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1、第6章期望效用值理論,6.1期望收益值6.2行為假設(shè)與偏好關(guān)系6.3效用函數(shù)及其確定6.4主觀期望效用值思考與練習(xí),6.1期望收益值,6.1.1期望收益值準(zhǔn)則一般來講,求解任何類型的決策問題,最后都?xì)w結(jié)為對(duì)各被選方案進(jìn)行選擇。而對(duì)方案的選擇,我們可從兩個(gè)方面來考慮：后果值、自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率。由于方案后果在許多情況下,特別是經(jīng)營管理決策中都用盈利、虧損這類指標(biāo),因此期望收益值成為決策分析發(fā)展過程中提出最早和應(yīng)用最廣泛的一種準(zhǔn)則。收益值往往采用貨幣單位。當(dāng)然,也可采用貨幣以外的定量單位。從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度出發(fā),用數(shù)學(xué)期望來權(quán)衡方案的各種可能結(jié)果,希望從多次決策中取得的平均收益最大。,期望收益

2、值準(zhǔn)則如下:設(shè)Ai(i=1,2,…,m)為m個(gè)被選方案,pj(j=1,2,…,n)為各個(gè)自然狀態(tài)發(fā)生的概率,θij為方案Ai在自然狀態(tài)j下的后果值。方案Ai期望收益值為若方案Ak滿足（6.2）則決策者選擇Ak為最優(yōu)方案。,（6.1）,對(duì)于成本之類的后果,式（6.2）應(yīng)為,但其原理相同,不再另行討論。6.1.2應(yīng)用期望收益值作為決策準(zhǔn)則存在的一些問題1．后果的多樣性后果可能反映直接經(jīng)濟(jì)效益、間接經(jīng)濟(jì)效益,也可能是生態(tài)效益、社會(huì)效益。當(dāng)后果值是盈利、支出等可量化的指標(biāo)時(shí),采用期望收益值的方法是可行的,但當(dāng)評(píng)價(jià)指標(biāo)是一些不容易量化的軟指標(biāo)時(shí),如在例5.3中,如何確定期望收益值

3、將是一個(gè)難以解決的問題,或者說期望收益值將變得沒有意義。,2．采用期望后果值的不合理性從概率論中我們知道,概率是頻率的極限。也就是說,事件發(fā)生的概率是大量重復(fù)多次試驗(yàn)體現(xiàn)出的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的規(guī)律。這有兩層含義：其一,試驗(yàn)必須是可在完全相同的情況下重復(fù)進(jìn)行的；其二,試驗(yàn)必須多次進(jìn)行。而決策問題,特別是戰(zhàn)略性的決策問題,往往不滿足這樣的要求。比如我們說：航天飛機(jī)的發(fā)射,其可靠性是99.7%,是指通過理論上的計(jì)算得出的,多次發(fā)射中成功發(fā)射出現(xiàn)的次數(shù)占99.7%。而對(duì)于一次發(fā)射而言,結(jié)果只能是要么失敗,要么成功。,例6.1圣彼得堡悖論（St.PetersbergParadox）。設(shè)有一場(chǎng)

4、猜硬幣正反面的賭博,一局中賭徒可以猜無數(shù)多次,直到他猜對(duì)為止。賭徒在第一次猜對(duì)可得2元；第一次沒有猜對(duì),第二次猜對(duì)可得4元；前兩次沒有猜對(duì),第三次猜對(duì),賭徒可得8元；……；如果前n-1次都沒有猜對(duì),第n次猜對(duì)則可得2n元；……。如圖6.1所示。,圖6.1圣彼得堡悖論,現(xiàn)在問：為使賭徒有權(quán)參加這樣的賭博,它應(yīng)該先交多少錢才能使這樣的賭博成為“公平的賭博”？所謂公平的賭博,是指參加賭博的任何一方輸贏數(shù)額和機(jī)會(huì)是相等的。比如這樣的猜硬幣的賭局,所謂公平,是指賭徒和賭局的設(shè)立者應(yīng)該有相同的機(jī)會(huì)獲得相同的回報(bào)。用概率論的語言來講,設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,指賭徒在一局賭博中贏得的錢,則X的數(shù)學(xué)期望就是賭徒為

5、參加這樣的賭博應(yīng)該先交的錢。因?yàn)樵诙啻钨€博之后,賭局的設(shè)立者獲得的收入,應(yīng)等于賭徒賺得的收入。用公式表示如下：,上式表示,不管賭徒應(yīng)先交多少錢,他都是有利可圖的,因?yàn)椴还苊烤纸欢嗌馘X,都小于它可能得到的回報(bào)。然而,如果真有這樣的賭局,又有哪個(gè)賭徒真的會(huì)這樣做呢？這就產(chǎn)生一個(gè)悖論：理論上平等的賭博,在現(xiàn)實(shí)中是不可能有人敢于參加的,實(shí)際上也是無法實(shí)現(xiàn)的。讓我們考慮可猜的次數(shù)是有限的情況,設(shè)賭徒可猜10次,那么他的盈利的數(shù)學(xué)期望是10元,即交10元就有權(quán)參加這樣的賭博,這樣的賭博使參加的人不會(huì)感覺有多么大的風(fēng)險(xiǎn),因?yàn)橹挥?.5的概率輸8元,而最多可贏1024元,會(huì)有很多人愿意參加。,然而,若賭徒可猜

