guī)概率

12、矩陣是明顯的（m = 1） P2是正規(guī)概率矩陣也也易于論證： 即存在（m = 2），使 P2 的元素皆非負(fù)非零。,是非正規(guī)概率矩陣。 正規(guī)概率矩陣的這一性質(zhì)很有實用價值。 因為在市場占有率是達(dá)到平穩(wěn)分布時，顧客（或用戶）的流動將對市場占有率不起影響。即各市場主體喪失的顧客（或用戶）與爭取到的顧客相抵消。,例：甲乙丙三個食品廠顧客的 32 步轉(zhuǎn)移概率。,二、穩(wěn)態(tài)分布,可以看到每一列都有相同的值。這說明不管初始狀態(tài)三個食品廠占有多少顧客，經(jīng)過32月之后處于狀態(tài) j 的概率都是相同的。 即：經(jīng)過多次轉(zhuǎn)移之后，系統(tǒng)存在一個處于狀態(tài) j 的有限概率，此概率與系統(tǒng)原始狀態(tài)無關(guān)。,二、穩(wěn)態(tài)分布,對概率向量

13、=( 1， 2， ， N)，如對任意的 i，jS ： 則稱 為穩(wěn)態(tài)分布。 此時，不管初始狀態(tài)概率向量如何，均有， 或 這也是稱 為穩(wěn)態(tài)分布的理由。 性質(zhì)？,設(shè)存在穩(wěn)態(tài)分布 =( 1， 2， ， N)，則由于下式恒成立： 令k就得 A：即有限狀態(tài)馬爾可夫鏈的穩(wěn)態(tài)分布如存在，那么它也是平穩(wěn)分布。 B：當(dāng)馬爾科夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為正規(guī)概率矩陣時穩(wěn)態(tài)分布存在，且穩(wěn)態(tài)分布和平穩(wěn)分布相同且均唯一。,例：設(shè)一馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如下，求其平穩(wěn)分布及穩(wěn)態(tài)分布。,解：(1) P 是正規(guī)概率矩陣,即存在（m = 2），使 P2 的元素皆非負(fù)非零。,(2) 由于 P 是正規(guī)概率矩陣，求解如下方程組：,這就是

14、該馬爾可夫鏈的穩(wěn)態(tài)分布，而且也是平穩(wěn)分布。,5.3 馬爾可夫鏈預(yù)測法,馬爾可夫鏈預(yù)測方法的最簡單類型是預(yù)測下期最可能出現(xiàn)的狀態(tài)。步驟： 第一步：劃分預(yù)測對象所出現(xiàn)的狀態(tài)。 從預(yù)測目的出發(fā)，考慮決策需要來劃分現(xiàn)象所處的狀態(tài)。 第二步：計算初始概率。 據(jù)實際問題分析歷史資料所得的狀態(tài)概率稱為初始概率。 第三步：計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率 第四步：根據(jù)轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行預(yù)測 由狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 P ：如果目前預(yù)測對象處于狀態(tài)Ei，這時 Pij 就描述了目前狀態(tài) Ei 在未來將轉(zhuǎn)向狀態(tài) Ej（j =1，2，N）的可能性。 按最大可能性作為選擇原則：選擇（Pj1，Pj2， PjN ）中最大者為預(yù)測結(jié)果。,例：某商店在最

15、近20個月的商品銷售量統(tǒng)計記錄如下：,試預(yù)測第 21 期商品銷售量。,解：1、劃分狀態(tài)：按盈利狀況為標(biāo)準(zhǔn) （1） 銷售量60千件 屬于滯銷 （2） 60千件銷售量100千件 屬于一般 （3） 銷售量100千件 屬于暢銷,2、計算初始概率 Pi 為使問題更為直觀，繪制銷售量散點圖如下，并畫出狀態(tài)分界線。 由圖可算出處于： 滯銷狀態(tài)的有： M1= 7 一般狀態(tài)的有： M2= 5 暢銷狀態(tài)的有： M3= 8,3、計算初始轉(zhuǎn)移概率矩陣 計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率時，最后一個數(shù)據(jù)不參加計算，因為它究竟轉(zhuǎn)到哪個狀態(tài)尚不清楚。 M11= 3， M12= 4， M13= 0， M21= 1， M22= 1， M23=

