《（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復數(shù) 第25講 解三角形練習 文（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復數(shù) 第25講 解三角形練習 文（含解析）新人教A版（6頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第25講　解三角形 夯實基礎　【p59】 【學習目標】 掌握正、余弦定理，能利用這兩個定理解斜三角形，進行有關計算． 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，a＝3，b＝5，c＝7，那么cos C的值是(　　) A. B．－ C. D. 【解析】由余弦定理可得cos C＝＝＝－. 故選B. 【答案】B 2．已知銳角△ABC的面積為3，BC＝4，CA＝3，則角C的大小為(　　) A．75° B．60° C．45° D．30° 【解析】S＝BC·CAsin C＝×4×3sin C＝3，解得

2、sin C＝， 又因為△ABC為銳角三角形，C∈，所以C＝60°， 故選B. 【答案】B 3．如圖，在200 m高的山頂A上，測得山下一塔頂B與塔底C的俯角分別是30°，60°，則塔高CB為(　　) A. m B. m C. m D. m 【解析】如圖所示，設塔高CB為x，則山高AO＝200，且AOCD為矩形， 所以tan 30°＝＝＝， ∴AD＝(200－x)， 所以tan 60°＝＝＝， ∴AD＝， 由＝(200－x)得x＝(米)． 故選A. 【答案】A 4．設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2s

3、in B，則c＝________． 【解析】由3sin A＝2sin B，得3a＝2b，即b＝a＝3.在△ABC中，由余弦定理cos C＝，得－＝，解得c＝4. 【答案】4 【知識要點】 1．正弦定理及變式 (1)＝____＝____＝__2R__． (2)a＝__2Rsin__A__，b＝__2Rsin__B__，c＝__2Rsin__C__． (3)sin A＝____，sin B＝____，sin C＝____． (4)sin A∶sin B∶sin C＝__a∶b∶c__． 2．余弦定理及變式 a2＝__b2＋c2－2bccos__A__． b2＝__a2＋c2－

4、2accos__B__． c2＝__b2＋a2－2bacos__C__． cos A＝____． cos B＝____． cos C＝____． 3．三角形的面積公式 S＝absin C＝__acsin__B__＝__bcsin__A__． 4．(1)仰角和俯角 與目標線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線__上方__叫仰角，目標視線在水平視線__下方__叫俯角(如圖①)． (2)方向角 相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等． (3)方位角 指從__正北__方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．

5、 5．應用解三角形知識解決實際問題的解題步驟 (1)根據題意畫出示意圖；　　(2)確定實際問題所涉及的三角形，并搞清該三角形的已知元和未知元； (3)選用正、余弦定理進行求解，并注意運算的正確性； (4)給出答案． 6．從理論上講正弦定理可解決兩類問題 (1)已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和一角； (2)已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他兩個角，這時三角形解的情況比較復雜，可能無解，可能一解或兩解． 例如：已知a，b和A，用正弦定理求B時的各種情況. A為銳角 A為鈍角 或直角 圖形 關系

6、 式 ab a≤b 解的 個數(shù) 無解 一解 兩解 一解 一解 無解 典 例 剖 析　【p60】 考點1　三角形解的個數(shù) (1)已知在△ABC中，b＝2，c＝2，C＝30°，那么解此三角形可得(　　) A．一解 B．兩解 C．無解 D．解的個數(shù)不確定 【解析】∵＝，∴sin B＝＝＝， ∵b>c，∴B＝60°或120°，故解此三角形可得兩解． 【答案】B (2)在△ABC中，若b＝2，a＝2，且三角形有解，則A

7、的取值范圍是________． 【解析】由正弦定理＝得sin A＝sin B＝sin B. 由B∈(0，π)且a

8、，只有一解． 考點2　三角形中的計算問題 在斜三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c. (1)若2sin Acos C＝sin B，求的值； (2)若sin(2A＋B)＝3sin B，求的值． 【解析】 (1)由正弦定理得＝. 從而2sin Acos C＝sin B可化為2acos C＝b. 由余弦定理得2a×＝b. 整理得a＝c，即＝1. (2)在斜三角形ABC中，A＋B＋C＝π， 所以sin(2A＋B)＝3sin B可化為 sin[π＋(A－C)]＝3sin[π－(A＋C)]， 即－sin(A－C)＝3sin(A＋C)． 故－sin Acos C＋co

9、s Asin C＝3(sin Acos C＋cos Asin C)． 整理得4sin Acos C＝－2cos Asin C， 因為△ABC是斜三角形，所以cos Acos C≠0， 所以＝－. 【小結】1.正弦定理是一個連比等式，題設條件中含有比值或者角的正弦形式時，可考慮正弦定理． 2．余弦定理是含a2，b2，c2的等式，題設條件中含有a2，b2，c2或者角的余弦形式時，可考慮余弦定理． 考點3　和三角形面積有關的問題 在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知tan A＝，c＝. (1)求的值； (2)若三角形△ABC的面積為，求角C. 【解析】(1)

10、由題意知，tan A＝ ， 則 ＝，即有 sin A－sin Acos C＝cos Asin C， 所以 sin A＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin＝sin B， 由正弦定理a＝b，則＝1. (2)因為三角形△ABC的面積為，a＝b，c＝， 所以 S＝absin C＝a2sin C＝，則 a2sin C＝ ，① 由余弦定理得，cos C＝＝，② 由①②得，cos C＋sin C＝1，則 2sin＝1， sin＝， 又0＜C＜π，則

11、角就使用哪一個公式． (2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化． 【能力提升】 在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝csin B＋bcos C. (1)求A＋C的值； (2)若b＝，求△ABC面積的最大值． 【解析】(1)由正弦定理，得sin A＝sin Csin B＋sin Bcos C， 又sin A＝sin [π－(B＋C)]＝sin(B＋C) ＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 所以cos Bsin C＝sin Csin B. 又因為C∈(0，π)，所以sin C≠0， 所以cos B＝sin B，所

12、以tan B＝1. 又B∈(0，π)，所以B＝，所以A＋C＝π. (2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 所以2＝a2＋c2－ac， 所以2＋ac＝a2＋c2≥2ac，當且僅當a＝c時，等號成立， 即ac≤＝2＋， 所以S△ABC＝acsin B＝ac≤， 所以△ABC面積的最大值為. 方 法 總 結　【p61】 1．應熟練掌握和運用內角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互補和互余的情況，結合誘導公式可以減少角的種數(shù)． 2．解題中要靈活使用正弦定理、余弦定理進行邊、角的互化，一般要只含角或只含邊． 3．利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題： (1

13、)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角； (2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角)． 4．由正弦定理容易得到：在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即A＞B?a＞b?sin A＞sin B. 5．已知三角形兩邊及其一邊的對角解三角形時，利用正弦定理，但要注意判斷三角形解的情況(存在兩解、一解和無解三種可能)． 6．利用余弦定理，可以解決以下三類有關三角形的問題： (1)已知三邊，求三個角； (2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他角； (3)已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊和角． 走 進 高 考　　【

14、p61】 1．(2018·全國卷Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝(　　) A．4 B. C. D．2 【解析】因為cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－， 所以AB2＝BC2＋AC2－2BC×ACcos C＝1＋25－2×1×5×＝32， 所以AB＝4，選A. 【答案】A 2．(2018·全國卷Ⅲ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，則C＝(　　) A. B. C. D. 【解析】S＝＝absin C?a2＋b2－c2＝2ab·sin C?＝sin C，∴cos C＝sin C，∴C＝. 【答案】C - 6 -