6、的次數(shù)是10000次,那么賭徒須交10000元才有權(quán)參加這樣的賭博,同時(shí),有1/2的概率是輸9998元,最多可贏210000元（概率為1/210000）。從理論上講,同一人在多次參加這樣的賭博之后,不會(huì)有什么盈利或損失（回報(bào)的期望為0）,但恐怕沒有哪個(gè)賭徒愿意參加。問題在于數(shù)學(xué)期望是建立在大樣本基礎(chǔ)上的,人們?cè)趨⒓哟螖?shù)較少的情況下,當(dāng)然會(huì)更在意概率較大的事件。另外一方面,人們對(duì)同樣理論上都是平等的賭博,在可能輸?shù)臄?shù)額不大的情況下,愿意參加的人較多,而在可能輸?shù)臄?shù)額巨大的情況下,就沒有人愿意參加了。這實(shí)際上也是一個(gè)人們行為動(dòng)機(jī)的心理的問題,人們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的認(rèn)識(shí)并不一定與理論結(jié)果相符。,伯努利提

7、出了精神價(jià)值即效用值的概念。人們?cè)趽碛胁煌?cái)富的條件下,增加等量財(cái)富所感受到的效用值是不一樣的。隨著財(cái)富的增加,其效用值總是在增加,但效用值的增長速度是遞減的。他建議用對(duì)數(shù)函數(shù)來衡量效用值V:其中,w表示現(xiàn)有財(cái)富；A表示愿意支付的最大可能賭金。和貨幣期望值不同的是,該式的和不是無窮大而是有限的。盡管伯努利的解釋并不完善,但他所發(fā)現(xiàn)的這一悖論和提出的效用值概念,卻是決策理論的奠基石。,3．實(shí)際決策與理性決策的差異性例6.2巴斯葛“賭注”（Pascal’sWager）。圣彼得堡悖論中人們不認(rèn)可小概率收益,巴斯葛“賭注”則恰好相反,對(duì)小概率收益寄以厚望。數(shù)學(xué)家巴斯葛置身于宗教生活之中,他

8、酷信永恒安樂的價(jià)值是無窮的。即使獲得這種永恒安樂的概率甚微,但其期望值仍然是無窮大,為這類極小概率事件而愿意花費(fèi)極大的代價(jià)。,這類現(xiàn)象在實(shí)際生活中也并不鮮見。如絕癥患者只要有一線治愈希望就往往不惜代價(jià)地去求醫(yī)問藥；某市領(lǐng)導(dǎo)當(dāng)年決定上了一個(gè)工業(yè)園區(qū)的項(xiàng)目,隨著時(shí)間的推移,其負(fù)面作用越來越明顯,但作為其“政績工程”,如果關(guān)閉勢(shì)必影響到自己的威信和地位,因此只要有可能,總是試圖繼續(xù)維持。圣彼得堡悖論對(duì)小概率事件不以為然,而巴斯葛“賭注”則相反。然而,兩者都能說明實(shí)際決策行為和理性決策的差異。,4．負(fù)效應(yīng)以貨幣為單位的期望收益值作為決策準(zhǔn)則還有負(fù)效應(yīng)引起的弊端。如擲硬幣,方案A：若為正面,則贏5

9、元,反面則輸5元；方案B：若為正面贏5萬元,反面則輸5萬元；E(A)=E(B)。但此時(shí)人們心目中已不采用期望收益值準(zhǔn)則行事。依人們的價(jià)值觀,損失5萬元要比贏得5萬元的效用值大,稱為“負(fù)效用”。這樣的例子有很多,如一個(gè)人的工資漲了100元,他可能覺得沒什么；但如減薪100元,那他肯定要問個(gè)明白,且感覺不舒服。,5．決策者的主觀因素（價(jià)值觀）經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際效用遞減規(guī)律是指隨著某種物品消費(fèi)量的增加,心理滿足程度會(huì)以越來越緩慢的速度增加。在這里,這個(gè)規(guī)律在決策者的決策中當(dāng)然會(huì)體現(xiàn),即期望收益值的增加程度,并不一定等價(jià)于決策者心理上滿足感的增加程度。從另一個(gè)方面講,對(duì)于不同的決策者,同樣的收益,不一定

