《(文理通用)江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 理科附加題 第3講 計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理練習(xí)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(文理通用)江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 理科附加題 第3講 計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理練習(xí)(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3講 計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理1記n的展開式中第m項(xiàng)的系數(shù)為bm.(1)求bm的表達(dá)式;(2)若n6,求展開式中的常數(shù)項(xiàng);(3)若b32b4,求n.解:(1)n的展開式中第m項(xiàng)為C(2x)nm1m12n1mCxn22m,所以bm2n1mC.(2)當(dāng)n6時(shí),n的展開式的通項(xiàng)為Tr1C(2x)6rr26rCx62r.依題意,62r0,得r3,故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T423C160.(3)由(1)及已知b32b4,得2n2C22n3C,從而CC,即n5.2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann1.等式(x22x2)10b0b1(x1)b2(x1)2b20(x1)20,其中bi(i0,1,2,20)為實(shí)常數(shù)(1)
2、求2n的值;(2)求nb2n的值解:法一:(1)令x1,得b01,令x0,得b0b1b2b202101 024,令x2,得b0b1b2b3b19b202101 024,所以2nb2b4b6b201 023.(2)對(duì)等式兩邊求導(dǎo),得20(x1)(x22x2)9b12b2(x1)3b3(x1)220b20(x1)19,令x0,得b12b220b20202910 240,令x2,得b12b23b34b419b1920b20202910 240,所以b2n(2b24b46b620b20)5 120.所以nb2n(n1)b2nb2n2n5 1201 0236 143.法二:由二項(xiàng)式定理易知(x22x2)
3、101(x1)210CC(x1)2C(x1)4C(x1)20b0b1(x1)b2(x1)2b20(x1)20,比較可知b2nC(n1,2,10)(1)2nCCC21011 023.(2)因?yàn)閍nn1, 所以nb2n(n1)CC,設(shè)TC0C1C2C10C,T也可以寫成TC0C10101C9102C81010C,相加得2T10210,即T5210,所以nb2nC521021016 143.3(1)閱讀以下案例,利用此案例的想法化簡(jiǎn)CCCCCCCC.【案例】考察恒等式(1x)5(1x)2(x1)3左右兩邊x2的系數(shù)因?yàn)橛疫?1x)2(x1)3(CCxCx2)(Cx3Cx2CxC),所以右邊x2的系數(shù)
4、為CCCCCC,而左邊x2的系數(shù)為C,所以CCCCCCC.(2)求證:(r1)2(C)2n2C(n1)C.解:(1)考察恒等式(1x)7(1x)3(x1)4左右兩邊x3的系數(shù)因?yàn)橛疫?1x)3(x1)4(CCxCx2Cx3)(Cx4Cx3Cx2CxC),所以右邊x3的系數(shù)為CCCCCCCC,而左邊x3的系數(shù)為C,所以CCCCCCCCC.(2)證明:由rCrnnC,可得(r1)2(C)2(rC)2r(C)2(C)2n2(C)22nC(C)2.考察恒等式(1x)2n(1x)n(x1)n左右兩邊xn的系數(shù)因?yàn)橛疫?1x)n(x1)n(CCxCxn)(CxnCxn1C),所以右邊xn的系數(shù)為CCCCC
5、C(C)2,而左邊的xn的系數(shù)為C,所以(C)2C.同理可求得(C)2C.考察恒等式(1x)2n1(1x)n1(x1)n左右兩邊xn1的系數(shù)因?yàn)橛疫?1x)n1(x1)n(CCxCxn1)(CxnCxn1C),所以右邊xn1的系數(shù)為CCCCCCC,而左邊的xn1的系數(shù)為C,所以CC,所以(r1)2(C)2n2Cn2C2nCCn2C2nCCn(CC)Cn(CC)CnCC(n1)C.4(2019蘇北四市調(diào)研)在楊輝三角形中,從第3行開始,除1以外,其他每一個(gè)數(shù)值是它上面的兩個(gè)數(shù)值之和,這個(gè)三角形數(shù)陣開頭幾行如圖所示(1)在楊輝三角形中是否存在某一行,且該行中三個(gè)相鄰的數(shù)之比為345?若存在,試求出
6、是第幾行;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)已知n,r為正整數(shù),且nr3.求證:任何四個(gè)相鄰的組合數(shù)C,C,C,C不能構(gòu)成等差數(shù)列解:(1)楊輝三角形的第n行由二項(xiàng)式系數(shù)C,k0,1,2,n組成如果第n行中有,那么3n7k3,4n9k5,解得k27,n62.即第62行有三個(gè)相鄰的數(shù)C,C,C的比為345.(2)證明:若有n,r(nr3),使得C,C,C,C成等差數(shù)列,則2CCC,2CCC,即,.有,化簡(jiǎn)整理得,n2(4r5)n4r(r2)20,n2(4r9)n4(r1)(r3)20.兩式相減得,n2r3,于是C,C,C,C成等差數(shù)列而由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知CCCC,這與等差數(shù)列的性質(zhì)矛盾,從而要證明
7、的結(jié)論成立5已知Anx0|xk12k222kn2n,其中nN*,n2,ki1,1(i1,2,n),記集合An的所有元素之和為Sn.(1)求S2,S3的值;(2)求Sn.解:(1)當(dāng)n2時(shí),A2x0|xk12k222x0|x2k14k22,6,所以S2268.當(dāng)n3時(shí),A3x0|xk12k222k323x0|x2k14k28k32,6,10,14所以S326101432.(2)若kn1,且k1k2kn11,n2,nN*,則x2222n12n2n20,此時(shí)xAn.所以kn必然等于1,且當(dāng)k1k2kn11,n2,nN*時(shí),x2222n12n2n20,此時(shí)xAn.所以當(dāng)kn1,k1,k2,kn11,1,n2,nN*時(shí),都有xAn.根據(jù)乘法原理知,使得ki1(i1,2,3,n1,n2,nN*)的x共有2n2個(gè),使得ki1(i1,2,3,n1,n2,nN*)的x也共有2n2個(gè),所以Sn中的所有ki2i(i1,2,3,n1,n2,nN*)項(xiàng)的和為0,又因?yàn)槭沟胟n1的x共有2n1個(gè),所以Sn2n12n22n1.- 6 -