《（山東專用）2020年高考數(shù)學一輪復習 專題21 兩角和與差的正、余弦和正切公式（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（山東專用）2020年高考數(shù)學一輪復習 專題21 兩角和與差的正、余弦和正切公式（含解析）（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、專題21 兩角和與差的正、余弦和正切公式一、【知識精講】1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_.cos()cos_cos_sin_sin_.tan().2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3.函數(shù)f()asin bcos (a，b為常數(shù))，可以化為f()sin()或f()cos().微點提醒1.tan tan tan()(1tan tan ).2.cos2，sin2.3.1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.

2、二、【典例精練】考點一三角函數(shù)式的化簡【例1】 (1)化簡：sin()cos()cos()sin()_.(2)化簡：(0)_.【答案】(1)sin()(2)cos 【解析】(1)sin()cos()cos()sin()sin()cos ()cos()sin()sin()()sin().(2)原式.因為0，所以00，所以原式cos .【解法小結】1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，正確使用公式；二看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；三看結構特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升冪”等.2.化簡三角

3、函數(shù)式的常見方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪與升冪等.考點二三角函數(shù)式的求值角度1給角(值)求值【例21】 (1) 已知角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P.若角滿足sin()，則cos 的值為_【答案】或【解析】由角的終邊過點P，得sin ，cos .由sin()，得cos().由()，得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .(2)(2018江蘇卷)已知，為銳角，tan ，cos().求cos 2的值；求tan()的值.【解析】因為tan ，tan ，所以sin cos .因為sin2cos21，所以cos2，因此，cos

4、 22cos21.因為，為銳角，所以(0，).又因為cos()，所以sin()，因此tan()2.因為tan ，所以tan 2，因此，tan()tan2().角度2給值求角例2-2（1）已知，為銳角，cos ，且sin()，則角_.(2)若sin 2，則sin 2()A.B.C.D.【答案】（1），（2）【解析】 (1)為銳角，且cos ，sin .，0.又sin()，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .(2)由題意知sin 2，2(cos sin )sin 2，則4(1sin 2)3sin22，因此sin 2或sin 22(舍).【解法小結】1.“給角求值”、

5、“給值求值”問題求解的關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉化方法.2.“給值求角”：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.遵照以下原則：(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；(2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好.考點三三角恒等變換的簡單應用例3.(2017北京卷)已知函數(shù)f(x)cos2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求證：當x時，f(x).【解析】(1)f(x)cos2sin xcos xcos 2xsin 2x

6、sin 2xsin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T.(2)證明由(1)知f(x)sin .x，2x，當2x，即x時，f(x)取得最小值.f(x)成立.【解法小結】1.進行三角恒等變換要抓住：變角、變函數(shù)名稱、變結構，尤其是角之間的關系；注意公式的逆用和變形使用.2.把形如yasin xbcos x化為ysin(x)，可進一步研究函數(shù)的周期、單調性、最值與對稱性.【思維升華】1.重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”.(1)變角：對角的分拆要盡可能化成同角、特殊角；(2)變名：盡可能減少函數(shù)名稱；(3)變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.

7、2.在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當?shù)娜枪胶愕茸冃?【易錯注意點】1.運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對性，要注意升冪、降冪的靈活運用，要注意“1”的各種變通.2.在(0，)范圍內，sin 所對應的角不是唯一的.3.在三角求值時，往往要借助角的范圍確定三角函數(shù)值的符號或所求角的三角函數(shù)的名稱.三、【名校新題】1.(2019南昌一模)已知角的終邊經過點P(sin 47，cos 47)，則sin(13)()A.B.C.D.【答案】A【解析】由三角函數(shù)定義，sin cos 47，cos sin 47，

8、則sin(13)sin cos 13cos sin 13cos 47cos 13sin 47sin 13cos(4713)cos 60.2.(2019合肥模擬)tan 70cos 10(tan 201)等于()A.1 B.2 C.1 D.2【答案】C【解析】 tan 70cos 10(tan 201)cos 101.3.(2019廣東省際名校聯(lián)考)若cos，則cos()A.B.C.D.【答案】D【解析】cos，cossinsin，cos12sin2.4.(2019信陽一模)函數(shù)f(x)3sin cos 4cos2(xR)的最大值等于()A.5 B.C.D.2【答案】【解析】由題意知f(x)si

9、n x4sin x2cos x2sin(x)2，又因為xR，所以f(x)的最大值為.5.(2019濟南模擬)若sin，A，則sin A的值為()A.B.C.或D.【答案】B【解析】A，A，cos0，且cos，sin Asinsincos cossin .6.(2019江西八所重點中學聯(lián)考)若點(，0)是函數(shù)f(x)sin x2cos x圖象的一個對稱中心，則cos 2sin cos()A.B.C.1 D.1【答案】D【解析】點(，0)是函數(shù)f(x)sin x2cos x圖象的一個對稱中心，sin 2cos 0，即tan 2.cos 2sin cos 1.7. (2019河北百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知是