10、帶來同樣的心理上的滿足。比如買襯衣,某甲原來的襯衣都已破舊,買了一件新的；某乙原有十幾件新襯衣,再買一件；同樣一件襯衣,在甲看來這件新襯衣比乙心目中的價(jià)值要高得多。,而且,不同決策者,對(duì)同樣數(shù)額收益或損失的心理上的反應(yīng),會(huì)隨著其個(gè)人經(jīng)歷、知識(shí)背景、性格特點(diǎn)及其它主觀因素的不同而不同。經(jīng)歷過新中國成立初期困難時(shí)期的人，與改革開放后在較好的經(jīng)濟(jì)條件下成長的新一代,他們對(duì)同樣物質(zhì)生活水平的滿足感是顯然不同的。前者更能感受經(jīng)濟(jì)發(fā)展帶來的生活水平的提高,而后者會(huì)認(rèn)為這樣的生活水平是理所應(yīng)當(dāng)?shù)?并不覺得有什么太好。綜合以上五點(diǎn),我們得出以下兩點(diǎn)結(jié)論：(1）需要一種能表述人們主觀價(jià)值的衡量指標(biāo),而且它

11、能綜合衡量各種定量和定性的結(jié)果；(2）這樣的指標(biāo)沒有統(tǒng)一的客觀評(píng)定尺度,因人而異,視各人的經(jīng)濟(jì)、社會(huì)和心理?xiàng)l件而定。,因此,需要探求一種較期望收益值更為完善的決策準(zhǔn)則,使其能體現(xiàn)實(shí)際決策中決策者對(duì)方案的衡量指標(biāo),更適合于為決策者提供更加合理、有效,也更加體現(xiàn)決策者意圖,更加人性化的決策分析中對(duì)方案的評(píng)價(jià)指標(biāo)。這既是理論上的完善,也是決策理論向?qū)嶋H應(yīng)用邁進(jìn)的重要一步。本章的目的,就是介紹這樣一種合理的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則,即將后果值轉(zhuǎn)換為效用值,以期望效用值作為方案選擇的判別準(zhǔn)則。為此,我們?cè)谙乱还?jié)中先討論行為假設(shè)與偏好關(guān)系。,6.2行為假設(shè)與偏好關(guān)系,對(duì)于一個(gè)決策問題來說,每一種方案下對(duì)應(yīng)于不同的

12、自然狀態(tài)都有一個(gè)后果值,于是每一方案的后果值可用一個(gè)向量來表示。但要評(píng)價(jià)各方案的優(yōu)劣,我們必須將每一方案下的這個(gè)向量合并成一個(gè)數(shù)來反映方案的優(yōu)劣。在此基礎(chǔ)上,我們才能對(duì)各方案進(jìn)行優(yōu)劣評(píng)價(jià)。因此,決策分析的首要問題在于建立一種有效的方法或模型來評(píng)價(jià)備選方案,而這種方法或模型必須要有可靠的理論基礎(chǔ),這就是下面將要介紹的關(guān)于決策的合理行為的假設(shè)以及由此引出的結(jié)論。考慮風(fēng)險(xiǎn)型決策問題,即各自然狀態(tài)的出現(xiàn)概率已知的情形。首先我們引入一些新的概念,以用來描述一個(gè)方案的結(jié)果,以及方案之間的關(guān)系和運(yùn)算。,定義6.1把具有兩種或兩種以上的可能結(jié)果的方案（行為）稱為事態(tài)體,其中的各種可能結(jié)果為依一定概率出現(xiàn)的隨

13、機(jī)事件。如用記號(hào)T來表示一個(gè)事態(tài)體,則T=(θ1,θ2,…,θn;p1,p2,…,pn)其中,θ1,θ2,…,θn表示該行為的n種可能的結(jié)果,它們分別以p1,p2,…,pn的概率出現(xiàn),且滿足pi>0,i=1,2,…,n,。,n=2時(shí)的事態(tài)體T=(θ1,θ2;p1,p2)稱為簡單事態(tài)體,由于p2+p1=1,p2可由p1確定,故可簡記為T=(θ1,θ2;p1)。全體事態(tài)體的集合F稱為事態(tài)體空間。F中所有可能后果的集合J={θ1,θ2,…,θn}稱為后果集。在單目標(biāo)、多目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)型決策問題中,每一個(gè)備選方案均可用一事態(tài)體表示。如果各自然狀態(tài)的順序已定,則pi就是第i種自然狀態(tài)出現(xiàn)

14、的概率,θi表示該方案在第i種自然狀態(tài)出現(xiàn)時(shí)的結(jié)果（后果值）。,例6.3有獎(jiǎng)發(fā)票鼓勵(lì)消費(fèi)者索要發(fā)票,促使商家依法納稅。假設(shè)一消費(fèi)者消費(fèi)99元,商家此時(shí)有兩種選擇：(1）給99元的發(fā)票（共6張,面額分別為：50元1張、20元2張、5元1張、2元2張）；(2）給100元的發(fā)票（1張100元面額）。設(shè)有兩種可能的結(jié)果：中獎(jiǎng),不中獎(jiǎng)。這兩種選擇下不同的可能結(jié)果分別用θ11,θ12,θ21,θ22表示。假設(shè)每張發(fā)票的中獎(jiǎng)概率為p,獎(jiǎng)金為10元,發(fā)票的稅率為1%。為了分析方便,我們?cè)O(shè)定顧客最多中獎(jiǎng)一次,則這兩種撕票的方案可用下面兩個(gè)事態(tài)體表示：T1=(θ11,θ12;1-(1-p)6)

