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1、二元線性回歸模型的估計(jì)二元線性回歸模型的估計(jì) 最簡(jiǎn)單的多元線性回歸模型是最簡(jiǎn)單的多元線性回歸模型是二元線性回歸模型二元線性回歸模型，即具有一個(gè)被解釋變量和兩個(gè)解釋變量的線性回歸模即具有一個(gè)被解釋變量和兩個(gè)解釋變量的線性回歸模型：型：iiXiXiY22110，i=1，2，n。1簡(jiǎn)易輔導(dǎo)一、一、二元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)二元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì) 1偏回歸系數(shù)的估計(jì)偏回歸系數(shù)的估計(jì) 對(duì)于二元線性回歸模型：iiXiXiY22110，i=1，2，n，其中的參數(shù)0、1、2稱(chēng)為偏回歸系數(shù)。所謂所謂偏回歸系數(shù)偏回歸系數(shù)，是指多元線性回歸模型中解釋變量前，是指多元線性回歸模型中解釋變量前的系數(shù)。的系數(shù)。其含義

2、是：當(dāng)其他解釋變量保持不變時(shí)，某一解釋變其含義是：當(dāng)其他解釋變量保持不變時(shí)，某一解釋變量變化一個(gè)單位而使被解釋變量量變化一個(gè)單位而使被解釋變量Y平均改變的數(shù)值，即某一解平均改變的數(shù)值，即某一解釋變量對(duì)被解釋變量釋變量對(duì)被解釋變量Y的影響程度。的影響程度。2簡(jiǎn)易輔導(dǎo)niiXiiXiYniiYiYniie12)22110(12)(12達(dá)到最小達(dá)到最小。要估計(jì)二元線性回歸模型要估計(jì)二元線性回歸模型iiXiXiY22110中的中的參數(shù)參數(shù)0、1、2，常用的方法仍然是常用的方法仍然是普通最小二乘法普通最小二乘法。設(shè)根據(jù)給定一組樣本數(shù)據(jù)設(shè)根據(jù)給定一組樣本數(shù)據(jù)（Yi，X1i，X2i），i=1，2，n，采用普

3、通最小二乘法估計(jì)得到的樣本回歸模型為采用普通最小二乘法估計(jì)得到的樣本回歸模型為ieiXiXiY22110，則則參數(shù)估計(jì)量參數(shù)估計(jì)量0、1、2應(yīng)應(yīng)該使該使殘差平方和殘差平方和 3簡(jiǎn)易輔導(dǎo)根據(jù)極值存在的必要條件，應(yīng)該有 02)22110(22201)22110(2120)22110(202iXiXiXiYieiXiXiXiYieiXiXiYie從而得到正規(guī)方程組 02)22110(01)22110(0)22110(iXiXiXiYiXiXiXiYiXiXiY02010iXieiXieie4簡(jiǎn)易輔導(dǎo)如果 X1與 X2之間不存在線性關(guān)系，那么，由上述正規(guī)方程組可以解出0、1、2：其中，XiXix，Yi

4、Yiy，iXnX1，iYnY1。如果 X1與 X2之間存在線性關(guān)系，那么，上述計(jì)算1、2的公式的分子、分母將變?yōu)?0，從而無(wú)法求解。221222121121222212221212221122110)()()()()()()()(iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxyxxyxxxxxxxyxxyXXY5簡(jiǎn)易輔導(dǎo)2隨機(jī)誤差項(xiàng)i的方差2的無(wú)偏估計(jì) 322nie其中，2ie的簡(jiǎn)捷計(jì)算公式為 iiiiiixyxyye2211226簡(jiǎn)易輔導(dǎo)3偏回歸系數(shù)1、2的方差和標(biāo)準(zhǔn)誤差 偏回歸系數(shù)1、2的方差計(jì)算公式為：偏回歸系數(shù)1、2的標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算公式為：)1()1(VarSe)2()2(V

5、arSe2212221221222122212221)()()()()()()()(iiiiiiiiiixxxxxVarxxxxxVar7簡(jiǎn)易輔導(dǎo) 二、二、Beta系數(shù)和彈性系數(shù)系數(shù)和彈性系數(shù) 在多元回歸分析中，需要說(shuō)明各個(gè)解釋變量在多元回歸分析中，需要說(shuō)明各個(gè)解釋變量的相對(duì)重要性，或者的相對(duì)重要性，或者比較被解釋變量對(duì)各個(gè)解釋比較被解釋變量對(duì)各個(gè)解釋變量的敏感性變量的敏感性。然而，偏回歸系數(shù)與變量的原有計(jì)量單然而，偏回歸系數(shù)與變量的原有計(jì)量單位有直接聯(lián)系，計(jì)量單位不同，彼此不能直位有直接聯(lián)系，計(jì)量單位不同，彼此不能直接比較。接比較。為此，需要引進(jìn)為此，需要引進(jìn)Beta系數(shù)系數(shù)和和彈性系數(shù)彈性

