《(全國(guó)通用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第四層熱身篇 專題檢測(cè)(十六)圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)、證明問(wèn)題》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國(guó)通用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第四層熱身篇 專題檢測(cè)(十六)圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)、證明問(wèn)題(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題檢測(cè)(十六) 圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)、證明問(wèn)題大題專攻強(qiáng)化練1(2019全國(guó)卷)已知曲線C:y,D為直線y上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)D作C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B.(1)證明:直線AB過(guò)定點(diǎn)(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切,且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn),求該圓的方程解:(1)證明:設(shè)D,A(x1,y1),則x2y1.由于yx,所以切線DA的斜率為x1,故x1.整理得2tx12y110.設(shè)B(x2,y2),同理可得2tx22y210.故直線AB的方程為2tx2y10.所以直線AB過(guò)定點(diǎn).(2)由(1)得直線AB的方程為ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t,y1y2t(x1x2)12t21.設(shè)M
2、為線段AB的中點(diǎn),則M.由于,而(t,t22),與向量(1,t)平行,所以t(t22)t0.解得t0或t1.當(dāng)t0時(shí),|2,所求圓的方程為x24;當(dāng)t1時(shí),|,所求圓的方程為x22.2(2019濟(jì)南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)估)已知橢圓C:1(ab0)的離心率為,右焦點(diǎn)為F,且該橢圓過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)動(dòng)直線l與橢圓C相切于點(diǎn)A,且與直線x相交于點(diǎn)B時(shí),求證:FAB為直角三角形解:(1)由題意得,1,又a2b2c2,所以b21,a24,即橢圓C的方程為y21.(2)證明:由題意可得直線l的斜率存在,設(shè)l:ykxm,聯(lián)立得得(4k21)x28kmx4m240,判別式64k2m216(4k21)
3、(m21)0,得m24k210.設(shè)A(x1,y1),則x1,y1kx1mm,即A.易得B,F(xiàn)(,0),則,110,所以,即FAB為直角三角形,得證3.如圖,設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(,0),(,0),直線AP,BP相交于點(diǎn)P,且它們的斜率之積為.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C,點(diǎn)M,N是軌跡C上不同的兩點(diǎn),且滿足APOM,BPON,求證:MON的面積為定值解:(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由題意得,kAPkBP(x),化簡(jiǎn)得,點(diǎn)P的軌跡方程為1(x)(2)證明:由題意可知,M,N是軌跡C上不同的兩點(diǎn),且APOM,BPON,則直線OM,ON的斜率必存在且不為0,kOMkONkAP
4、kBP.當(dāng)直線MN的斜率為0時(shí),設(shè)M(x0,y0),N(x0,y0),則得所以SMON|y0|2x0|.當(dāng)直線MN的斜率不為0時(shí),設(shè)直線MN的方程為xmyt,代入1,得(32m2)y24mty2t260,(*)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1,y2是方程(*)的兩根,所以y1y2,y1y2,又kOMkON,所以,即2t22m23,滿足0.又SMON|t|y1y2|,所以SMON.綜上,MON的面積為定值,且定值為.4(2019福州市質(zhì)量檢測(cè))已知拋物線C1:x22py(p0)和圓C2:(x1)2y22,傾斜角為45的直線l1過(guò)C1的焦點(diǎn),且l1與C2相切(1)求p的值;(2)動(dòng)點(diǎn)M
5、在C1的準(zhǔn)線上,動(dòng)點(diǎn)A在C1上,若C1在A點(diǎn)處的切線l2交y軸于點(diǎn)B,設(shè),求證:點(diǎn)N在定直線上,并求該定直線的方程解:(1)依題意,設(shè)直線l1的方程為yx,因?yàn)橹本€l1與圓C2相切,所以圓心C2(1,0)到直線l1:yx的距離d.即,解得p6或p2(舍去)所以p6.(2)法一:依題意設(shè)M(m,3),由(1)知拋物線C1的方程為x212y,所以y,所以y,設(shè)A(x1,y1),則以A為切點(diǎn)的切線l2的斜率為k,所以切線l2的方程為yx1(xx1)y1.令x0,則yxy112y1y1y1,即B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,y1),所以(x1m,y13),(m,y13),所以(x12m,6),所以(x1m,3)設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則y3,所以點(diǎn)N在定直線y3上法二:設(shè)M(m,3),由(1)知拋物線C1的方程為x212y,設(shè)l2的斜率為k,A,則以A為切點(diǎn)的切線l2的方程為yk(xx1)x,聯(lián)立得,x212,因?yàn)?44k248kx14x0,所以k,所以切線l2的方程為yx1(xx1)x.令x0,得B點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,所以(x12m,6),所以(x1m,3),所以點(diǎn)N在定直線y3上- 5 -