《（山東專用）2020年高考數(shù)學一輪復習 專題15 導數(shù)的應用（3）綜合應用（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（山東專用）2020年高考數(shù)學一輪復習 專題15 導數(shù)的應用（3）綜合應用（含解析）（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題15 導數(shù)的應用（3）綜合應用一、【知識精講】函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內可導，則：(1)若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內單調遞增；(2)若f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調遞增”的充分不必要條件.二、【典例精練】考點一構造函數(shù)證明不等式【例1】 已知函數(shù)f(x)1，g(x)xln x.(1)證明：g(x)1；(2)證明：(xln x)f(x)1.證明(1)由題意得g(x)(x0)，當0x1時，g(x)1時，g(x)0，即g(x)在(0，1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù).所以g(x)g(1)1，得證.(2)由f(x)1，得f(x)，所

2、以當0x2時，f(x)2時，f(x)0，即f(x)在(0，2)上是減函數(shù)，在(2，)上是增函數(shù)，所以f(x)f(2)1(當且僅當x2時取等號).又由(1)知xln x1(當且僅當x1時取等號)，且等號不同時取得，所以(xln x)f(x)1.【解法小結】1.證明不等式的基本方法：(1)利用單調性：若f(x)在a，b上是增函數(shù)，則xa，b，有f(a)f(x)f(b)，x1，x2a，b，且x1x2，有f(x1)f(x2).對于減函數(shù)有類似結論.(2)利用最值：若f(x)在某個范圍D內有最大值M(或最小值m)，則xD，有f(x)M(或f(x)m).2.證明f(x)g(x)，可構造函數(shù)F(x)f(x)

3、g(x)，證明F(x)g(x)max，則f(x)g(x)”證明不等式【例2】 已知函數(shù)f(x)xln xax.(1)當a1時，求函數(shù)f(x)在(0，)上的最值；(2)證明：對一切x(0，)，都有l(wèi)n x1成立.【解析】(1)解函數(shù)f(x)xln xax的定義域為(0，).當a1時，f(x)xln xx，f(x)ln x2.由f(x)0，得x.當x時，f(x)時，f(x)0.所以f(x)在上單調遞減，在上單調遞增.因此f(x)在x處取得最小值，即f(x)minf，但f(x)在(0，)上無最大值.(2)證明當x0時，ln x1等價于x(ln x1).由(1)知a1時，f(x)xln xx的最小值是

4、，當且僅當x時取等號.設G(x)，x(0，)，則G(x)，易知G(x)maxG(1)，當且僅當x1時取到，從而可知對一切x(0，)，都有f(x)G(x)，即ln x1.【解法小結】1.在證明不等式中，若無法轉化為一個函數(shù)的最值問題，則可考慮轉化為兩個函數(shù)的最值問題.2.在證明過程中，等價轉化是關鍵，此處f(x)ming(x)max恒成立.從而f(x)g(x)，但此處f(x)與g(x)取到最值的條件不是同一個“x的值”.考點三不等式恒成立或有解問題角度1不等式恒成立求參數(shù)【例31】 已知函數(shù)f(x)(x0).(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間上的單調性；(2)若f(x)a在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的最小

5、值.【解析】(1)f(x)，令g(x)xcos xsin x，x，則g(x)xsin x，顯然，當x時，g(x)xsin x0，即函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調遞減，且g(0)0.從而g(x)在區(qū)間上恒小于零，所以f(x)在區(qū)間上恒小于零，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調遞減.(2)不等式f(x)a，x恒成立，即sin xax0恒成立.令(x)sin xax，x，則(x)cos xa，且(0)0.當a1時，在區(qū)間上(x)0，即函數(shù)(x)單調遞減，所以(x)(0)0，故sin xax0恒成立.當0a0，故(x)在區(qū)間(0，x0)上單調遞增，且(0)0，從而(x)在區(qū)間(0，x0)上大于零，這與sin xa

6、x0，即函數(shù)(x)單調遞增，且(0)0，得sin xax0恒成立，這與sin xax0，所以a在區(qū)間1，e上有解.令h(x)，則h(x).因為x1，e，所以x222ln x，所以h(x)0，h(x)在1，e上單調遞增，所以x1，e時，h(x)maxh(e)，所以a，所以實數(shù)a的取值范圍是.【解法小結】1.含參數(shù)的能成立(存在型)問題的解題方法af(x)在xD上能成立，則af(x)min；af(x)在xD上能成立，則af(x)max.2.含全稱、存在量詞不等式能成立問題(1)存在x1A，任意x2B使f(x1)g(x2)成立，則f(x)maxg(x)max；(2)任意x1A，存在x2B，使f(x1

