《（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)考點 自主練透 第4講 計數(shù)原理與二項式定理練習(xí)（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)考點 自主練透 第4講 計數(shù)原理與二項式定理練習(xí)（含解析）（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4講計數(shù)原理與二項式定理兩個計數(shù)原理考法全練1甲、乙兩人都計劃在國慶節(jié)的七天假期中，到東亞文化之都泉州“二日游”，若他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有()A16種B18種C20種D24種解析：選C.任意相鄰兩天組合在一起，一共有6種情況：，.若甲選或，則乙各有4種選擇，若甲選或或或，則乙各有3種選擇，故他們不同一天出現(xiàn)在泉州的出游方案共有244320(種)2如果一個三位正整數(shù)“a1a2a3”滿足a1a2且a3a2，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為()A240B204C729D920解析：選A.分8類，當(dāng)中間數(shù)為2時，有122(個)；當(dāng)中間

2、數(shù)為3時，有236(個)；當(dāng)中間數(shù)為4時，有3412(個)；當(dāng)中間數(shù)為5時，有4520(個)；當(dāng)中間數(shù)為6時，有5630(個)；當(dāng)中間數(shù)為7時，有6742(個)；當(dāng)中間數(shù)為8時，有7856(個)；當(dāng)中間數(shù)為9時，有8972(個)故共有26122030425672240(個)3某社區(qū)新建了一個休閑小公園，幾條小徑將公園分成5塊區(qū)域，如圖社區(qū)準備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各塊區(qū)域，要求每個區(qū)域種植一種顏色的花卉，且相鄰區(qū)域(有公共邊的)所選花卉的顏色不能相同，則不同種植方法的種數(shù)為()A96B114C168D240解析：選C.先在a中種植，有4種不同方法，再在b中種植，有3種不同方法，

3、再在c中種植，若c與b同色，則d有3種不同方法，若c與b不同色，c有2種不同方法，d有2種不同方法，再在e中種植，有2種不同方法，所以共有4313243222168(種)，故選C.4用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字且大于3 000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有_個解析：當(dāng)千位上的數(shù)字為4時，滿足條件的四位數(shù)有A24(個)；當(dāng)千位上的數(shù)字為3時，滿足條件的四位數(shù)有A24(個)由分類加法計數(shù)原理得所有滿足條件的四位數(shù)共有242448(個)答案：485將3張不同的奧運會門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是_解析：按分步來完成此事第1張有10種分法，第2張有9種分法，第3張有8種

4、分法，故共有1098720種分法答案：7206在學(xué)校舉行的田徑運動會上，8名男運動員參加100米決賽，其中甲、乙、丙三人必須在1，2，3，4，5，6，7，8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有_種解析：分兩步安排這8名運動員第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四條跑道可安排，所以安排方式有43224(種)；第二步，安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一條奇數(shù)號跑道上安排，所以安排方式有54321120(種)所以安排這8名運動員的方式共有241202 880(種)答案：2 880應(yīng)用兩個計數(shù)原理解題的方法(1)在應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時，一般先分

5、類再分步，每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計數(shù)原理(2)對于復(fù)雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化 排列、組合的應(yīng)用考法全練1(2019長春市質(zhì)量監(jiān)測(一)要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到A、B、C三個班級中，要求每個班級至少分到一人，則甲被分到A班的分法種數(shù)為()A6B12C24D36解析：選B.由題意可知，可以分兩類，第一類，甲與另一人一同被分到A班，分法有CA6(種)；第二類，甲單獨被分到A班，分法有CA6(種)所以共有12種，故選B.2(一題多解)(2019安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負責(zé)人座談，其中甲企業(yè)有2人到會，其余5家企業(yè)各有

6、1人到會，會上有3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為()A15B30C35D42解析：選B.法一：甲企業(yè)有2人，其余5家企業(yè)各有1人，共有7人，所以從7人中任選3人共有C種情況，發(fā)言的3人來自2家企業(yè)的情況有CC種，所以發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況共有CCC30(種)，故選B.法二：發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)且含甲企業(yè)的人的情況有CC20(種)；發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)且不含甲企業(yè)的人的情況有C10(種)，所以發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況共有201030(種)，故選B.3(2019合肥市第二次質(zhì)量檢測)某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行A，B，C，D，E，F(xiàn)六項

7、不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必須排在前三項執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E，任務(wù)B，C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有()A36種B44種C48種D54種解析：選B.由題意知任務(wù)A，E必須相鄰，且只能安排為AE，由此分三類完成，(1)當(dāng)AE排第一、二位置時，用表示其他任務(wù)，則順序為AE，余下四項任務(wù)，先全排D，F(xiàn)兩項任務(wù)，然后將任務(wù)B，C插入D，F(xiàn)兩項任務(wù)形成的三個空隙中，有AA種方法(2)當(dāng)AE排第二、三位置時，順序為AE，余下四項任務(wù)又分為兩類：B，C兩項任務(wù)中一項排在第一位置，剩余三項任務(wù)排在后三個位置，有AA種方法；D，F(xiàn)兩項任務(wù)中一項排第一位置，剩余三項任務(wù)排在后三個位置，且任務(wù)B