16、3， M31= 2， M32= 0， M33= 5 從而： P11= 3/7， P12= 4/7， P13= 0/7， P21= 1/5， P22= 1/5， P23= 3/5， P31= 2/7， P32= 0/7， P33= 5/7,滯銷狀態(tài)： M1= 7 一般狀態(tài)： M2= 5 暢銷狀態(tài)： M3= 8-1,4、預(yù)測第21月的銷售情況 由于第20月的銷售情況屬于暢銷狀態(tài)，而經(jīng)由一次轉(zhuǎn)移到達(dá)三種狀態(tài)的概率是： P31= 2/7， P32= 0/7， P33= 5/7 P33 P32 P31 因此，第21月超過100千件的可能性最大。 即預(yù)測第21月的銷售狀態(tài)是“暢銷”。,5.4 馬爾可夫鏈的

17、應(yīng)用,一、市場占有率 例：東南亞各國行銷上海、日本和香港三種味精，要預(yù)測在未來若干個月以后的市場占有情況。具體步驟3： 第一步：進(jìn)行市場調(diào)查 、目前市場占有情況（顧客買滬、日、港味精的的百分比）。 結(jié)果：上海味精的占40%、買日、港的各占30%，（40%、30%、30%）稱為目前市場的占有分布或稱初始分布。 2、查清顧客的流動情況。 結(jié)果： 上月買上海味精的顧客，本月仍有40%，各有30%轉(zhuǎn)向買本和港味精。 上月買日本味精顧客，本月有60%轉(zhuǎn)向買上海味精，30%仍買日本味精，10%轉(zhuǎn)向香港味精。 上月買香港味精的顧客，本月有60%轉(zhuǎn)向買上海味精，10%轉(zhuǎn)向買日本味精，30%仍買香港味精。,第二

18、步：建立數(shù)學(xué)模型 為運算方便，以1、2、3分別代表上海、日本、香港味精，根據(jù)市場調(diào)查的結(jié)果，得到顧客購買味精的流動情況表。,第二步：進(jìn)行預(yù)測 設(shè)初始市場占有的分布是（p1，p2，p3 ）=（0.4，0.3，0.3），三個月以后的市場占有分布是（ p1(3)，p2(3)，p3(3) ），則預(yù)測的公式是：,p1(3) （三月后滬味精的市場占有率）：p1(3) = 0.5008 同理， 三月后日、港味精的市場占有率： p2(3) = 0.2496 p1(3) = 0.2496 經(jīng)過n個月以后的市場占有率： 如果市場顧客流動趨勢長期穩(wěn)定下去，則經(jīng)過一段時期以后的市場占有率將出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。 ？,所

19、謂穩(wěn)定的市場平衡狀態(tài)，就是顧客的流動，將對市場占有率不起影響，即在顧客流動過程中，各牌號產(chǎn)品喪失的顧客將與其爭取到的顧客抵消。 第三步：預(yù)測長期的市場占有率。 由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 P 是正規(guī)概率矩陣。所以，長期的市場占有率即為平衡狀態(tài)下的市場占有率，亦即馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。 設(shè)長期市場市場占有率為： 有： 得：,二、人力資源預(yù)測,例：某高校教師狀態(tài)分為5類：助教、講師、副教授、教授、流失及退休。目前狀態(tài)(550人)： 根據(jù)歷史資料: 試分析三年后教師結(jié)構(gòu)以及 三年內(nèi)為保持編制不變應(yīng)進(jìn)多少研究生充實教師隊伍？ (500),一年后人員分布： 要保持550人的總編制，流失76人，故第一年應(yīng)進(jìn) 76

20、 位新教師。 第二年： 補充74人。 第三年： 補充72人。 在第三年年底，人員結(jié)構(gòu)為：,三、預(yù)測:策略與市場占有率,例4 A、B、C三公司的產(chǎn)品市場占有率分別為50%，30%，20%。由于C公司改善了銷售與服務(wù)，銷售額逐期穩(wěn)定上升，而A公司卻下降。通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)三個公司間的顧客流動情況如表所示。其中產(chǎn)品銷售周期是季度。 問題：按目前趨勢發(fā)展，A公司產(chǎn)品銷售或客戶轉(zhuǎn)移的影響將嚴(yán)重到何種程度？更全面的，三個公司產(chǎn)品的占有率將如何變化？,未來各期的市場占有率：,C保銷政策：C的市場份額不斷增大，是否可持續(xù)下去？,穩(wěn)態(tài)市場占有率問題：,P 不可約非周期，穩(wěn)態(tài)市場占有率即為平衡狀態(tài)下的市場占有率，亦

