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1、第三章 一類具有五階細焦點的平面五次系統(tǒng)的定性分析3.1引言本文對如下系統(tǒng)做定性分析 (3.1)其中均為任意實數(shù)。利用基于Poincar思想的形式級數(shù)法和對稱原理對系統(tǒng)進行分析判定系統(tǒng)的奇點類型。依據(jù)Hopf分支理論判定系統(tǒng)極限環(huán)的穩(wěn)定性。3.2平衡點的性態(tài)定理3.2.1 對于系統(tǒng)（3.1）當時,(1) 系統(tǒng)(3.1)的有限處實奇點為O(0,0)，N(1，0)。且對于O(0,0),時為系統(tǒng)(3.1)的穩(wěn)定粗焦點，時為(3.1)的不穩(wěn)定粗焦點。(2) N(1，0)是系統(tǒng)(3.1)的鞍點。證明 考慮方程組的解。(1)由奇點類型的判定方法知O(0，0)為系統(tǒng)的有限處奇點。由以下式子 (3.2)可得系

2、統(tǒng)(3.1)的線性近似系統(tǒng)的Jacobi矩陣為其特征方程為=其中，于是可知，當時，O(0,0)為系統(tǒng)(3.1)的穩(wěn)定粗焦點；當時，O(0,0)為系統(tǒng)(3.1)的不穩(wěn)的粗焦點。(2)易知，N(1,0)也為有限處奇點?，F(xiàn)對N(1,0)進行判定。令（3.2）式中的，可得系統(tǒng)（3.1）的線性近似系統(tǒng)的Jacobi矩陣為其特征方程為令，則有，根據(jù)p-q法則判定知N(1,0)為系統(tǒng)(3.1)的鞍點。當時，對應于（3.1）的線性系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為，故O(0,0)為系統(tǒng)(3.1)的所對應線性系統(tǒng)的中心。需要對奇點O(0,0)進行中心焦點的判定。下面采用基于Poincar思想的形式基數(shù)法來研究當時奇點O(0,0)

3、的性質(zhì)。定理3.2.2 對于系統(tǒng)（3.1），當時，有(1)當時，O(0,0)為一階不穩(wěn)定細焦點；(2)當時，O(0,0)為一階穩(wěn)定細焦點；(3)當，時，O(0,0)為二階不穩(wěn)定細焦點；(4)當，時，O(0,0)為二階穩(wěn)定細焦點； (5)當，時，O(0,0)為五階不穩(wěn)定細焦點；(6)當，時，O(0,0)為五階穩(wěn)定細焦點；證明 當=0時，令其中是的k次多項式(k=3,4)，則有 (3.3)令（3.3）式右端的3次冪項為0，有將上式取極坐標，并且消去后可得=取，即。令（3.3）式右端的4次冪項為0，有將上式取極坐標，并且消去后可得下面分情況討論(1) 當時，因為，改取滿足方程，其中，且與同號。設 ，

4、則有.從而，當時，O(0,0)為一階不穩(wěn)定細焦點；當時，O(0,0)為一階穩(wěn)定細焦點。 (2)當時，有=0，所以令（3.3）式右端的5次項為0，有將上式取極坐標，并且消去后可得取 取 令(3.3)式右端的6次冪項為0，則有將上式取極坐標，并且消去后可得(2)當時，因為，改取滿足方程,其中，且與同號。設+ ，則有.從而，當時，O(0,0)為二階不穩(wěn)定細焦點；當時，O(0,0)為二階穩(wěn)定細焦點。 (3)當時，有令(3.3)式右端的7次冪項為0，有 將上式取極坐標，并且消去后可得故取,即。令(3.3)式右端的8次冪項為0，有將上式取極坐標，并且消去后可得取 令(3.3)式右端的9次冪項為0，有將上式

5、取極坐標，并且消去后可得整理得令（3.3）式右端的10次冪項為0，有將上式取極坐標，并且消去后可得由于 同理有所以 故令(3.3)式右端的11次冪項為0，有將上式取極坐標，并且消去后可得故令(3.3)式右端的12次冪項為0有 將上式取極坐標，并且消去后可得 由于 同理得 所以(4)當，時得到改取滿足方程其中 且與同號。設，則有從而，當，時， O(0,0)為系統(tǒng)(4.1)的五階不穩(wěn)定細焦點；當，O(0,0)為系統(tǒng)(4.1)的五階穩(wěn)定細焦點。3.3極限環(huán)的存在性定理3.3.1 下列條件之一成立時，系統(tǒng)(3.1)在O(0,0)外圍存在一個極限環(huán)，且時所產(chǎn)生的環(huán)不穩(wěn)定，時產(chǎn)生的環(huán)穩(wěn)定 (1)， ；(2

6、)，；(3)， ；(4)，；(5)， ；(6)，；證明 在定理的條件（1）、（3）或（5）下，當時系統(tǒng)(3.1)以O(0,0)為不穩(wěn)定細焦點。而當時，系統(tǒng)（3.1）以O(0,0)為穩(wěn)定的粗焦點。當從零開始減小時，系統(tǒng)(3.1)的奇點O(0,0)由不穩(wěn)定的細焦點變?yōu)榉€(wěn)定的粗焦點。從物理學的角度看，奇點由吸收能量到釋放能量，此過程必產(chǎn)生等幅震蕩，故可知在此幾種參數(shù)的條件下系統(tǒng)(3.1)在點O(0,0)外圍至少產(chǎn)生一個不穩(wěn)定的極限環(huán)。在定理（2）、（4）或（6）的條件下，當時系統(tǒng)(3.1)以O(0,0)為穩(wěn)定的細焦點。而當時，系統(tǒng)(3.1)以O(0,0)為不穩(wěn)定的粗焦點。當從零開始增加時，系統(tǒng)的奇點O(0,0)由穩(wěn)定的細焦點變?yōu)椴环€(wěn)定的粗焦點。從物理學的角度講，奇點由釋放能量到吸收能量，此過程中必產(chǎn)生等幅震蕩，故可知在此幾種參數(shù)的條件下系統(tǒng)(3.1)在點O(0,0)外圍至少產(chǎn)生一個穩(wěn)定的極限環(huán)。