8、，C不相鄰，有AA種方法(3)當(dāng)AE排第三、四位置時，順序為AE，第一、二位置必須分別排來自B，C和D，F(xiàn)中的一個，余下兩項任務(wù)排在后兩個位置，有CCAA種方法根據(jù)分類加法計數(shù)原理知不同的執(zhí)行方案共有AAAAAACCAA44(種)，故選B.4用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，可以組成_個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，也可以組成_個能被5整除且無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)解析：第一個空：第一步，先確定三位數(shù)的最高數(shù)位上的數(shù)，有C5種方法；第二步，確定另外兩個數(shù)位上的數(shù)，有A5420種方法，所以可以組成520100個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；第二個空：被5整除且無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個位上的數(shù)有2種情況：當(dāng)個位上的數(shù)字是0

9、時，其他數(shù)位上的數(shù)有A5432120個；當(dāng)個位上的數(shù)字是5時，先確定最高數(shù)位上的數(shù)，有C4種方法，而后確定其他三個數(shù)位上的數(shù)有A43224種方法，所以共有24496個數(shù)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有12096216個數(shù)答案：1002165(一題多解)(2019長沙市統(tǒng)一模擬考試)為培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)，某校準備在高二年級開設(shè)A，B，C，D，E，F(xiàn)，共6門選修課程，學(xué)校規(guī)定每個學(xué)生必須從這6門課程中選3門，且A，B兩門課程至少要選1門，則學(xué)生甲共有_種不同的選法解析：通解：根據(jù)題意，可分三類完成：(1)選A課程不選B課程，有C種不同的選法；(2)選B課程不選A課程，有C種不同的選法；(3)同時選A和B

10、課程，有C種不同的選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，得CCC66416(種)，故學(xué)生甲共有16種不同的選法優(yōu)解：從6門課程中選3門不同選法有C種，而A和B兩門課程都不選的選法有C種，則學(xué)生甲不同的選法共有CC20416(種)答案：166(2019鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)中國詩詞大會(第三季)亮點頗多，在“人生自有詩意”的主題下，十場比賽每場都有一首特別設(shè)計的開場詩詞在聲光舞美的配合下，百人團齊聲朗誦，別有韻味若沁園春長沙蜀道難敕勒歌游子吟關(guān)山月清平樂六盤山排在后六場，且蜀道難排在游子吟的前面，沁園春長沙與清平樂六盤山不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有_種(用數(shù)字作答)解析：分兩步完成：(1)蜀道難敕

11、勒歌游子吟關(guān)山月進行全排有A種，若蜀道難排在游子吟的前面，則有A種；(2)沁園春長沙與清平樂六盤山插入已經(jīng)排列好的四首詩詞形成的前4個空位(不含最后一個空位)中，插入法有A種由分步乘法計數(shù)原理，知滿足條件的排法有AA144(種)答案：144排列、組合應(yīng)用問題的8種常見解法(1)特殊元素(特殊位置)優(yōu)先安排法(2)相鄰問題捆綁法(3)不相鄰問題插空法 (4)定序問題縮倍法(5)多排問題一排法(6)“小集團”問題先整體后局部法(7)構(gòu)造模型法(8)正難則反，等價轉(zhuǎn)化法二項式定理考法全練1.的展開式中x4的系數(shù)為()A10B20C40D80 解析：選C.Tr1C(x2)5rC2rx103r，由103

12、r4，得r2，所以x4的系數(shù)為C2240.2(2019四省八校雙教研聯(lián)考)二項式(1xx2)(1x)10展開式中x4的系數(shù)為()A120B135C140D100解析：選B.(1x)10的展開式的通項Tr1C(x)r(1)rCxr，分別令r4，r3，r2，可得展開式中x4的系數(shù)為(1)4C(1)3C(1)2C135，故選B.3(x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A10B20C30D60解析：選C.(x2xy)5(x2x)y5，含y2的項為T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的項為Cx4xCx5.所以x5y2的系數(shù)為CC30.故選C.4若(3x1)5a0a1xa2x2a5x5

13、，則a12a23a34a45a5()A80B120C180D240解析：選D.由(3x1)5a0a1xa2x2a5x5兩邊求導(dǎo)，可得15(3x1)4a12a2x3a3x25a5x4，令x1得，15(31)4a12a23a35a5，即a12a23a34a45a5240，故選D.5已知二項式的展開式中，第5項是常數(shù)項，則n_，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是_解析：二項式展開式的通項為Tr1C(2x)nr2nrCxnr，因為第5項是常數(shù)項，所以n40，即n6.當(dāng)r3時，二項式系數(shù)C最大，故二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是263C160.答案：61606(2019廣州市調(diào)研測試)已知(2x)4a0a1xa2x2