7、)g(x2)成立，則f(x)ming(x)min.考點四判斷零點的個數(shù)【例4】（2019全國卷）已知函數(shù)，為的導數(shù)證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點【解析】（1）設，則，.當時，單調遞減，而，可得在有唯一零點，設為.則當時，；當時，.所以在單調遞增，在單調遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點.（2）的定義域為.（i）當時，由（1）知，在單調遞增，而，所以當時，故在單調遞減，又，從而是在的唯一零點.（ii）當時，由（1）知，在單調遞增，在單調遞減，而，所以存在，使得，且當時，；當時，.故在單調遞增，在單調遞減.又，所以當時，.從而在沒有零點.（iii）當時，所

8、以在單調遞減.而，所以在有唯一零點.（iv）當時，所以0).(1)求f(x)的單調區(qū)間和極值；(2)若對任意x(0，)，f(x)恒成立，求實數(shù)m的最大值.【解析】(1)由f(x)xln x(x0)，得f(x)1ln x，令f(x)0，得x；令f(x)0，得0x0)，則g(x)，由g(x)0x1，由g(x)00x1.所以g(x)在(0，1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)，所以g(x)ming(1)4，因此m4，所以m的最大值是4.2.(2018東北三省四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ln xxm(m2，m為常數(shù)).(1)求函數(shù)f(x)在的最小值；(2)設x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個零點，且x1x2

9、，證明：x1x21.【解析】(1)解f(x)ln xxm(m0，所以yf(x)在(0，1)遞增；當x(1，)時，f(x)0，函數(shù)f(x)在的最小值為1em.(2)證明由(1)知x1，x2滿足ln xxm0，且0x11，ln x1x1mln x2x2m0，由題意可知ln x2x2m22，所以0x1，2)，則g(x)10，當x2時，g(x)是減函數(shù)，所以g(x)lnlnlnlnln 10，g(x)2時，f(x1)f0，即f(x1)f.因為0x1，1，f(x)在(0，)上單調遞增.所以x1，故x1x20，得x2.所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是(，1)，(2，).(2)由(1)知f(x)極大值f(1

10、)22，f(x)極小值f(2)242，由數(shù)形結合，可知要使函數(shù)g(x)f(x)2m3有三個零點，則2m3，解得m0在(0，)上恒成立，則f(x)在(0，)上單調遞增，又f(0)1，所以此時f(x)在(0，)內無零點，不滿足題意.當a0時，由f(x)0得x，由f(x)0得0x0，f(x)單調遞增，當x(0，1)時，f(x)0.f(x)minf(1)4a4，a1.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x22x3.(2)由(1)知g(x)4ln xx4ln x2，g(x)的定義域為(0，)，g(x)1，令g(x)0，得x11，x23.當x變化時，g(x)，g(x)的取值變化情況如下表：x(0，1)1(1，

11、3)3(3，)g(x)00g(x)極大值極小值當0x3時，g(x)g(1)43時，g(e5)e52022512290.又因為g(x)在(3，)上單調遞增，因而g(x)在(3，)上只有1個零點，故g(x)僅有1個零點.6.(2015山東)設函數(shù)，其中（）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；（）若，成立，求的取值范圍【解析】：（）由題意知函數(shù)的定義域為，令，（1）當時，此時，函數(shù)在單調遞增，無極值點；（2）當時，當時，函數(shù)在單調遞增，無極值點；當時，設方程的兩根為，因為，所以，由，可得，所以當時，函數(shù)單調遞增；當時，函數(shù)單調遞減；當時，函數(shù)單調遞增；因此函數(shù)有兩個極值點。（3）當時，由，可得，當時，

12、函數(shù)單調遞增；當時，函數(shù)單調遞減；所以函數(shù)有一個極值點。綜上所述：當時，函數(shù)有一個極值點；當時，函數(shù)無極值點；當時，函數(shù)有兩個極值點。（II）由（I）知，（1）當時，函數(shù)在上單調遞增，因為，所以時，符合題意；（2）當時，由，得，所以函數(shù)在上單調遞增，又，所以時，符合題意；（3）當時，由，可得，所以時，函數(shù)單調遞減；因為，所以時，不合題意；（4）當時，設，因為時，所以在上單調遞增。因此當時，即，可得，當時，此時，不合題意，綜上所述，的取值范圍是7.（2012山東）已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線與軸平行（）求的值；（）求的單調區(qū)間；（）設，其中是的導數(shù)證明：對任意的，【解析】（）由 = 可得，而，即，解得；（），令可得，當時，；當時，于是在區(qū)間內為增函數(shù)；在內為減函數(shù)。（）=因此對任意的，等價于設所以因此時，時，所以，故。設，則，即，對任意的，14