《2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 (必修第一冊) 第四章第4節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 講義》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 (必修第一冊) 第四章第4節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 講義（21頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.能畫出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖象,了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間0,2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等),理解正切函數(shù)在區(qū)間(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性.1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù)y=sin x,x0,2圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0,0),(2,1),(,0),(32,-1),(2,0).余弦函數(shù)y=cos x,x0,2圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0,1),(2,0),(,-1),(32,0),(2,1).2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y=sin xy=cos xy=tan

2、x圖象定義域RRx|xk+2,kZ值域-1,1-1,1R單調(diào)性遞增區(qū)間:2k-2,2k+2(kZ),遞減區(qū)間:2k+2,2k+32(kZ)遞增區(qū)間:2k-,2k(kZ),遞減區(qū)間:2k,2k+(kZ)遞增區(qū)間:(-2,k+2)(kZ)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心(k,0)(kZ)對稱中心(k+2,0)(kZ)對稱中心(k2,0)(kZ)對稱軸x=k+2(kZ)對稱軸x=k(kZ)周期性221.對稱性與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個(gè)周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是14個(gè)周期.(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個(gè)周期.2.要注意求

3、函數(shù)y=Asin(x+)的單調(diào)區(qū)間時(shí)A和的符號(hào),盡量化成0,避免出現(xiàn)增減區(qū)間混淆的情況.3.對于y=tan x不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù),而是在每個(gè)區(qū)間(k-2,k+2)(kZ)內(nèi)為增函數(shù).1.若函數(shù)y=2sin 2x+1的最小正周期為T,最大值為A,則(A)A.T=,A=3B.T=2,A=3C.T=,A=2D.T=2,A=2解析:最小正周期T=22=,最大值A(chǔ)=2+1=3.故選A.2.下列函數(shù)中最小正周期為且圖象關(guān)于直線x=3對稱的是(B)A.y=2sin(2x+3)B.y=2sin(2x-6)C.y=2sin(x2+3)D.y=2sin(2x-3)解析:函數(shù)y=2sin(2x-6)的周期

4、T=22=,又sin(23-6)=1,所以函數(shù)y=2sin(2x-6)的圖象關(guān)于直線x=3對稱.故選B.3.(多選題)已知函數(shù)f(x)=sin(x-2)(xR),則下列結(jié)論正確的是(ABC)A.函數(shù)f(x)的最小正周期為2B.函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱D.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)解析:由題意,可得f(x)=-cos x,對于選項(xiàng)A,T=21=2,所以選項(xiàng)A正確;對于選項(xiàng)B,y=cos x在0,2上是減函數(shù),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù),所以選項(xiàng)B正確;對于選項(xiàng)C,f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),所以函數(shù)是偶函數(shù),所以其

5、圖象關(guān)于直線x=0對稱,所以選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選ABC.4.(必修第一冊P207練習(xí)T5改編)函數(shù)y=cos(4-2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.解析:由y=cos(4-2x)=cos(2x-4),得2k2x-42k+(kZ),解得k+8xk+58(kZ),所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為k+8,k+58(kZ).答案:k+8,k+58(kZ)5.已知函數(shù)f(x)=2asin(2x+6)+a+b(a0)的定義域?yàn)?,2,值域?yàn)?5,1,則a+b=.解析:因?yàn)閤0,2,所以2x+66,76,所以sin(2x+6)-12,1.因?yàn)閍0,故-a+40,解得00,0)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要視“x+”為一個(gè)整體,通過

6、解不等式求解.但如果0,可借助誘導(dǎo)公式將化為正數(shù),防止把單調(diào)性弄錯(cuò).(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后利用集合間的關(guān)系求解.針對訓(xùn)練 1.函數(shù)f(x)=tan(2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.k2-12,k2+512(kZ)B.(k2-12,k2+512)(kZ)C.(k+6,k+23)(kZ)D.k-12,k+512(kZ)解析:由k-22x-3k+2(kZ),得k2-12x0)的一條對稱軸為直線x=3,一個(gè)對稱中心為點(diǎn)(12,0),則有()A.最小值2B.最大值2C.最小值1D.最大值1(2)已知函數(shù)f(x)=2sin(x+6)(0)的最小正周期為4,則該函數(shù)

7、的圖象()A.關(guān)于點(diǎn)(3,0)對稱B.關(guān)于點(diǎn)(53,0)對稱C.關(guān)于直線x=3對稱D.關(guān)于直線x=53對稱解析:(1)因?yàn)楹瘮?shù)的中心到對稱軸的最短距離是T4,兩條對稱軸間的最短距離是T2,所以,對稱中心(12,0)到對稱軸x=3間的距離用周期可表示為3-12T4,又因?yàn)門=2,所以244,所以2,所以有最小值2.故選A.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2sin(x+6)(0)的最小正周期為4,而T=2=4,所以=12,即f(x)=2sin(x2+6).令x2+6=2+k(kZ),解得x=23+2k(kZ),故f(x)的對稱軸為直線x=23+2k(kZ).令x2+6=k(kZ),解得x=-3+2k(kZ