14、a3x3a4x4，則(a0a2a4)2(a1a3)2_解析：因為(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，所以取x1得(2)4(a0a2a4)(a1a3)；取x1得(2)4(a0a2a4)(a1a3).相乘得(a0a2a4)2(a1a3)2(2)4(2)4()222416.答案：16對于“多項式乘二項式”型的二項式問題，通用的解法是系數(shù)配對法，即將多項式中的每一項xk的系數(shù)與后面二項式展開式中xrk的系數(shù)相乘，然后把所有這些滿足條件的情況相加，即得到xr項的系數(shù)提醒關(guān)注2個常失分點：(1)混淆“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”概念，項的系數(shù)與a，b有關(guān)，可正可負，二項式系數(shù)只與n有關(guān)，恒為正(2

15、)注意“常數(shù)項”“有理項”“系數(shù)最大的項”等概念 一、選擇題1在某夏令營活動中，教官給6位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務(wù)已知：食物投擲地點有遠、近兩處；由于Grace年齡尚小，所以要么不參與該項任務(wù)，但此時另需一位小孩在大本營陪同，要么參與搜尋近處投擲點的食物；所有參與搜尋任務(wù)的小孩須被均分成兩組，一組去遠處，一組去近處那么不同的搜尋方案有()A10種B40種C70種D80種解析：選B.若Grace不參與任務(wù)，則需要從剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C種挑法，再從剩下的4位小孩中挑出2位搜尋遠處，有C種挑法，最后剩下的2位小孩搜尋近處，因此一共有CC30種搜尋方案；若Grace參加任務(wù)

16、，則其只能去近處，需要從剩下的5位小孩中挑出2位搜尋近處，有C種挑法，剩下3位小孩去搜尋遠處，因此共有C10種搜尋方案綜上，一共有301040種搜尋方案，故選B.2(2019合肥市第一次質(zhì)量檢測)若的展開式的常數(shù)項為60，則a的值為()A4B4C2D2解析：選D.的展開式的通項為Tr1C(ax)6r(1)ra6rCx6r，令6r0，得r4，則(1)4a2C60，解得a2，故選D.3(2019重慶市七校聯(lián)合考試)(1x)6展開式中x2的系數(shù)為()A15B20C30D35解析：選C.由多項式乘法知，若求(1x)6展開式中x2的系數(shù)，只需求(1x)6展開式中x2和x4的系數(shù)(1x)6展開式中含x2和

17、x4的項分別是Cx215x2和Cx415x4，所以(1x)6展開式中x2的系數(shù)是30.故選C.4若4個人按原來站的位置重新站成一排，恰有1個人站在自己原來的位置，則不同的站法共有()A4種B8種C12種D24種解析：選B.將4個人重排，恰有1個人站在自己原來的位置，有C種站法，剩下3人不站原來位置有2種站法，所以共有C28種站法，故選B.5設(shè)(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10，則a1等于()A80B80C160D240解析：選D.因為(x23x2)5(x1)5(x2)5，所以二項展開式中含x項的系數(shù)為C(1)4C(2)5C(1)5C(2)416080240，故選D.6(2019廣州

18、市綜合檢測(一)(2x3)(xa)5的展開式的各項系數(shù)和為32，則該展開式中x4的系數(shù)是()A5B10C15D20解析：選A.在(2x3)(xa)5中，令x1，得展開式的各項系數(shù)和為(1a)532，解得a1，故(x1)5的展開式的通項Tr1Cx5r.當(dāng)r1時，得T2Cx45x4，當(dāng)r4時，得T5Cx5x，故(2x3)(x1)5的展開式中x4的系數(shù)為2555，選A.7(2019柳州模擬)從1，2，3，10中選取三個不同的數(shù)，使得其中至少有兩個數(shù)相鄰，則不同的選法種數(shù)是()A72B70C66D64解析：選D.從1，2，3，10中選取三個不同的數(shù)，恰好有兩個數(shù)相鄰，共有CCCC56種選法，三個數(shù)相鄰

19、共有C8種選法，故至少有兩個數(shù)相鄰共有56864種選法，故選D.8(2019洛陽尖子生第二次聯(lián)考)某校從甲、乙、丙等8名教師中選派4名同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1名教師)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，則不同的選派方案有()A900種B600種C300種D150種解析：選B.第一類，甲去，則丙一定去，乙一定不去，再從剩余的5名教師中選2名，不同的選派方案有CA240(種)；第二類，甲不去，則丙一定不去，乙可能去也可能不去，從乙和剩余的5名教師中選4名，不同的選派方案有CA360(種)所以不同的選派方案共有240360600(種)故選B.9已知(x2)9a0a1xa2x2a9x9，則

