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1、單元質(zhì)檢六 數(shù)列(A)
(時(shí)間:45分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)
1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a6=15,S9=99,則等差數(shù)列{an}的公差是( )
A.14 B.4 C.-4 D.-3
答案B
解析∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a6=15,S9=99,
∴a1+a9=22,∴2a5=22,a5=11.
∴公差d=a6-a5=4.
2.已知公比為32的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),且a3a11=16,則log2a16=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案B
2、解析由等比中項(xiàng)的性質(zhì),得a3a11=a72=16.
因?yàn)閿?shù)列{an}各項(xiàng)都是正數(shù),所以a7=4.
所以a16=a7q9=32.所以log2a16=5.
3.在等差數(shù)列{an}中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中項(xiàng),則數(shù)列{an}的前5項(xiàng)的和為( )
A.15 B.20 C.25 D.15或25
答案A
解析設(shè){an}的公差為d.
∵在等差數(shù)列{an}中,a4=5,a3是a2和a6的等比中項(xiàng),
∴a1+3d=5,(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得a1=-1,d=2,
∴S5=5a1+5×42d=5×(-1)+5×4=15.故選A.
4.已知等差數(shù)列{a
3、n}和等比數(shù)列{bn}滿足3a1-a82+3a15=0,且a8=b10,則b3b17=( )
A.9 B.12 C.16 D.36
答案D
解析由3a1-a82+3a15=0,得a82=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,即a82-6a8=0.
因?yàn)閍8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,
所以b3b17=b102=36.
5.設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,則a1=( )
A.-2 B.-1 C.12 D.23
答案B
解析∵S2=3a2+2,S4=3a4+2,∴S4-S2=3(a4-a2)
4、,即a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q>0,
解得q=32,代入a1(1+q)=3a1q+2,解得a1=-1.
6.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x(1-x).若數(shù)列{an}滿足a1=12,且an+1=11-an,則f(a11)=( )
A.2 B.-2 C.6 D.-6
答案C
解析設(shè)x>0,則-x<0.
因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),
所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).
由a1=12,且an+1=11-an,
得a2=11-a1=11-12=2,
a3=11-a2=11-2=-1,
a4=11-
5、a3=11-(-1)=12,
……
所以數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列,
即a11=a3×3+2=a2=2.
所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2×(1+2)=6.
二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)
7.(2018福建莆田質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an-an+1=2anan+1,則a6= .?
答案111
解析由an-an+1=2anan+1,得1an+1-1an=2,
即數(shù)列1an是以1a1=1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.
所以1a6=1a1+5×2=11,即a6=111.
8.已知等比數(shù)列{an}滿足a2+8a5=0,設(shè)S
6、n是數(shù)列1an的前n項(xiàng)和,則S5S2= .?
答案-11
解析設(shè){an}的公比為q.由a2+8a5=0,得a1q+8a1q4=0,
解得q=-12.易知1an是等比數(shù)列,公比為-2,首項(xiàng)為1a1,
所以S2=1a1[1-(-2)2]1-(-2)=-1a1,S5=1a1[1-(-2)5]1-(-2)=11a1,
所以S5S2=-11.
三、解答題(本大題共3小題,共44分)
9.(14分)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解(1)設(shè){an}的公差為d,由題意得3a1+
7、3d=-15.
由a1=-7得d=2.
所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-9.
(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.
所以當(dāng)n=4時(shí),Sn取得最小值,最小值為-16.
10.(15分)已知數(shù)列{an}滿足an=6-9an-1(n∈N*,n≥2).
(1)求證:數(shù)列1an-3是等差數(shù)列;
(2)若a1=6,求數(shù)列{lg an}的前999項(xiàng)的和.
(1)證明∵1an-3-1an-1-3=an-13an-1-9-1an-1-3=an-1-33an-1-9=13(n≥2),∴數(shù)列1an-3是等差數(shù)列.
(2)解∵1an-3是等差數(shù)列,且1a1-3=13,d=13,
8、
∴1an-3=1a1-3+13(n-1)=n3.∴an=3(n+1)n.
∴l(xiāng)gan=lg(n+1)-lgn+lg3.
設(shè)數(shù)列{lgan}的前999項(xiàng)的和為S,
則S=999lg3+(lg2-lg1+lg3-lg2+…+lg1000-lg999)
=999lg3+lg1000=3+999lg3.
11.(15分)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1-an=3·22n-1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解(1)由已知,當(dāng)n≥1時(shí),
an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1
=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.
而a1=2,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=22n-1.
(2)由bn=nan=n·22n-1知
Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1.①
從而22·Sn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.②
①-②,得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,
即Sn=19[(3n-1)22n+1+2].
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