8、),故f(x)的對稱中心為(-3+2k,0)(kZ),對比選項(xiàng)可知B正確.故選B.(1)對于可化為f(x)=Asin(x+)形式的函數(shù),如果求f(x)的對稱軸,只需令x+=2+k(kZ),求x即可;如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo),只需令x+=k(kZ),求x即可.(2)對于可化為f(x)=Acos(x+)形式的函數(shù),如果求f(x)的對稱軸,只需令x+=k(kZ),求x即可;如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo),只需令x+=2+k(kZ),求x即可.針對訓(xùn)練 1.在函數(shù)y=cos |2x|,y=|cos x|,y=cos(2x+6),y=tan(2x-4)中,最小正周期為的所有函數(shù)為()A.B.C

9、.D.解析:y=cos |2x|=cos 2x,最小正周期為;由函數(shù)圖象知y=|cos x|的最小正周期為;y=cos(2x+6)的最小正周期T=22=;y=tan(2x-4)的最小正周期T=2.故選A.2.若函數(shù)f(x)=asin x+bcos x(05,ab0)的圖象的一條對稱軸方程是x=4,函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對稱中心是(8,0),則f(x)的最小正周期是.解析:由題設(shè)可知,有f(4)=a2+b2,即22(a+b)=a2+b2,由此得到a=b.又f(8)=0,所以a(cos8-sin8)=0,從而tan 8=1,8=k+4,kZ,即=8k+2,kZ,而00,9-x20,得kxk+2,

10、kZ,-3x3.所以-3x-2或0x0)的最小正周期為2,則f(x)在0,4上的值域?yàn)?B)A.-32,12B.-12,1C.-32,1D. 12,1解析:因?yàn)門=2=2,所以=4,f(x)=cos(4x-3).因?yàn)閤0,4,所以4x-3-3,23,所以-12f(x)=cos(4x-3)1,所以f(x)-12,1.故選B.3.(多選題)已知函數(shù)f(x)=32sin 2x-12cos 2x,則下列判斷正確的是(AC)A.關(guān)于直線x=3對稱B.關(guān)于直線x=6對稱C.關(guān)于點(diǎn)(12,0)對稱D.關(guān)于點(diǎn)(3,0)對稱解析:f(x)=32sin 2x-12cos 2x=sin(2x-6),則f(3)=si

11、n(23-6)=sin 2=1,即函數(shù)關(guān)于直線x=3對稱,故A正確,D錯(cuò)誤;f(6)=sin(26-6)=sin 6=12,則函數(shù)不關(guān)于直線x=6對稱,故B錯(cuò)誤;f(12)=sin(212-6)=0,即f(x)關(guān)于點(diǎn)(12,0)對稱,故C正確.故選AC.4.函數(shù)y=2sin(6-2x) (x0,)的單調(diào)遞增區(qū)間是(C)A.0,3B. 12,712C. 3,56D. 56,解析:因?yàn)閥=2sin(6-2x)=-2sin(2x-6),由2+2k2x-632+2k,kZ,解得3+kx56+k,kZ,即函數(shù)在R上的單調(diào)遞增區(qū)間為3+k,56+k,kZ,所以函數(shù)在0,上的單調(diào)遞增區(qū)間為3,56.故選C.

12、5.函數(shù)f(x)=sin x(0)的圖象向右平移12個(gè)單位長度得到函數(shù)y=g(x)的圖象,并且函數(shù)g(x)在區(qū)間6,3上單調(diào)遞增,在區(qū)間3,2上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的值為(C)A.74B.32C.2D.54解析:因?yàn)閷⒑瘮?shù)f(x)=sin x(0)的圖象向右平移12個(gè)單位長度得到函數(shù)y=g(x)的圖象,所以g(x)=sin (x-12),又函數(shù)g(x)在區(qū)間6,3上單調(diào)遞增,在區(qū)間3,2上單調(diào)遞減,所以g(3)=sin 4=1且23,所以=8k+2(kZ),06, 所以=2.故選C.6.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+6)在-,上的圖象大致如圖,則f(x)的最小正周期為(C)A.109B.76C.43

13、D.32解析:由圖可得,函數(shù)圖象過點(diǎn)(-49,0),將它代入函數(shù)f(x)可得cos(-49+6)=0,又(-49,0)是函數(shù)f(x)圖象與x軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn),所以-49+6=-2,解得=32,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T=2=232=43.故選C.7.已知函數(shù)f(x)=sin x+acos x的圖象關(guān)于直線x=53對稱,則實(shí)數(shù)a的值為.解析:由x=53是f(x)圖象的對稱軸,可得f(0)=f(103),即sin 0+acos 0=sin 103+acos 103,解得a=-33.答案:-338.若函數(shù)f(x)=sin x(02)在區(qū)間0,3上單調(diào)遞增,在區(qū)間3,2上單調(diào)遞減,則等于.解

