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1、第九章 導(dǎo)行電磁波重點和難點本章應(yīng)以矩形波導(dǎo)為重點，介紹導(dǎo)波系統(tǒng)的傳輸特性。介紹幾種常用導(dǎo)波系統(tǒng)時，應(yīng)著重介紹傳輸?shù)牟ㄐ徒Y(jié)構(gòu)和使用的頻率范圍。若有實物，可帶入教室向?qū)W生展示。介紹矩形波導(dǎo)中的電磁波時，應(yīng)著重講解求解方法、傳播特性以及波導(dǎo)中的電磁場分布。傳播特性中的多模特性、截止波長及波導(dǎo)波長等概念應(yīng)為重點。通過矩形波導(dǎo)中的TE10波的分析進(jìn)一步說明波導(dǎo)中的場分布，波導(dǎo)壁上的電流分布，波導(dǎo)波長和工作波長之間的關(guān)系，以及波導(dǎo)中的相速和能速之間的關(guān)系。關(guān)于同軸線，著重介紹如何設(shè)計尺寸，抑制高次模。對于諧振腔，著重介紹多諧性及其應(yīng)用。群速及圓波導(dǎo)內(nèi)容可以根據(jù)學(xué)時適當(dāng)從簡。重要公式直角坐標(biāo)系中橫向場的縱

2、向場表示：式中，。矩形波導(dǎo)中的TM波矩形波導(dǎo)中的TE波矩形波導(dǎo)中電磁波的傳播特性：截止傳播常數(shù)：截止頻率：截止波長：矩形波導(dǎo)的尺寸：；相速：波導(dǎo)波長：TM波的波阻抗：TE波的波阻抗：矩形波導(dǎo)中的TE10波：場方程：截止波長：相速：波導(dǎo)波長：能速：群速：色散媒質(zhì)中窄帶信號的群速：矩形波導(dǎo)中的群速：圓柱坐標(biāo)系中橫向場的縱向場表示：圓波導(dǎo)中的TM波：圓波導(dǎo)中的TM波：圓波導(dǎo)中電磁波的傳播特性：TM波的截止傳播常數(shù)：TE波的截止傳播常數(shù)：圓波導(dǎo)的尺寸：矩形波導(dǎo)的最大傳輸功率：諧振腔：矩形諧振腔的諧振波長：矩形諧振腔的諧振頻率：同軸線的尺寸：題 解9-1 推導(dǎo)式（9-1-4）。解 已知在理想介質(zhì)中，無源

3、區(qū)內(nèi)的麥克斯韋旋度方程為， 令 ， 則將上式代入旋度方程并考慮到，可得 整理上述方程，即可獲得式（9-1-4）。9-2 推導(dǎo)式（9-2-17）。解 對于波，。應(yīng)用分離變量法，令由于滿足標(biāo)量亥姆霍茲方程，得此式要成立，左端每項必須等于常數(shù)，令；顯然，。由上兩式可得原式通解為根據(jù)橫向場與縱向場的關(guān)系式可得因為管壁處電場的切向分量應(yīng)為零，那么，TE波應(yīng)該滿足下述邊界條件：；將邊界條件代入上兩式，得 故的通解為其余各分量分別為9-3 試證波導(dǎo)中的工作波長、波導(dǎo)波長與截止波長之間滿足下列關(guān)系解 已知波導(dǎo)中電磁波的波長為則 即9-4 已知空氣填充的矩形波導(dǎo)尺寸為，若工作頻率，給出可能傳輸?shù)哪Ｊ?。若填充介質(zhì)

4、以后，傳輸模式有無變化？為什么？解 當(dāng)內(nèi)部為空氣時，工作波長為，則截止波長為那么，能夠傳輸?shù)碾姶挪úㄩL應(yīng)滿足，若令，則k應(yīng)滿足。滿足此不等式的m，n數(shù)值列表如下：0.2512.25411.2523.2544.25由此可見，能夠傳輸?shù)哪Ｊ綖樘畛浣橘|(zhì)以后，已知介質(zhì)中的波長為，可見工作波長縮短，傳輸模式增多，因此除了上述傳輸模式外，還可能傳輸其它高次模式。9-5 已知矩形波導(dǎo)的尺寸為，若在區(qū)域中填充相對介電常數(shù)為的理想介質(zhì)，在區(qū)域中為真空。當(dāng)TE10波自真空向介質(zhì)表面投射時，試求邊界上的反射波與透射波。解 已知波導(dǎo)中沿軸傳輸?shù)牟ǖ碾妶鰪?qiáng)度為那么，反射波和透射波的電場強(qiáng)度可分別表示為；式中；考慮到邊界

