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1、第二章滾動訓練三 滾動訓練三（§1?§3） 一、選擇題 1.若拋物線J2 =X上一點P到準線的距離等于它 到頂點的距離，則點P的坐標為（） C. 考點 題點 答案 解析 A. 14， 拋物線的標準方程 求拋物線方程 由題意知，點P到焦點F的距離等于它到 頂點o的距離，因此點P在線段OF的垂直平分 線上，而所以點p的橫坐標為1，代入 拋物線方程得J = ±上，故點P的坐標為 卜士律）,故選B. 2?拋物線yi=4x的焦點到雙曲線x2-y=1的漸 近線的距離是( C?1 D?\3 考點拋物線的簡單性質(zhì) 題點 拋物線與其他曲線結(jié)合有關(guān)問題 答案B 解析

2、拋物線y2 = 4x的焦點F(1,0)，雙曲線x ■獸=1的漸近線方程是y = ± 3x 即\ 3x±y = 0 , 所以所求距離為―空1 =23，故選b. 寸(護)2 +(±1)2話 3.設(shè)雙曲線的一個焦點為F,虛軸的一個端點為 〃，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直， 那么此雙曲線的離心率為( 答案D 解析不妨設(shè)雙曲線方程為X2?b2=i（a>0，>0）， 則可令 F(c,0), B(0, b，直線 FB : bx + cy - bc =°與漸近線尸$垂直，所以-：?a八1，即 b2 = ac，所以C2 -fl2 = ac，即?2-^-1 = 0,所以 e^2-

3、或加舍去）- （1 、 4?一條直線過點4, 0, v 丿 A, B 兩點?若ABI=4, 且與拋物線y2=x交于 則弦AB的中點到直線 1 x+1=0的距離等于（ a?7 B．2 9 C?4 D. 4 考點 拋物線的焦點弦問題 題點與焦點弦有關(guān)的其他問題 答案C 解析I拋物線方程為嚴， ???其焦點坐標為［4，0，準線方程為x=- 4, I 丿

4、 ???直線AB過拋物線焦點， ???由拋物線的定義知，弦AB的中點到直線x = ■1的距離為2, 4 ???弦AB的中點到直線x + 2 = 0的距離等于2 + 4 =9 4 5.已知拋物線C的頂點為原點，焦點在x軸上, 直線y=x與拋物線C交于A, B兩點，若P(2,2) 為AB的中點，則拋物線C的方程為() A. y2=4x B? y2=—4x C? x2=4y D? y2=8x 考點直線與拋物線的位置關(guān)系 題點直線與拋物線相交弦中點問題 答案A 解析 依題意可設(shè)拋物線方程為y2 = 2x(P? , 設(shè) A(x1，y/ , B(x2 , y2)， 則』=1,

5、 X2=X1 ???P(22)為AB的中點，?“]+y2 = 4 , 由^ =如i， 卜2 =如2， 得?2+丁1)仇5)= 2?(兀2 -Xi), ???勿二仇+?。萜? =4, x2- x1 ???拋物線C的方程為y2 = 4x? 6?若雙曲線與橢圓X6+64=1有相同的焦點，它 的一條漸近線方程為y=—X,則雙曲線的方程為 () A? y2—x2=96 B? y2—x2=160 C? y2—x2=80 D? y2—x2=24 考點雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用 題點雙曲線與橢圓結(jié)合的有關(guān)問題 答案D 解析 設(shè)雙曲線方程為X2 f =2(2H0)，因為雙 曲線與橢

6、圓有相同的焦點，且焦點為(0 , ±4 3) 所以 ^<0,且-22 = (4 3)2，得 2=- 24?故選 D. 7 ?橢圓25+午=1與雙曲線15—兀2=1有公共點 F,則P與雙曲線兩焦點連線構(gòu)成的三角形的面 積為( ) A．4 C．5 B?55 考點 題點 答案 雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用 雙曲線與橢圓結(jié)合的有關(guān)問題 解析 由已知得橢圓與雙曲線具有共同的焦點 D．3 F］（0,4）和F2（0,-4）, 不妨?IPF1I>IPF2I , 由橢圓與雙曲線的定義可得 |IPF1I + IPF2I = 10, JPF1I - IPF2I = 2嚴, 所以叫=

7、 5+15 , PF2I = 5 -15. 在△PF1F2中，由余弦定理，得 2IPF1I^IPF2I IPF1I2 + IPF2I2-IF1F2I2 cosZF1PF2 = . =（5 + 嚴）2 + （5 ■嚴）2 - 82 = 4 ■ 2X（5 +嚴X（5-嚴）"5' 且^f1pf2是三角形的內(nèi)角， 于是 sinZFfF? = y 因此△pf1F2 的面積 S = 2lPF1I^IPF2lsinZF1PF2 1 3 = 205 +嚴）X（5 ■嚴）X嚴 8 ?—動圓與直線x=-1相切且始終過點(1,0), 動圓的圓心的軌跡為曲線C,那么曲線C上的一 點到直線x= —

8、1的距離與到直線x+y+4=0的 距離和的最小值為() AN2 b?￥ C弩 考點 題點 答案 D722 拋物線的定義 解析 由題意知動圓的圓心軌跡為以F(1,0)為焦 由拋物線定義求最值 點，直線X=-1為準線的拋物線，其方程為y =4x , 設(shè)拋物線上的一點P點 P到直線x=-1的距離 為d，到直線x^y + 4 = 0的距離為d2 , 由拋物線的定義知，-=PFI, 所以 dt + d2 = IPFI+d2, IPFI + d2的最小值為點F到直線x +y + 4 = 0的距 |1 + 4I 5 2 離= < ?故選B. 二、填空題 9?雙曲線而一魯=1