15、T2=(θ21,θ22;p),其中后果值為當(dāng)天營業(yè)額的減少量：θ11=10+991%,θ12=991%,θ21=10+1001%,θ22=1001%我們通過下面三個(gè)步驟建立一種合理的公理化的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則。第一步一個(gè)概念——偏好關(guān)系。對(duì)于后果集J={θ1,θ2,…,θn}中任意兩個(gè)可能的結(jié)果x和y,總可以按照既定目標(biāo)的需要,前后一致地判定其中一個(gè)不比另一個(gè)差,表示為xy（x不比y差）。,這種偏好關(guān)系“”必須滿足下面三個(gè)條件：(1）自反性：xx（一個(gè)方案不會(huì)比它自己差）;(2）傳遞性:xy,yzxz;(3）完備性:任何兩個(gè)結(jié)果都可以比較優(yōu)劣,即x,y∈J,xy∨yx,

16、二者必居其一。在此基礎(chǔ)上我們定義：若xy,且yx,稱x與y無差別,記為x~y。若x~y不成立,則稱x,y有差別,記為xy。若xy且xy,則稱x優(yōu)于y,記為x>y。,所以,xy實(shí)際表示“x優(yōu)于或無差于y,即x>y∨x~y”；xy實(shí)際表示“x劣于或無差于y,即x

17、T1=(θ1,θ2;p),T2=(θ1,θ2;q)其中θ1θ2。,(1）當(dāng)p＝q時(shí),事態(tài)體T1無差于事態(tài)體T2,記為T1～T2；(2）當(dāng)p＞q時(shí),事態(tài)體T1優(yōu)越于事態(tài)體T2,記為T1T2；反之,則有T1T2。例6.4兩組有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄,均發(fā)行儲(chǔ)蓄券10000張,兩組中獎(jiǎng)?wù)呔@得同樣數(shù)目獎(jiǎng)金(400元)。所不同的是,第一組擁有可中獎(jiǎng)彩券150張,而第二組中只擁有可中獎(jiǎng)彩券100張,試問你愿參加哪一個(gè)組？,設(shè)T1和T2分別代表兩組有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄。參加者有以下兩種可能結(jié)果：中獎(jiǎng),獲獎(jiǎng)金θ1；未中獎(jiǎng),只獲少數(shù)利息θ2。顯然,θ1θ2。若T1、T2兩個(gè)組都發(fā)行儲(chǔ)蓄券10000張,但T1組內(nèi)中

18、獎(jiǎng)個(gè)數(shù)為n1,T2組內(nèi)的中獎(jiǎng)個(gè)數(shù)為n2,即T1=(θ1,θ2;n1/10000),T2=(θ1,θ2;n2/10000)于是,當(dāng)n1=n2時(shí),意味著兩組中出現(xiàn)θ1和θ2的可能性是相同的,即p=q,這對(duì)于任一個(gè)儲(chǔ)蓄者來說,參加T1組和參加T2組的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是完全相同的,因此儲(chǔ)蓄者對(duì)于參加哪一個(gè)組是無所謂偏好的,也就是說,事態(tài)體T1和T2沒有差別,T1～T2。,當(dāng)n1≠n2時(shí),例如n1＝120和n2＝150時(shí),p＝0.012,q＝0.015,于是,第二組內(nèi)的中獎(jiǎng)可能性要大一些,儲(chǔ)蓄者肯定會(huì)選擇第二組,也就是說,事態(tài)體T2優(yōu)越于T1,T2T1。假設(shè)6.2（連續(xù)性）設(shè)有兩個(gè)事態(tài)體T1,T2,

19、T1=(θ1,η;p),T2=(θ2,η;q),如若θ1θ2η,則存在p′”。設(shè)計(jì)一系列問題供決策者回答,根據(jù)其答案確定效用曲線。第一步,確定最優(yōu)及最差的后果值。顯然,θ*=100,θ*=0。第二步,確定0枝與100枝之間的若干個(gè)點(diǎn)的效用值,并對(duì)決策者進(jìn)行問答,以測(cè)定決策者對(duì)不同方案的反應(yīng)。,(1）假設(shè)有兩個(gè)方案：①?zèng)Q策者可獲贈(zèng)一束50枝的鮮花；②以0.5概率獲得一束100枝的鮮花,或沒有,簡寫為(100,0;0.5),供決策者選擇。回答：選擇方案①。得出50枝的鮮花的效用優(yōu)于方案(100,0;0.5)的效用,即50(100,50;0.5)。(2）將方案①變?yōu)榭色@贈(zèng)一束3