5、上電場強(qiáng)度與磁場強(qiáng)度的切向分量必須連續(xù)的邊界條件，因而在處，獲知根據(jù)波阻抗公式，獲知z 0區(qū)域中的波阻抗分別為將場強(qiáng)公式代入，得，；，根據(jù)上述邊界條件，得那么，處的反射系數(shù)及透射系數(shù)分別為;反射波與透射波的電場強(qiáng)度分別為;根據(jù)，可得反射波的磁場強(qiáng)度為根據(jù)，可得透射波的磁場強(qiáng)度9-6 試證波導(dǎo)中時均電能密度等于時均磁能密度，再根據(jù)能速定義，導(dǎo)出式（9-4-9）。解 在波導(dǎo)中任取一段，其內(nèi)復(fù)能量定理式（7-11-14）成立?？紤]到波導(dǎo)為理想導(dǎo)電體，內(nèi)部為真空，因此內(nèi)部沒有能量損耗。因此式（7-11-14）變?yōu)橐驗榱鬟M(jìn)左端面的能量應(yīng)該等于流出右端面的能量，故上式左端面積分為零，因而右端體積分為零。但

6、是右端被積函數(shù)代表能量，只可能大于或等于零，因此獲知已知能速的定義為，對于TE波，波導(dǎo)中平均能量密度為波導(dǎo)中能流密度平均值僅與場強(qiáng)的橫向分量有關(guān)。對于TE波，能流密度的平均值為波導(dǎo)中電場和磁場的橫向分量關(guān)系為將上述結(jié)果代入，求得TE波的能速為同理對于TM波也可或獲得同樣結(jié)果。9-7 試證波導(dǎo)中相速與群速的關(guān)系為解 根據(jù)群速的定義，對于波導(dǎo)，。又知波導(dǎo)的相位常數(shù)與相速的關(guān)系為，則根據(jù)波導(dǎo)波長與相位常數(shù)的關(guān)系，得則 9-8 推導(dǎo)式（9-6-3）解 將麥克斯韋旋度方程，在圓柱坐標(biāo)系中展開，得將代入上式，并考慮到，得；上式整理后，即可求得橫向分量的表示式為其中 9-9 推導(dǎo)式（9-6-18）解 對于T

7、E波，建立圓柱坐標(biāo)系，滿足的亥姆霍茲方程為令，代入上式，得令方程兩邊等于，獲得下述兩個常微分方程：其中的通解為由于隨角度的變化周期為2p，因此，必須為整數(shù)。即式中m = 1,2,3。考慮到圓波導(dǎo)具有旋轉(zhuǎn)對稱性，的坐標(biāo)軸可以任意確定，總可適當(dāng)選擇的坐標(biāo)軸，使上式中的第一項或第二項消失，因此，上式可表示為 的通解為考慮到圓波導(dǎo)中心處的場應(yīng)為有限，但時，故常數(shù)，即。因此的通解為那么，根據(jù)圓波導(dǎo)的橫向分量的縱向場分量表示式，即可求得各個分量的表示式。9-10 已知空氣填充的圓波導(dǎo)直徑，若工作頻率，給出可能傳輸?shù)哪Ｊ?，若填充相對介質(zhì)常數(shù)的介質(zhì)以后，再求可能傳輸?shù)哪Ｊ?。?當(dāng)圓波導(dǎo)內(nèi)為空氣時，工作波長為已

8、知TM波的截止波長為，因此能夠傳輸?shù)哪Ｊ綄?yīng)的第一類柱貝塞爾的根Pmn必須滿足下列不等式由教材表9-6-1可見，滿足上述條件的只有P01因此只有波存在。TE波的截止波長為，那么能夠傳輸?shù)哪Ｊ綄?yīng)的第一類柱貝塞爾的導(dǎo)數(shù)根必須滿足下列不等式由教材表9-6-2可見，滿足上述條件的只有和，因此只有和波可以傳輸。填充介電常數(shù)為理想介質(zhì)后，工作波長為，則能夠傳輸?shù)腡M模式對應(yīng)的第一類柱貝塞爾的根Pmn必須滿足下列不等式由教材表9-6-1可見，滿足上述條件的模式為。能夠傳輸?shù)腡E模式對應(yīng)的第一類柱貝塞爾的導(dǎo)數(shù)根必須滿足下列不等式那么，由原書表9-6-2可見，滿足上述條件的模式為。9-11 當(dāng)比值為何值時，工