9、(mnH0)的離心率為2,有一一 個焦點與拋物線y2=4x的焦點重合，則mn的值 為 ? 考點拋物線的簡單性質(zhì) 題點 拋物線與其他曲線結(jié)合有關(guān)問題 答案 3 16 解析 拋物線J2 = 4x的焦點坐標為(1,0), 則雙曲線的焦距為2，則有S m+n=1, 1 = 4, im 1 m = 4 3 n = 4 ???m￡ 10?已知雙曲線X2—b2=1(a>0, b>0)的兩條漸近 線與拋物線y2=2px(p>0)的準線分別交于A, B 兩點，O為坐標原點?若雙曲線的離心率為2, △AOB的面積為p3,則p= . 考點拋物線的簡單性質(zhì) 題點 拋物線與其他曲

10、線結(jié)合有關(guān)問題 答案2 解析 雙曲線的離心率€專\嚴丁彳=2 ，聯(lián)立 I］得臨 “■2， 所以認些鈔 將^\3代入解得p = 2 11 ?已知拋物線y2=8x,過動點M(a,0),且斜率 為1的直線l與拋物線交于不同的兩點A，B，若 ABIW8,則實數(shù)a的取值范圍是 考點 直線與拋物線的位置關(guān)系 題點 直線與拋物線相交時的其他問題 答案 (-2,-1] 解析 將l的方程y^x^a代入y2 = 8x , 得X2-2(a + 4)x + a2-0 , 則 A= 4(a + 4)2 - 4a2 > 0 , ?'?a >

11、- 2. 設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)， 則叫 +x2 = 2(a + 4),兀形=a2 , ? IABI = 一 2[(x1 +x2)2 - 4x1x2] 64(a + 2)^8 , 即0+2 W1? 又a>?2, ???2vaW - 1. 三、解答題 12.已知雙曲線的一條漸近線為x+、j3y=0,且 與橢圓x2+4y2=64有相同的焦距，求雙曲線的 標準方程. 解橢圓方程為64+16“，可知橢圓的焦距為 ①當雙曲線的焦點在x軸上時， 設(shè)雙曲線方程為2音1 （a〉％。）, a2 + b2 = 48 , =36 , = 12. ???雙曲線

12、的標準方程為36 ■ 12=1- ②當雙曲線的焦點在j軸上時， 設(shè)雙曲線方程略喀寸（a>0，b>°）， a2 + b2 = 48 , ? a =

13、 J.T2為標準方程x2 = 4y , 由此，可知拋物線的焦點F的坐標為(0,1)，準線 方程為y=-1. (2)設(shè) A(x1 ,y1), B(x2 , y2), 由拋物線的定義知IAFI uy】+1 , |BFI =y2 +1 , 于是1AB|^y1+y2 + 2, 又1AB1 = 8 ,所以 y1 +y2 = 6 , 由⑴得，拋物線的焦點為(0,1), 所以直線I的方程為y = kx + 1, 所以 ^i + 1+kx2 + 1- 6 , k(X]+x2)= 4 , 由直線i的方程與拋物線方程聯(lián)立得^+1^x2, 即 x2 - 4kx - 4 = 0 , A= 16k2

14、+16>0 ,所以x +x 1 2 =4k , 代入 k(xi +x2) = 4,得 k2 =1, k = ±1* 1 2 四、探究與拓展 14.若拋物線 J2=x 上兩點 A(x1,y1), B(x2，y2) 關(guān)于直線y=:x+1b對稱，且y1y2=—1,則實數(shù)b 的值為() A?—3 B?3 C?2 D?—2 考點直線與拋物線的位置關(guān)系 題點直線與拋物線相交時的其他問題 答案D 解析 由題意知，^^^2 =- 1， x1- x2 爲…，則F— W1， ???叫+x2^y^y^-（y1 +y2）2 ■ 2y1y2=3， _ （3 1） ? ? ^兩^點

15、A（X1, yi）, B（X2，y2）^^^點^坐為 2， 2 ， \ 丿 代入y=x + b，可得b=-2. 15?如圖，已知皿。〃的一個頂點為拋物線y2= 2x的頂點O9A, B兩點都在拋物線上，且ZAOB =90°, (1) 證明：直線AB必過一定點； (2) 求AAOB面積的最小值. 考點直線與拋物線的位置關(guān)系 題點 直線與拋物線相交時的其他問題 ⑴證明 設(shè)OA所在直線的方程為y=kx(k^0), 則直線ob的方程為y=?$, 心，解得 V2 = 2x , 2 x=k2, 2， Ly=k， 即A點的坐標為存左? 二 1 同樣由. ”=?計，解得 B點

16、的坐標為(邁,- J2 = 2x , 2 + 2k 所以AB所在直線的方程為y+ 2k = f (x 2k2), 化簡并整理， ^lky^x - 2. 不論實數(shù)k取任何不等于0的實數(shù)，當x = 2時， 恒有y = 0? 故直線過定點P(2,0). (2)解 由于AB所在直線過定點P(2,0), 所以可設(shè)A^所在直線的方程為x = my + 2 A(xi, 兒),B(x2 , y2)- 由嚴呵+ 2,消去x 并整理, ^y2 — 2x , 得 y2 - 2my - 4 = 0 , A= 4m2 +16>0. 所以 y1+y2 = 2m ,y1y2=-4. 于是％-力=S2 1 s^AOB=2X|OP|X(|yi|+|y2|) = ：IOp 卜 ly2?y2l 1 = 2X2X2 m2 + 4 = 2 m2 + 4? 所以當m = 0時,/\AOB的面積取得最小值4.