20、0枝的鮮花。回答：選擇方案②。得出30枝的鮮花的效用差于方案(100,0;0.5)的效用,即30(100,0;0.5)。,(3）方案①變?yōu)榭色@贈(zèng)一束40枝的鮮花。回答：選擇方案①。得出40枝的鮮花的效用優(yōu)于方案(100,0;0.5)的效用,即40(100,0;0.5)。(4）方案①變?yōu)榭色@贈(zèng)一束35枝的鮮花。回答：無所謂,兩種方案均可。此時(shí)我們認(rèn)為方案①無差于方案②。根據(jù)效用函數(shù)定義的性質(zhì)2,得出u(35)=0.5u(θ*)+0.5u(θ*)=0.5記u(θ0.5)=0.5,θ0.5=35。,(5）將方案②變?yōu)?100,35;0.5),問與之無差的確定性獲贈(zèng)的枝數(shù)。依上述

21、方法反復(fù)提問,得到當(dāng)可獲贈(zèng)60枝時(shí),新的方案②難以取舍,所以u(60)=0.5u(θ*)+0.5u(θ0.5)=0.75即θ0.75=60。此時(shí)我們已得到效用曲線上的4個(gè)點(diǎn)：(0,0)、(35,0.5)、(60,0.75)、(100,1)。如此反復(fù)進(jìn)行,可找到點(diǎn)(θ0.25,0.25)、(θ0.375,0.375)、(θ0.625,0.625)、(θ0.875,0.875),等等。第三步,將所得的點(diǎn)依次用光滑曲線連接起來即得效用曲線,如圖6.3所示。,圖6.3鮮花的效用曲線,6.3.3L-A模擬法(1)風(fēng)險(xiǎn)中性型：曲線斜率為常數(shù)。表明決策者在每增加1單位產(chǎn)出時(shí)所得到的滿

22、足感都是相同的,而每減少1單位產(chǎn)出時(shí)的失望也是相同的。如圖6.4中C2所示。(2)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型：曲線的斜率在差的產(chǎn)出水平比好的產(chǎn)出水平大。說明擺脫差的產(chǎn)出帶給決策者的歡樂程度比放棄好的產(chǎn)出帶給決策者的痛苦程度大。如圖6.4中C1所示。(3)風(fēng)險(xiǎn)偏好型：曲線的斜率在好的產(chǎn)出水平比差的產(chǎn)出水平大。說明決策者更關(guān)心方案的結(jié)果較好時(shí)其結(jié)果的變化。如圖6.4中C3所示。還有一些由基本類型組合而成的類型,如S形效用曲線,如圖6.5所示。,圖6.4三種類型的效用曲線,圖6.5S形效用曲線,L-A模擬法就是根據(jù)上面的假設(shè),即假設(shè)決策者的效用函數(shù)符合某種特殊類型的曲線,得出的一種簡便的得到?jīng)Q策者效用曲

23、線的方法。其基本思想是：根據(jù)假設(shè)的效用函數(shù)類型,通過得到幾個(gè)效用函數(shù)點(diǎn),確定其函數(shù)的參數(shù)。例如,若假設(shè)u(θ)=a(θ-b)c,已知θ0~(θ*,θ*;p),則由三個(gè)點(diǎn)(θ*,1)、(θ*,0)、(θ0,p)可定出a、b、c。其中,c>1時(shí),決策者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型；c<1時(shí),決策者為風(fēng)險(xiǎn)偏好型；c=1時(shí),決策者為風(fēng)險(xiǎn)中性型。此外還有其它一些類型的效用函數(shù),如:冪函數(shù)表達(dá)式：u(x)=a(x+b)c-abc,對(duì)數(shù)函數(shù)表達(dá)式：u(x)=c+bln(x+a)其中x為θ的歸一化結(jié)果,即例6.8火災(zāi)保險(xiǎn)。某企業(yè)欲將價(jià)值為A元的廠房設(shè)備申報(bào)火災(zāi)保險(xiǎn)。如保險(xiǎn),明年要付保險(xiǎn)金i元,明年內(nèi)如發(fā)

24、生火災(zāi),所有損失將全部賠償；如不保險(xiǎn),一旦發(fā)生火災(zāi),則損失B元（Bp2。同樣數(shù)目的保險(xiǎn)金,人們?cè)敢庠诘陀诨馂?zāi)發(fā)生的客觀概率即p1的條件下投保。保險(xiǎn)公司本可在收保險(xiǎn)金i′=Bp2即可收支相抵的條件下而收取用戶i=Bp1元,Δi=i-i′即被保險(xiǎn)公司賺進(jìn),用作管理費(fèi)用或贏利。例如某企業(yè)在p1=0.001的條件下,投保500萬元財(cái)產(chǎn),交保險(xiǎn)金0.0015000000=5000元即可使保險(xiǎn)公司收支相抵。為簡單計(jì),如若發(fā)生火災(zāi),假設(shè)財(cái)產(chǎn)完全損失,即B=A。實(shí)際上,企業(yè)卻愿按高于p1值如p2=0.002交付,i′=0.002500萬＝1萬元,此時(shí)保險(xiǎn)公司將盈利10000元-5000元＝5000元,而投保