20、(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2的值為()A39B310C311D312解析：選D.對(x2)9a0a1xa2x2a9x9兩邊同時求導(dǎo)，得9(x2)8a12a2x3a3x28a8x79a9x8，令x1，得a12a23a38a89a9310，令x1，得a12a23a38a89a932.所以(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2(a12a23a38a89a9)(a12a23a38a89a9)312，故選D.10(一題多解)某校畢業(yè)典禮上有6個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校

21、畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有()A120種B156種C188種D240種解析：選A.法一：記演出順序為16號，對丙、丁的排序進行分類，丙、丁占1和2號，2和3號，3和4號，4和5號，5和6號，其排法分別為AA，AA，CAA，CAA，CAA，故總編排方案有AAAACAACAACAA120(種)法二：記演出順序為16號，按甲的編排進行分類，當(dāng)甲在1號位置時，丙、丁相鄰的情況有4種，則有CAA48(種)；當(dāng)甲在2號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA36(種)；當(dāng)甲在3號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA36(種)所以編排方案共有483636120(種)11(多選)若二項式展開式

22、中的常數(shù)項為15，則實數(shù)m的值可能為()A1B1C2D2解析：選AB.二項式展開式的通項Tr1Cx6rCx6rmr.令6r0，得r4，常數(shù)項為Cm415，則m41，得m1.故選AB.12(多選)已知(3x1)na0a1xa2x2anxn(nN*)，設(shè)(3x1)n的展開式的二項式系數(shù)之和為Sn，Tna1a2an(nN*)，則()Aa01BTn2n(1)nCn為奇數(shù)時，SnTn；n為偶數(shù)時，SnTnDSnTn解析：選BC.由題意知Sn2n，令x0，得a0(1)n，令x1，得a0a1a2an2n，所以Tn2n(1)n，故選BC.13(多選)(2019山東日照期末)把四個不同的小球放入三個分別標有1號

23、、2號、3號的盒子中，不允許有空盒子的放法有()ACCCC種BCA種CCCA種D18種解析：選BC.根據(jù)題意，四個不同的小球放入三個分別標有1號、2號、3號的盒子中，且沒有空盒，三個盒子中有1個盒子中放2個球，剩下的2個盒子中各放1個球，則分兩步進行分析：法一：先將四個不同的小球分成3組，有C種分組方法；將分好的3組全排列，對應(yīng)放到3個盒子中，有A種放法則不允許有空盒子的放法有CA36種法二：在4個小球中任選2個，在3個盒子中任選1個，將選出的2個小球放入選出的盒子中，有CC種情況；將剩下的2個小球全排列，放入剩下的2個盒子中，有A種放法，則不允許有空盒的放法有CCA36種，故選BC.二、填空

24、題14在的展開式中，x3的系數(shù)是_解析：的展開式的通項Tr1C(4)5r，r0，1，2，3，4，5，的展開式的通項Tk1Cxrk4kCxr2k，k0，1，r.令r2k3，當(dāng)k0時，r3；當(dāng)k1時，r5.所以x3的系數(shù)為40C(4)53C4C(4)0C180.答案：18015(2019福州市質(zhì)量檢測)(1ax)2(1x)5的展開式中，所有x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為64，則正實數(shù)a的值為_解析：設(shè)(1ax)2(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7，令x1得0a0a1a2a3a4a5a6a7，令x1得(1a)225a0a1a2a3a4a5a6a7，得：(1a)2252(a

25、1a3a5a7)，又a1a3a5a764，所以(1a)225128，解得a3或a1(舍)答案：316(2019湖南郴州一模改編)若的展開式中各項系數(shù)之和為256，則n的值為_，展開式中的系數(shù)是_解析：令x1，可得的展開式中各項系數(shù)之和為2n256，所以n8，所以，它的展開式的通項公式Tr1C(1)r38rx8r.令82，可得r6，則展開式中的系數(shù)為C32252.答案：825217(一題多解)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為_解析：法一：從16張不同的卡片中任取3張，不同取法的種數(shù)為C，其中有2張紅色卡片的不同取法的種數(shù)為CC，其中3張卡片顏色相同的不同取法的種數(shù)為CC，所以3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張的不同取法的種數(shù)為CCCCC472.法二：若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三種顏色的卡片中選3張，若都不同色，則不同取法的種數(shù)為CCC64，若2張顏色相同，則不同取法的種數(shù)為CCCC144.若紅色卡片有1張，則剩余2張不同色時，不同取法的種數(shù)為CCCC192，剩余2張同色時，不同取法的種數(shù)為CCC72，所以不同的取法共有6414419272472(種)答案：472 - 11 -