14、析:根據(jù)題意知f(x)在x=3處取得最大值1,所以sin 3=1,所以3=2k+2,kZ,即=6k+32,kZ.又00),將f(x)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移3個(gè)單位長度,縱坐標(biāo)不變,所得函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為(-4,-1),則的最小值為(B)A.27B.107C.127D.227解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=cos(x+3)-1(0),將f(x)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移3個(gè)單位長度,縱坐標(biāo)不變,可得函數(shù)y=cos(x-3+3)-1的圖象,所得函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為(-4,-1),則cos(-4)-3+3-1=-1,所以cos(-4)-3+3=0,即(-4)-3+3=k+2,即=-12

15、7k-27,kZ,所以的最小值為107.故選B.11 函數(shù)f(x)=Asin(2x+)(|,A0)的部分圖象如圖所示,則f(x)(B)A.在(-512,12)上是減函數(shù)B.在(-512,12)上是增函數(shù)C.在(3,56)上是減函數(shù)D.在(3,56)上是增函數(shù)解析:由圖象可知A=2,函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3,0),所以有2sin(23+)=023+=k(kZ)=k-23(kZ).因?yàn)閨,所以=3或=-23,當(dāng)=-23時(shí),f(x)=2sin(2x-23),此時(shí)f(0)0,不符合題意,所以=3.所以f(x)=2sin(2x+3).當(dāng)x(-512,12)時(shí),2x+3(-2,2),所以f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(

16、3,56)時(shí),2x+3(,2),函數(shù)f(x)不具有單調(diào)性.故選B.12.已知函數(shù)f(x)=2sin x+sin 2x,則f(x)的最小值是.解析:f(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2=4(cos x+1)(cos x-12),所以當(dāng)cos x12時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,從而得到函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為2k-53,2k-3 (kZ),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2k-3,2k+3 (kZ),所以當(dāng)x=2k-3,kZ時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,此時(shí)sin x=-32,sin 2x=-32,所以f(x)min=2(-32)-32=-332.答案:-33213.

17、關(guān)于函數(shù)f(x)=sin x+1sinx有如下四個(gè)命題:f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱;f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱;f(x)的最小值為2,屬于真命題的序號(hào)是.解析:對于命題,f(6)=12+2=52,f(-6)=-12-2=-52,則f(-6)f(6),所以,函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于y軸對稱,命題錯(cuò)誤;對于命題,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|xk,kZ,定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=-sin x-1sinx=-(sin x+1sinx)=-f(x),所以,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,命題正確;對于命題,因?yàn)閒(2-x)=sin(

18、2-x)+1sin(2-x)=cos x+1cosx,f(2+x)=sin(2+x)+1sin(2+x)=cos x+1cosx,則f(2-x)=f(2+x),所以,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,命題正確;對于命題,當(dāng)-x0時(shí),sin x0,則f(x)=sin x+1sinx02,命題錯(cuò)誤.答案:14.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+4).(1)求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(3)當(dāng)x4,34時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.解:(1)令2x+4=k+2,kZ,得x=k2+8,kZ.所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程是x=k2+8,kZ.(2)令

19、2k-22x+42k+2,kZ,得k-38xk+8,kZ.故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k-38,k+8,kZ.(3)當(dāng)x4,34時(shí),342x+474,所以-1sin(2x+4)22,所以-2f(x)1,所以當(dāng)x4,34時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為1,最小值為-2.15.設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(2x-6)+m的圖象關(guān)于直線x=對稱,其中012.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(,0),求函數(shù)f(x)在0,32上的值域.解:(1)由直線x=是y=f(x)圖象的一條對稱軸,可得sin(2-6)=1,所以2-6=k+2(kZ),即=k2+13(kZ).又00,-1

20、22),給出以下四個(gè)論斷:f(x)的最小正周期為;f(x)在區(qū)間(-6,0)上是增函數(shù);f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)對稱;f(x)的圖象關(guān)于直線x=12對稱.以其中兩個(gè)論斷作為條件,另兩個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題(寫成“pq”的形式) .(用到的論斷都用序號(hào)表示)解析:若f(x)的最小正周期為,則=2,函數(shù)f(x)=sin(2x+).同時(shí)若f(x)的圖象關(guān)于直線x=12對稱,則sin(212+)=1,又-122,所以212+=2,所以=3,此時(shí)f(x)=sin(2x+3),成立,故.若f(x)的最小正周期為,則=2,函數(shù)f(x)=sin(2x+),同時(shí)若f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)對稱,則23+=k,kZ,又-122,所以=3,此時(shí)f(x)=sin(2x+3),成立,故.答案:或