10、第四象限角，且sin，則tan()A.B.C.D.【答案】B【解析】法一sin(sin cos )，sin cos ，2sin cos .是第四象限角，sin 0，sin cos ，由得sin ，cos ，tan ，tan.法二，sincos，又2k2k(kZ)，2k2k(kZ)，cos，sin，tan，tantan.8.(2018濟南一模)若sin，A，則sin A的值為()A. B.C.或 D.【答案】B【解析】A，A，cos ，sin Asinsincoscossin.9.(2019屆江西九江高三第一次十校聯(lián)考)已知cos-12=35,計算sin53-2的值為()A.-725B.725C

11、.2425D.-2425【答案】B【解析】由已知可得cos2-6=2cos2-12=-725,sin53-2=sin32-2-6=-cos2-6=725.10.(2019屆廣東深圳實驗,珠海一中等六校第一次聯(lián)考)已知A是函數(shù)f(x)=sin2018x+6+cos2018x-3的最大值,若存在實數(shù)x1,x2對任意實數(shù)x總有f(x1)f(x)f(x2)成立,則A|x1-x2|的最小值為()A.2018B.1009C.21009D.4036【答案】B【解析】f(x)=sin2018x+6+cos2018x-3=3sin2018x,最小正周期T=1009，即為所求。11. (2019河南六市聯(lián)考)已知

12、cos ，cos()，若0，則_.【答案】.【解析】由cos ，0，得sin .由0，得0，又cos()，sin().由()得cos cos()cos cos()sin sin().，.12.(2019湘東五校聯(lián)考)已知sin()，sin()，則_.【答案】5【解析】因為sin()，sin()，所以sin cos cos sin ，sin cos cos sin ，所以sin cos ，cos sin ，所以5.13.(2019廣東五校聯(lián)考)若tan4cos(2)，|，則tan 2_.【答案】【解析】tan4cos(2)，4cos ，又|，sin ，0，cos ，tan ，從而tan 2.14

13、.(2018河北、河南兩省重點中學4月聯(lián)考,8)已知atan +b=(a-btan )tan ,且+6與的終邊相同,則ba的值為()A.23B.33C.223D.34【答案】B【解析】由已知可得：atan-tan=-btantan+1,因為-=2k-6,kZ,tan-=tan-tantantan+1=-33,ba=-tan-=33.15. (2019鄭州模擬)設函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x的圖象關于直線x對稱，其中，為常數(shù)，且.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的圖象經過點，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最值.【解析】(1)f(x)sin2x2sin xc

14、os xcos2xsin 2xcos 2x2sin.因為圖象關于直線x對稱，所以2k(kZ)，所以(kZ)，又，令k1時，符合要求，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為.(2)因為f0，所以2sin0，則.所以f(x)2sin.由0x，知x，當x，即x0時，f(x)取最小值1.當x，即x時，f(x)取最大值216.(2019石家莊質檢)已知函數(shù)f(x)sin，xR.(1)求f的值；(2)若cos ，求f的值【解析】(1)fsinsin.(2)fsinsin(sin 2cos 2)因為cos ，所以sin ，所以sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2，所以f(sin 2cos 2)1

15、7.(2018山東桓臺第二中學4月月考)已知函數(shù)f(x)=a+2cos2x2cos(x+)為奇函數(shù),且f2=0,其中aR,(0,).(1)求a,的值;(2)若2, f2+8+25cos+4cos 2=0,求cos -sin 的值.【解析】(1)因為f(x)=a+2cos2x2cos(x+)是奇函數(shù),所以a+2cos2x2cos(x+)=-a+2cos2x2cos(-x+),化簡、整理得,cos xcos =0,則有cos =0,由(0,),得=2,所以f(x)=-sin xa+2cos2x2.由f2=0,得-(a+1)=0,即a=-1.(2)由(1)知f(x)=-12sin 2x,f2+8+25cos+4cos 2=0sin+4=45cos+4cos 2,因為cos 2=sin2+2=sin2+4=2sin+4cos+4,所以sin+4=85cos2+4sin+4.又2,所以sin+4=0或cos2+4=58.由sin+4=0=34,所以cos -sin =cos34-sin34=-2;由cos2+4=58,34+454,得cos+4=-52212(cos -sin )=-522cos -sin =-52.綜上,cos -sin =-2或cos -sin =-52.12