9、共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)
13．f(x)＝則使f(a)＝－1成立的a值是________．
答案?。?或2
解析 f(x)＝f(a)＝－1，
當a≤0時，f(a)＝a＋1＝－1，解得a＝－4,
當a＞0時，f(a)＝－(a－1)2＝－1，解得a＝2.
14．已知l1：mx－y－3m＋1＝0與l2：x＋my－3m－1＝0相交于點P，線段AB是圓C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的一條動弦，且|AB|＝2，則|＋|的最小值是________．
答案 4－2
解析 ∵l1：mx－y－3m＋1＝0與l2：x＋my－3m－1＝0，
∴l(xiāng)1⊥l2，l1過定
10、點(3,1)，l2過定點(1,3)，
∴點P的軌跡方程為圓(x－2)2＋(y－2)2＝2，
作CD⊥AB，則|CD|＝＝1，
∴點D的軌跡方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
則|＋|＝2||，
∵圓P和圓D的圓心距為＝3>1＋，
∴兩圓外離，
∴|PD|的最小值為3－1－＝2－1，
∴|＋|的最小值為4－2.
15.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(0)＝________.
答案 1
解析 由函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象知，A＝2，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，
又f＝2sin＝2,
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
11、又|φ|<，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin，f(0)＝2sin＝1.
16．已知拋物線C：y2＝8x，點P(0,4)，點A在拋物線上，當點A到拋物線準線l的距離與點A到點P的距離之和最小時，F(xiàn)是拋物線的焦點，延長AF交拋物線于點B，則△AOB的面積為________．
答案 4
解析 根據拋物線性質知拋物線上一點到準線的距離等于到焦點的距離，故當P，A，F(xiàn)三點共線時達到最小值，由P(0,4)，F(xiàn)(2,0)，可得lAB：2x＋y－4＝0，聯(lián)立拋物線方程可得x2－6x＋4＝0，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，故|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10，原點到直線lAB：2x＋y－4＝
12、0的距離d＝＝，所以△AOB的面積為×10×＝4.
三、解答題(本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(12分)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列．
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn＝(－1)nan，求數(shù)列{bn}前2019項的和．
解 (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，
??
∴{an}的通項公式為an＝27－2n.
(2){bn}的前2019項的和S2019為
S2019＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2018＋b2019＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2018－
13、a2017)－a2019
＝(－2)×－(27－2×2019)
＝1993.
18．(12分)如圖，五邊形ABSCD中，四邊形ABCD為長方形，三角形SBC為邊長為2的正三角形，將三角形SBC沿BC折起，使得點S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．
(1)當AB＝時，證明：平面SAB⊥平面SCD；
(2)若AB＝1，求平面SCD與平面SBC所成二面角的余弦值的絕對值．
(1)證明 作SO⊥AD，垂足為O，依題意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD，
又AB⊥AD，SO∩AD＝O，SO，AD?平面SAD，
∴AB⊥平面SAD，∴AB⊥SA，AB⊥SD.
利用勾股定
14、理得SA＝＝＝，同理可得SD＝.
在△SAD中，AD＝2，SA＝SD＝，SA2＋SD2＝AD2，
∴SA⊥SD，
又SA∩AB＝A，∴SD⊥平面SAB，
又SD?平面SCD，∴平面SAB⊥平面SCD.
(2)解 連接BO，CO，
∵SB＝SC，∴Rt△SOB≌Rt△SOC，
∴BO＝CO，又四邊形ABCD為長方形，
∴Rt△AOB≌Rt△DOC，∴OA＝OD.
取BC中點為E，得OE∥AB，連接SE，∴SE＝，
其中OE＝1，OA＝OD＝1，OS＝＝，
由以上證明可知OS，OE，AD互相垂直，不妨以直線OA，OE，OS為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
∴＝(0,1
15、,0)，＝(－1,1，－)，＝(－2,0,0)，
設m＝(x1，y1，z1)是平面SCD的法向量，
則有
即
令z1＝1得m＝(－，0,1)，
設n＝(x2，y2，z2)是平面SBC的法向量，
則有即
令z1＝1得n＝(0，，1)．
則|cos〈m，n〉|＝＝＝，
所以平面SCD與平面SBC所成二面角的余弦值的絕對值為.
19．(12分)某芯片代工廠生產某型號芯片每盒12片，每批生產若干盒，每片成本1元，每盒芯片需檢驗合格后方可出廠．檢驗方案是從每盒芯片隨機取3片檢驗，若發(fā)現(xiàn)次品，就要把全盒12片產品全部檢驗，然后用合格品替換掉不合格品，方可出廠；若無次品，則認定該盒芯片合
16、格，不再檢驗，可出廠．
(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求該盒芯片經一次檢驗即可出廠的概率；
(2)若每片芯片售價10元，每片芯片檢驗費用1元，次品到達組裝工廠被發(fā)現(xiàn)后，每片須由代工廠退賠10元，并補償1片經檢驗合格的芯片給組裝廠．設每片芯片不合格的概率為p(0
17、＝＝.