21、即馬氏鏈的平穩(wěn)分布。,可解得：,最佳經(jīng)營策略：,因于A廠不利，A廠隨后制定兩套方案：,最佳經(jīng)營策略,A廠制定的兩套方案：,甲方案 保留策略，拉住老顧客。,新的平衡狀態(tài)下、三公司的市場占有率分別為31.6，26.3，42.1，公司的市場占有率從17.65提高到31.6。,甲方案：新的平衡狀態(tài)下、三公司的市場占有率分別為31.6，26.3，42.1，公司的市場占有率從17.65提高到31.6。,乙方案 爭取策略，挖客戶。,乙方案：在新的平衡狀態(tài)下，、三家公司的市場占有率分別為33.3，22.2，44.5。,考慮費用？,四、期望利潤預(yù)測,例 某商品每月市場狀況有暢銷和滯銷兩種。1代表暢銷，2代表滯銷

22、。如產(chǎn)品暢銷獲利50萬元；滯銷將虧損30萬元。調(diào)查統(tǒng)計了過去24個月的銷售記錄，見下表。,一般地,設(shè) 是狀態(tài)空間為 的齊次馬氏鏈，其轉(zhuǎn)移矩陣為 。 設(shè)r(i)表示某周期系統(tǒng)處于狀態(tài)i時獲得的報酬。稱如此的馬爾可夫鏈?zhǔn)蔷哂袌蟪甑摹?r(i)0時稱為盈利，報酬，收益等；r(i)0時稱為虧損，費用等。,該產(chǎn)品在第n周期的狀態(tài)用 表示，,問題：如當(dāng)前月份該產(chǎn)品暢銷，第四月前所獲得的期望總利潤為多少？,記 表示初始狀態(tài)為 i 的條件下，到第k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移前所獲得的期望總報酬(k1，iS)：,以例6說明，k=4。,1有限時段期望總報酬,k期,k=4,當(dāng)前狀態(tài)暢銷,r(i)表示某周期系統(tǒng)處于狀態(tài)i時獲得的報酬

23、,k期,k=4,k期,k=4,k期,k=4,到第4 步狀態(tài)轉(zhuǎn)移前所獲得的期望總報酬:,k期,k=4,k期,k=4,k期,k=4,到第4 步狀態(tài)轉(zhuǎn)移前所獲得的期望總報酬:,記,I,遞推式,(考慮一般情況),（再看例6）,一般地，,記,有,例6 某商品每月市場狀況有暢銷和滯銷兩種。1代表暢銷，2代表滯銷。如產(chǎn)品暢銷獲利50萬元；滯銷將虧損30萬元。調(diào)查統(tǒng)計了過去24個月的銷售記錄，見下表。,問題：如當(dāng)前月份該產(chǎn)品暢銷，第四月前所獲得的期望總利潤為多少？,已知：,都需求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P。,i=1，有三種形式的公式：,分子數(shù)7是表中連續(xù)出現(xiàn)暢銷的次數(shù)，分母中的15是表中出現(xiàn)暢銷的次數(shù)，因為第24季

24、度是暢銷，無后續(xù)記錄，故減1。,估計狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P：以統(tǒng)計頻率估計連續(xù)暢銷的概率。,結(jié)果為：如當(dāng)前月份該產(chǎn)品暢銷，第四月前所獲得的期望總利潤為67.5萬。,對iS，定義初始狀態(tài)為i的無限時段單位時間平均報酬為：,記,則,2無限時段單位時間平均報酬,則稱 為穩(wěn)態(tài)分布。,定義 對于概率向量 ，如對任的 ，均有,若所考慮的馬爾可夫鏈存在平穩(wěn)分布,可以證明，此時:,即，無限時段單位時間平均報酬與初始狀態(tài)無關(guān)，均為,在現(xiàn)實生活中，今年的一元錢將大于明年的一元錢，即，明年的一元錢折算到現(xiàn)在計算，就不值一元錢了，如為 ，這個 就稱為折扣因子。 實際上，在企業(yè)管理中當(dāng)考慮貸款、折舊等時都必須考慮到錢的增值問題

25、。如將錢存于銀行，年息為 ，則 與 有如下關(guān)系：,3無限時段期望折扣總報酬(略),對有報酬的馬氏鏈，定義從狀態(tài)i 出發(fā)的無限時段期望折扣總報酬為,對有報酬的馬氏鏈，定義從狀態(tài)i 出發(fā)的無限時段期望折扣總報酬為：,于是:,記,則：,稱 為具有報酬的馬氏鏈的三種目標(biāo)函數(shù)。利用其中的任一個目標(biāo)函數(shù)，可以討論不同策略的優(yōu)劣。,（示列：）,稱 為具有報酬的馬氏鏈的三種目標(biāo)函數(shù)。利用其中的任一個目標(biāo)函數(shù)，可以討論不同策略的優(yōu)劣。,例7 最佳維修策略的選擇。研究一化工企業(yè)對循環(huán)泵進(jìn)行季度維修的過程。每次檢查中，把泵按其外殼及葉輪的腐蝕程度定為五種狀態(tài)中的一種。這五種狀態(tài)是： 狀態(tài)1：優(yōu)秀狀態(tài)，無任何故障或缺