6、系數(shù)。8簡(jiǎn)易輔導(dǎo)1Beta系數(shù) Beta系數(shù)是由偏回歸系數(shù)轉(zhuǎn)換來(lái)的。用j表示Beta 系數(shù)，則 22iyjixjYSXjSjj其中 12)(12niXjiXnjixXjS12)(12nYiYniyYS可見(jiàn)，可見(jiàn)，Beta系數(shù)是用解釋變量標(biāo)準(zhǔn)差（系數(shù)是用解釋變量標(biāo)準(zhǔn)差（SXj）和被解釋變）和被解釋變量標(biāo)準(zhǔn)差（量標(biāo)準(zhǔn)差（SY）的比例對(duì)估計(jì)的偏回歸系數(shù)進(jìn)行調(diào)整后）的比例對(duì)估計(jì)的偏回歸系數(shù)進(jìn)行調(diào)整后得到的，其數(shù)值與變量的單位無(wú)關(guān)，因而可以直接比較，得到的，其數(shù)值與變量的單位無(wú)關(guān)，因而可以直接比較，用于說(shuō)明多元回歸模型中解釋變量的相對(duì)重要性。用于說(shuō)明多元回歸模型中解釋變量的相對(duì)重要性。9簡(jiǎn)易輔導(dǎo)對(duì)于二元

7、線性回歸模型，可以按下列公式計(jì)算Beta系數(shù)：22111iyix22222iyix由于jXjYXjSjYSj所以，Beta 系數(shù)j的含義是：若解釋變量Xj變化1 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（即XjSjX），則被解釋變量 Y 變化j個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（即YSjY）。10簡(jiǎn)易輔導(dǎo)例如 02.11，24.02，則表示：解釋變量 X1變化 1 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，將引起被解釋變量 Y 變化 1.02 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差；解釋變量X2變化1 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，將引起被解釋變量Y變化0.24 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。因此，可以說(shuō)，Y 對(duì)于 X1變化的敏感程度遠(yuǎn)大于 Y對(duì)于X2變化的敏感程度。11簡(jiǎn)易輔導(dǎo)2彈性系數(shù) 彈性系數(shù)是某一變量的相對(duì)變化引起另一變量的相對(duì)變化的度量，即

8、變量的變化率之比。用j表示彈性系數(shù)，則 YjXjYjXjdXdYjXjdXYdYj平均彈性是指在樣本均值附近的彈性，即 YjXjj彈性系數(shù)與原解釋變量的計(jì)量單位沒(méi)有任何關(guān)系，因此很適宜用來(lái)說(shuō)明被解釋變量對(duì)解釋變量變化的敏感程度。12簡(jiǎn)易輔導(dǎo)例如 78.11，45.02，則表示：在樣本均值附近，X1每增加1%，將使被解釋變量Y增加1.78%；而X2每增加1%，將使被解釋變量 Y 增加 0.45%，所以，被解釋變量 Y 對(duì)于解釋變量 X1變化的敏感程度遠(yuǎn)大于對(duì)解釋變量 X2變化的敏感程度。13簡(jiǎn)易輔導(dǎo)3偏相關(guān)系數(shù) 在二元線性回歸分析中，也可以用偏相關(guān)系數(shù)來(lái)分析被解釋變量Y對(duì)于哪一個(gè)解釋變量（X1和X2）的變化更敏感。偏相關(guān)系數(shù)：是指在控制或消除其他變量影響的情況下，衡量多個(gè)變量中的某兩個(gè)變量之間線性相關(guān)程度的指標(biāo)。14簡(jiǎn)易輔導(dǎo))1)(1(22212212121XXYXXXYXYXXYXrrrrrr如果21XYXr12XYXr，則表示被解釋變量 Y 與解釋變量 X1之間的線性關(guān)系更密切，被解釋變量 Y 對(duì)于解釋變量 X1的變化更敏感；如果21XYXr12XYXr，則表示被解釋變量 Y 與解釋變量 X2之間的線性關(guān)系更密切，被解釋變量 Y 對(duì)于解釋變量 X2的變化更敏感。當(dāng) X2保持不變時(shí)，Y 與 X1之間的偏相關(guān)系數(shù)為 15簡(jiǎn)易輔導(dǎo)