25、戶同樣感到滿意。保險(xiǎn)業(yè)務(wù)在互利情況下得到發(fā)展。,例6.9某公司計(jì)劃開發(fā)某種新產(chǎn)品,現(xiàn)有三種設(shè)計(jì)方案,市場(chǎng)的未來預(yù)測(cè)有好、中、差三種可能,在每種自然狀態(tài)下各方案的收益如表6.1所示。求依期望效用最大的原則所作出的決策。,表6.1開發(fā)新產(chǎn)品的三種方案的收益值,求解步驟如下：首先,我們將各收益值歸一化,令如假設(shè)決策者的效用曲線的模式為u(x)=c+bln(x+a)依此得出方案可能的結(jié)果值所對(duì)應(yīng)的效用值,如圖6.8所示各收益值所對(duì)應(yīng)的效用值如表6.2所示。,圖6.8新產(chǎn)品開發(fā)的效用曲線,表6.2各收益值所對(duì)應(yīng)的效用值,根據(jù)表中數(shù)據(jù)及期望效用值的定義uijpji=1,2,3,各個(gè)

26、方案的期望效用值為u(A)=u(25)0.3+u(15)0.5+u(-10)0.2=0.7582u(B)=0.89u(C)=0.81所以,方案B為最優(yōu)。從本案例我們看出,該決策者屬于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型,其決策較為保守,對(duì)損失更加敏感,傾向于穩(wěn)妥的方案。,6.4主觀期望效用值,6.4.1主觀概率與客觀概率概率的定義可分為兩類：主觀概率和客觀概率?？陀^概率是指建立在等可能性基礎(chǔ)上的古典概率和建立在大量重復(fù)試驗(yàn)基礎(chǔ)上的統(tǒng)計(jì)概率。古典概率建立在“等可能性”這個(gè)比較原始概念的基礎(chǔ)之上,如果一個(gè)事件A可以劃分為M個(gè)后果而這些都屬于N個(gè)兩兩互不相容且等可能的事件所構(gòu)成的完備事件組,則事件A的概率

27、等于p(A)=M/N。,概率的統(tǒng)計(jì)定義是從大數(shù)實(shí)驗(yàn)中事件出現(xiàn)的頻率出發(fā)的,在不變的條件下重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),觀察事件A的發(fā)生或不發(fā)生,這樣可看出事件A的發(fā)生是服從某種穩(wěn)定規(guī)律的。如n表示在N次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件A的發(fā)生次數(shù),頻率值n/N在N充分大時(shí)幾乎保持固定的數(shù)值。實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多,觀察到的偏差越小,事件A出現(xiàn)的頻率即可視為概率,即,客觀概率在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛,但也有它的一些缺陷：(1)古典定義在考慮復(fù)雜問題時(shí)會(huì)遇到困難。許多場(chǎng)合能否符合等可能性就成問題。(2)對(duì)于統(tǒng)計(jì)定義：①概率是頻率的“極限”,很難估計(jì)一個(gè)精確值。②所采用的樣本常不清楚。如開車出現(xiàn)車禍的概率,指哪一時(shí)

28、間段？哪一地域？哪種類型的車？③精確重復(fù)的概念有問題。如擲硬幣真正是完全重復(fù),那么它應(yīng)產(chǎn)生同樣的結(jié)果。這就引出了不確定源的問題。到底是來自內(nèi)部世界還是外部世界,答案和每個(gè)人的世界觀密切相關(guān)。有人認(rèn)為存在不可避免的不確定性,有人則排斥真正的隨機(jī)性。,拉姆斯、菲拉迪、薩維奇等人提出了和客觀概率相對(duì)應(yīng)的主觀概率的概念,認(rèn)為概率所反映的是主觀心理對(duì)事件發(fā)生所抱有的“信念程度”（degreeofbeliefs）,它既適應(yīng)于重復(fù)事件,也適應(yīng)于像臺(tái)海戰(zhàn)爭(zhēng)是否爆發(fā)這樣一類單一事件。大量的研究成果說明,概率主觀估算不僅有效,而且比沒有這種估算更可取。因此,主觀概率應(yīng)同客觀概率一樣被應(yīng)用,尤其在經(jīng)濟(jì)決策、