9、作于主模的矩形波導(dǎo)中波導(dǎo)壁產(chǎn)生的損耗最??？（指獲得最小衰減常數(shù)）。解 當(dāng)矩形波導(dǎo)傳播波時，其衰減常數(shù)為式中A僅與波導(dǎo)的參數(shù)有關(guān)。令，則求k的最小值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題。由，得，解此方程，得若取，則。由于，則。故 不合理。應(yīng)取即得9-12 已知空氣填充的銅質(zhì)矩形波導(dǎo)尺寸為，工作于主模，工作頻率。試求： 截止頻率、波導(dǎo)波長及衰減常數(shù)； 當(dāng)場強(qiáng)振幅衰減一半時的距離。解 當(dāng)工作于主模波時，則截止頻率為波導(dǎo)波長為因矩形波導(dǎo)為空氣填充，故僅需考慮波導(dǎo)壁產(chǎn)生的衰減，則衰減常數(shù)為對于銅制波導(dǎo)，波導(dǎo)壁表面電阻，則設(shè)場強(qiáng)衰減一半時的距離為d，由，求得9-13 已知空氣填充的銅質(zhì)圓波導(dǎo)直徑，工作于主模，工作

10、頻率，試求， 截止頻率、波導(dǎo)波長及衰減常數(shù)； 當(dāng)場強(qiáng)衰減一半的距離。解 當(dāng)圓波導(dǎo)工作于主模波時，則截止頻率為波導(dǎo)波長為由于波導(dǎo)是空氣填充,因此只需考慮波導(dǎo)壁的損耗。根據(jù)衰減常數(shù)的定義，求得其中波導(dǎo)壁表面電阻波數(shù)傳播常數(shù)截止傳播常數(shù)，那么，求得設(shè)場強(qiáng)衰減一半時的距離為，由，求得d = 163（m）9-14 已知空氣填充的矩形波導(dǎo)尺寸為，工作頻率。若空氣的擊穿場強(qiáng)為，試求該波導(dǎo)能夠傳輸?shù)淖畲蠊β?。?由于波導(dǎo)是空氣填充，故工作波長為已知，為了滿足，該波導(dǎo)只能傳播波，其截止波長為此時，矩形波導(dǎo)能夠傳輸?shù)淖畲蠊β蕿?，式中為波?dǎo)中空氣的擊穿強(qiáng)度，。又知該矩形波導(dǎo)的波阻抗求得該矩形波導(dǎo)能夠傳輸?shù)淖畲蠊β蕿?/p>

11、9-15 若波導(dǎo)中填充介質(zhì)的參數(shù)為，試證由于填充介質(zhì)產(chǎn)生的衰減常數(shù)為解 當(dāng)波導(dǎo)中填充的媒質(zhì)具有一定的電導(dǎo)率時，可以引入等效介電常數(shù)，即令。因此，波導(dǎo)中的波數(shù)。已知，那么考慮到通常s we，上式可簡化為令傳播常數(shù)，那么，衰減常數(shù)為9-16 已知空氣填充的銅質(zhì)矩形波導(dǎo)尺寸為，工作于主模，工作頻率。若該波導(dǎo)傳輸功率為，試求： 波導(dǎo)壁產(chǎn)生的衰減常數(shù)； 波導(dǎo)中電場及磁場強(qiáng)度的最大值； 波導(dǎo)壁上電流密度的最大值； 每米長度內(nèi)的損耗功率。解 已知工作于主模的空氣填充的矩形波導(dǎo)，波導(dǎo)壁產(chǎn)生的衰減常數(shù)為式中波導(dǎo)壁的表面電阻，工作波長，那么衰減常數(shù)為設(shè)波導(dǎo)中的復(fù)能流密度為，橫截面為，則波導(dǎo)中的傳輸功率為由于波導(dǎo)中