26、陷； 狀態(tài)2：良好狀態(tài)，稍有腐蝕； 狀態(tài)3：及格狀態(tài)，輕度腐蝕； 狀態(tài)4：可用狀態(tài)，大面積腐蝕； 狀態(tài)5：不可運行狀態(tài)，腐蝕嚴(yán)重。,該公司可采用的維修策略有以下幾種： 單狀態(tài)策略：處于狀態(tài)5時才進(jìn)行修理，每次修理費為500元。 兩狀態(tài)策略：處于狀態(tài)4和5時進(jìn)行修理，處于狀態(tài)4時的修理費用每次為250元, 處于狀態(tài)5時的每次修理費用為500元。 三狀態(tài)策略：處于狀態(tài)3,4,5時進(jìn)行修理，處于狀態(tài)3時的每次修理費用為200元,處于狀態(tài)4和5時的修理費用同前。 目前，公司采用的維修策略為“單狀態(tài)”策略。 假定不管處于何種狀態(tài)，只要進(jìn)行修理，狀態(tài)都將恢復(fù)為狀態(tài)1。已知在不進(jìn)行任何修理時的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，

27、如下表所示。,問題：確定哪個策略的費用最低。目標(biāo)為長期運行單位時間平均報酬。,需知 r 和 P.,不維修時的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：,與 i 無關(guān)。,單狀態(tài)策略下：,解得：,從而,兩狀態(tài)策略下：,解得：,從而,三狀態(tài)策略下：,解得：,從而,單狀態(tài)策略下：,兩狀態(tài)策略下：,三狀態(tài)策略下：,因此，兩狀態(tài)策略為最優(yōu)策略，平均每周期的費用為90.50元。,1.設(shè)某市場銷售甲、乙、丙三種牌號的同類型產(chǎn)品，購買該產(chǎn)品的顧客變動情況如下：過去買甲牌產(chǎn)品的顧客，在下一季度中有15%的轉(zhuǎn)買乙牌產(chǎn)品，10%轉(zhuǎn)買丙牌產(chǎn)品。原買乙牌產(chǎn)品的顧客，有30%轉(zhuǎn)賣甲牌的，同時有10%轉(zhuǎn)賣丙牌的。原買丙牌產(chǎn)品的顧客中有5%轉(zhuǎn)買甲牌的

28、，同時有15%轉(zhuǎn)買乙牌的。問經(jīng)營甲種產(chǎn)品的工廠在當(dāng)前的市場條件下是否有利于擴大產(chǎn)品的銷售？,練習(xí)(第6章),2.某產(chǎn)品每月的市場狀態(tài)有暢銷和滯銷兩種，三年來有如下記錄，見下表?！?”代表暢銷，“2”代表滯銷，試求市場狀態(tài)轉(zhuǎn)移的一步和二步轉(zhuǎn)移概率矩陣。,其中矩陣元素 表示上月購買 i 牌號彩電而下月購買 j 牌號彩電的概率； 分別表示甲乙丙和其他牌號彩電。,3.某市三種主要牌號甲乙丙彩電的市場占有率分別為23%、18%、29%，其余市場為其它各種品牌的彩電所占有。根據(jù)抽樣調(diào)查，顧客對各類彩電的愛好變化為,1) 試建立該市各牌號彩電市場占有率的預(yù)測模型，并預(yù)測未來3個月各種牌號彩電市場占有率變化情

29、況；,2） 假定該市場彩電銷售量為4.7萬臺，預(yù)測未來三個月各牌號彩電的銷售量； 3）分析各牌號彩電市場占有率變化的平衡狀態(tài)； 4）假定生產(chǎn)甲牌彩電的企業(yè)采取某種經(jīng)營策略（例如廣告宣傳等），竭力保持了原有顧客愛好不向其它牌號轉(zhuǎn)移，其余不變。分析彩電市場占有率的平衡狀態(tài)。,4. 某高校教師隊伍可分為助教、講師、副教授、教授、流失及退休五個狀態(tài)。1998年有助教150人，講師280人，副教授130人，教授80人。據(jù)歷史資料，可得各類職稱轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：,5. 例7中試對無限時間期望折扣總報酬準(zhǔn)則討論三個策略的優(yōu)劣。假定,6. 在具報酬的馬爾可夫鏈中，如果對有限階段也考慮折扣，試給出有限時間段期望折扣總報酬的定義及其遞推公式。,