(2)①因為f(p)＝Cp3(1－p)9，
所以f′(p)＝C[3p2(1－p)9＋p3·9(1－p)8·(－1)]
＝Cp2(1－p)8(3－12p)，
∵p∈(0,1)，∴令f′(p)＝0，得p0＝，
∴當p∈時，f′(p)>0，f(p)為單調增函數(shù)；
當p∈時，f′(p)<0，f(p)為單調減函數(shù)，
∴p0＝為f(p)的極大值點，也是最大值點．
故f(p)的最大值點p0＝.
②由題設知，p＝p0＝，
設這箱芯片不合格品個數(shù)為n，
則n～B，
故E(n)＝12×＝3，
則E(X)＝120－12－30－3×2＝72.
∴這箱芯片最終利潤X的均值是72元．
18、
20．(12分)設常數(shù)t>2.在平面直角坐標系xOy中，已知點F(2,0)，直線l：x＝t，曲線Γ：y2＝8x(0≤x≤t，y≥0)．l與x軸交于點A、與Γ交于點B.P，Q分別是曲線Γ與線段AB上的動點．
(1)用t表示點B到點F距離；
(2)設t＝3，|FQ|＝2，線段OQ的中點在直線FP上，求△AQP的面積；
(3)設t＝8，是否存在以FP，F(xiàn)Q為鄰邊的矩形FPEQ，使得點E在Γ上？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．
解 (1)方法一 由題意可得B(t,2)，
則|BF|＝＝t＋2，
∴|BF|＝t＋2.
方法二 由題意可得B(t,2)，
由拋物線的性質可知，
19、|BF|＝t＋＝t＋2，∴|BF|＝t＋2.
(2)F(2,0)，|FQ|＝2，t＝3，則|FA|＝1，
∴|AQ|＝，
∴Q(3，)，設OQ的中點D，D，
kDF＝＝－，
則直線PF的方程為y＝－(x－2)，
聯(lián)立整理得3x2－20x＋12＝0，
解得x＝，x＝6(舍去)，
∴△AQP的面積S＝××＝.
(3)存在．假設存在，則設P，
易知，當PF斜率不存在時，不存在符合題意的矩形，
則kPF＝＝，kFQ＝，
直線QF的方程為y＝(x－2)，
∴yQ＝(8－2)＝，Q，
根據＋＝，則E，
∴2＝8，解得y2＝，
∴存在以FP，F(xiàn)Q為鄰邊的矩形FPEQ，使得點E
20、在Γ上，且P.
21．(12分)已知函數(shù)f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx(a為常數(shù))．
(1)當a＝1時，求f(x)的單調區(qū)間；
(2)若函數(shù)y＝f(x)，x∈的圖象與x軸無交點，求實數(shù)a的最小值．
解 (1)a＝1時，f(x)＝x－2lnx－1，f′(x)＝1－，
由f′(x)>0得x>2；f′(x)<0得00成立，
即x∈時，a>2－.
21、
令l＝2－，x∈，
則l′(x)＝，
再令m(x)＝2lnx＋－2，x∈，
m′(x)＝<0，于是m在上為減函數(shù)，
故m(x)>m＝2－2ln2>0，∴l(xiāng)′(x)>0在上恒成立，
∴l(xiāng)(x)在上為增函數(shù)，∴l(xiāng)(x)2－恒成立，只要a∈[2－4ln2，＋∞)，
∴實數(shù)a的最小值為2－4ln2.
請在第22～23題中任選一題作答．
22．(10分)直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝6cosθ.
(1)求圓C
22、的直角坐標方程；
(2)設圓C與直線l交于點A，B，若點P的坐標為(2,1)，求|PA|＋|PB|的最小值．
解 (1)由ρ＝6cosθ得ρ2＝6ρcosθ，化為直角坐標方程為x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.
(2)將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得t2＋2(sinα－cosα)t－7＝0.
由Δ＝4(sinα－cosα)2＋4×7＞0，故可設t1，t2是上述方程的兩根，
所以t1＋t2＝2(cosα－sinα)，t1t2＝－7，
又由直線過點(2,1)，故結合參數(shù)的幾何意義得
|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝≥2，當sin2α＝1
23、時取等號．
所以|PA|＋|PB|的最小值為2.
23．(10分)設函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|x＋a|(a>0)．
(1)當a＝1時，求f(x)的最小值；
(2)若關于x的不等式f(x)<＋a在x∈[1,2]上有解，求實數(shù)a的取值范圍．
解 (1)當a＝1時，
f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝＋＋|x＋1|≥0＋＝，
當且僅當x＝時，取等號．
(2)當x∈[1,2]時，f(x)<＋a?|2x－a|＋x＋a<＋a?|a－2x|<－x?3x－0，所以0
2020屆高考數(shù)學一輪復習 綜合檢測二（標準卷）理（含解析） 新人教A版