12、填充理想介質(zhì)，波阻抗為實數(shù)，橫向電場與橫向磁場的相位相同，則 。已知矩形波導(dǎo)中波強(qiáng)度的橫向分量為考慮到，則由上述場強(qiáng)公式求得因則 那么，當(dāng)傳輸功率P = 1000(W)時，則由此求得波導(dǎo)中電場及磁場強(qiáng)度的最大值分別為根據(jù)波導(dǎo)壁上磁場分量，即可求得波導(dǎo)壁上的表面電流。窄壁上表面電流為其最大值為寬壁上表面電流為因此，寬壁上表面電流的振幅為令，則 由，獲知，為極點。又因計算表明，當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，。由此可見，當(dāng)時，即寬邊中部取得最大值，求得表面電流最大值為因，損耗功率，那么，單位長度內(nèi)的損耗功率為9-17 試證式（9-8-8）。解 已知表面電流，式中為導(dǎo)體表面的外法線方向上的單位矢量。那么，表面電流的

13、大小為，式中表示表面磁場的切向分量。因此，損耗功率為此面積分應(yīng)沿諧振腔的6個內(nèi)壁求積，即已知式中則 代入后，求得9-18 推導(dǎo)式（9-8-10）及式（9-8-12）。解 當(dāng)圓波導(dǎo)傳播TM波時，則若諧振腔的長度為l，則。那么，又知，則諧振頻率為同理，對于TE波的圓柱諧振腔，可以證明諧振頻率為9-19 已知矩形波導(dǎo)諧振腔的尺寸為，試求發(fā)生諧振的4個最低模式及其諧振頻率。解 已知矩形波導(dǎo)諧振腔的諧振頻率為當(dāng)腔內(nèi)為真空時，根據(jù)題中給定的尺寸，則諧振頻率為那么，發(fā)生諧振的4個最低模式為TM110，TE101，TE011，TE111和TM111，對應(yīng)的諧振頻率分別為；9-20 已知空氣填充的圓波導(dǎo)半徑為1

14、0mm，若用該波導(dǎo)形成諧振腔，試求為了使30GHz電磁波諧振于TM021模式所需的波導(dǎo)長度。解 已知圓波導(dǎo)諧振腔工作于TM波時，其諧振頻率為若要求，令腔長為半波導(dǎo)波長，即l = 1，那么，諧振腔的最短長度d由下式求得d = 10.5(mm)9-21 已知空氣填充的矩形波諧振腔尺寸為，諧振模式為TE102，在保證尺寸不變條件下，如何使諧振模式變?yōu)門E103。解 已知矩形諧振腔的諧振頻率為由此可見，改變腔內(nèi)介質(zhì)的介電常數(shù)即可變更諧振腔的諧振頻率。當(dāng)腔內(nèi)充滿空氣時，諧振于模式的諧振頻率為若腔內(nèi)充滿介質(zhì)，諧振于模式的諧振頻率為由f102 = f103，求得填充介質(zhì)的相對介電常數(shù)。9-22 試證波導(dǎo)諧振

15、腔中電場儲能最大值等于磁場儲能最大值。解 波導(dǎo)諧振腔內(nèi)的電磁場應(yīng)該滿足無源區(qū)中的麥克斯韋方程，即設(shè)諧振腔的體積為V，則電場最大儲能為，磁場最大儲能為，那么因故 利用矢量恒等式，則式中第一項積分的被積函數(shù)可改寫為 由于腔壁上電場強(qiáng)度的切向分量為零，即故面積分，則考慮到則 9-23 已知空氣填充的黃銅矩形諧振腔的尺寸為，諧振模式為TE111，黃銅的電導(dǎo)率，試求該諧振腔的品質(zhì)因素。解 矩形波導(dǎo)中波的電場與磁場的各分量為 則在諧振模式下的場分量為其電場最大值為 ；電場儲能密度的時間最大值為，則整個腔內(nèi)的電場儲能的時間最大值為已知表面電流，式中為導(dǎo)體表面的外法線方向上的單位矢量。那么，表面電流的大小為，式中表示表面磁場的切向分量。因此，損耗功率為此面積分應(yīng)沿諧振腔的6個內(nèi)壁求積，即其中 則損耗功率為諧振腔的品質(zhì)因數(shù)為 因，(m)，求得品質(zhì)因數(shù)。9-24 試證由理想導(dǎo)電體制成的、介質(zhì)填充的波導(dǎo)諧振腔品質(zhì)因素，式中及分別為填充介質(zhì)的介電常數(shù)及電導(dǎo)率。解 由于諧振腔是理想導(dǎo)體，故腔壁的損耗可以不計，僅需考慮填充介質(zhì)的損耗。已知品質(zhì)因數(shù)為式中 又求得29