29、項(xiàng)目決策等問題上,主觀概率有其用武之地。,主觀概率和人們對(duì)此不確定事件的認(rèn)識(shí)（知識(shí)）有關(guān),概率的確定相當(dāng)于其知識(shí)狀態(tài)的反映。如甲乙兩人做游戲,拿一長一短兩根火柴,甲每次出一根,乙猜這根火柴是長還是短。如已進(jìn)行過6次,第1次為短,其余均為長,第7次出短的概率為多少？盡管第7次出長出短理應(yīng)獨(dú)立于前6次的結(jié)果,但乙會(huì)根據(jù)對(duì)甲性格的了解以及前5次甲出長的結(jié)果估計(jì)下一次出短的概率應(yīng)大于0.5。在這種場(chǎng)合,人們對(duì)事件實(shí)際發(fā)生的概率作出符合它們對(duì)事件發(fā)生可能性認(rèn)識(shí)的直覺判斷,稱為主觀概率。,人們常常根據(jù)長期積累的經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)預(yù)測(cè)與決策事件的了解,從而對(duì)事件發(fā)生的可能性大小作主觀估計(jì)。不同的人員對(duì)同一事件發(fā)

30、生的可能性有不同的相信程度,因此,主觀概率出現(xiàn)的答案可能會(huì)多種多樣。主觀概率與客觀概率一樣,必須滿足概率的三條基本公理。設(shè)p(Ai)為事件Ai發(fā)生的主觀概率,則它們滿足:(1)0≤p(Ai)≤1;(2)p(Ω)=1,Ω為樣本空間;(3)若Ai∩Aj=,i≠j,i,j=1,2,…,即Ai、Aj為互斥事件,則,主觀概率與客觀概率的主要區(qū)別是,主觀概率無法用試驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)的方法來檢驗(yàn)它的正確性。例如,在某項(xiàng)投標(biāo)中,一個(gè)投標(biāo)者認(rèn)為他提出的報(bào)價(jià)中標(biāo)的可能性是90％,失標(biāo)的可能性為10％；而另一個(gè)投標(biāo)者,在完全相同的情況下,則認(rèn)為中標(biāo)的可能性為70％,失標(biāo)的可能性為30％。對(duì)于這兩種主觀概率估

31、計(jì)是無法斷言哪個(gè)是正確的,即使中標(biāo)了也如此。盡管二者的含義不同,但在實(shí)用中兩者仍有密切聯(lián)系。按古典概率和統(tǒng)計(jì)概率定義求得的客觀概率可以作為判定主觀概率的基礎(chǔ)。如根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),4000次火警中有1000次錯(cuò)報(bào),則消防人員判斷火警錯(cuò)報(bào)的主觀概率可能就據(jù)此定為0.25,即使上述猜火柴長短的情況,判斷第7次出長的可能性較大,但仍然考慮到客觀概率為0.5這個(gè)“等可能性”的情況。,如果有兩根長火柴,一根短火柴,則可能作出另一種判斷?？梢哉f,客觀概率是判斷主觀概率所依據(jù)的重要知識(shí)。主觀概率雖不具有客觀概率那樣的可檢驗(yàn)性,但在許多經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目的預(yù)測(cè)和決策中,主觀概率法又是不可缺少的一種常用方法,特別是在歷史資料

32、既不齊全又不適用的條件下,常常采用主觀概率法進(jìn)行預(yù)測(cè)和決策。6.4.2主觀概率的判斷為了使主觀概率的概念能夠?qū)嵱?薩維奇提出了參考事態(tài)體的概念以判斷事件的主觀概率。以例說明：問題：產(chǎn)品A下季度銷售量大于3000臺(tái)的概率是多少？,設(shè)計(jì)兩個(gè)事態(tài)體：L1：產(chǎn)品A下季度銷量≥3000臺(tái),盈利1萬元；銷量<3000臺(tái),盈利2000元。L2：一個(gè)袋子里有100只球,設(shè)其中有紅球50只,白球50只。摸出紅球,得1萬元,摸出白球,得2000元。此即參考事態(tài)體。判斷者在這兩種事態(tài)體之間進(jìn)行辨優(yōu),并作出抉擇。如果此人根據(jù)已掌握的銷售情況,相信有50％以上的可能性銷售量會(huì)大于3000臺(tái),那他將會(huì)選

33、擇事態(tài)體L1。此時(shí),我們下一步變動(dòng)紅白球的組成,如80只紅球,20只白球,形成新的參考事態(tài)體。這時(shí),判斷者可能會(huì)選擇L2,意味著他認(rèn)為銷售量大于3000臺(tái)的概率不會(huì)超過80%。,然后減少紅球的數(shù)目,直到出現(xiàn)一種參考事態(tài)體,判斷者認(rèn)為和事態(tài)體L1等價(jià)。設(shè)此時(shí)紅球數(shù)為r,表明在r＋1個(gè)紅球時(shí)判斷者將選擇L2,在r-1個(gè)紅球時(shí)將選擇L1,在兩事態(tài)體等價(jià)時(shí)紅球出現(xiàn)的概率為r/100,即反映了判斷者對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中出現(xiàn)該事件的相信程度,此即主觀概率。在本例中,如選定的參考事態(tài)體由70只紅球、30只白球組成,則表示判斷者認(rèn)為下季度產(chǎn)品A的銷量大于3000臺(tái)的概率為0.7。這個(gè)過程可以繼續(xù)下去,以判斷銷售

34、量超出其它數(shù)量的概率,如按同樣步驟得出銷量超過1000臺(tái)、2000臺(tái)、4000臺(tái)、5000臺(tái)的主觀概率分別為0.9、0.85、0.45、0.25,則可給出圖6.9的概率分布曲線。,,圖6.9主觀概率分布曲線,求估主觀概率,除上述方法外,還有一種方法,稱為專家咨詢法。這種方法類似于Delphi法,即把要估計(jì)的概率和相關(guān)資料,聘請(qǐng)有經(jīng)驗(yàn)的專家進(jìn)行評(píng)估,填寫有關(guān)表格。待專家評(píng)估后,再作適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)處理,即可得到主觀概率的估計(jì)值。此時(shí),主觀期望效用值表達(dá)式為式中,f(pi)為主觀概率。這樣,我們把決策準(zhǔn)則從期望收益值推廣到期望效用值,再推廣到了主觀期望效用值。,思考與練習(xí),1．期望收益值作為決

35、策的準(zhǔn)則有什么不足？試舉例說明。2．什么是效用函數(shù)？如何確定效用函數(shù)?3．效用函數(shù)的構(gòu)造有哪些方法？各有什么特點(diǎn)？4．試以有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄為例對(duì)本章假設(shè)2（連續(xù)性）作以說明。,5．某零售商準(zhǔn)備外出組織貨源,有關(guān)資料經(jīng)預(yù)測(cè)列于下表。通過對(duì)該零售商的提問,已知u(3250)=1,u(2050)=0,u(2200)=0.5并基本確定其效用函數(shù)為u(x)=α+βln(x+θ)(1)用期望收益值準(zhǔn)則求行動(dòng)方案；(2)求解該零售商對(duì)此決策問題的效用函數(shù)；(3)用期望效用值準(zhǔn)則求行動(dòng)方案；(4)對(duì)應(yīng)用兩種準(zhǔn)則的決策結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。,6*．設(shè)某甲面臨一種事態(tài)體：先付60元進(jìn)行一次擲硬幣的博

36、弈,若出現(xiàn)正面則贏160元,若出現(xiàn)反面則一無所獲,即有事態(tài)體（100,-60；0.5）。設(shè)甲依期望效用值準(zhǔn)則行事,且其效用函數(shù)為乙也依期望效用值準(zhǔn)則行事,其效用函數(shù)為,x<-20,x≥-20,其中x為收益．(1)試分析兩人參加此項(xiàng)博弈的可能性；(2)假設(shè)甲愿意承擔(dān)此項(xiàng)博弈費(fèi)用的40%,乙愿承擔(dān)余下的60%。若贏,甲得64元，乙得96元。此時(shí)雙方是否會(huì)聯(lián)合參加此項(xiàng)博弈？7．某人的經(jīng)濟(jì)收益在-50元(即虧損50元)與300元之間。為了測(cè)定他的效用曲線,特進(jìn)行了如下對(duì)話：問：“如果有兩個(gè)方案A1與A2,方案A1為以0.5的概率獲300元的收益和以0.5的概率獲-50元的收益（即虧損50

37、元）,方案A2為以1的概率獲125元的收益。請(qǐng)問你喜歡哪一種方案？”答：“喜歡選擇A1方案。”,問：“把方案A2改為以1的概率獲多少元收益時(shí),你認(rèn)為方案A1與A2等價(jià)？”答：“195元?！豹枺骸叭绻桨窤1為以0.75的概率獲300元的收益和以0.25的概率獲-50元的收益,方案A2為以1的概率獲多少元收益時(shí),你認(rèn)為方案A1與A2等價(jià)？”答：“255元?！豹枺骸叭绻桨窤1改為以0.25的概率獲300元的收益和以0.75的概率獲-50元的收益,方案A2為以1的概率獲多少元收益時(shí),你認(rèn)為方案A1與A2等價(jià)？”答：“方案A2為以1的概率獲125元收益時(shí),方案A1與A2等價(jià)?！?問

38、：“如果方案A1為以p的概率獲300元的收益和以1-p的概率獲-50元的收益,方案A2為不盈不虧。如果p=0.05,你喜歡方案A1還是方案A2？”答：“喜歡選擇方案A1?！豹枺骸叭绻鹥=0.01呢？”答：“選擇方案A2?！豹枺骸叭绻鹥=0.03呢？”答：“選擇方案A1?！豹枺骸叭绻鹥=0.2呢？”答：“選擇方案A1與A2均可?！豹?問：“如果方案A1為以0.5的概率獲125元的收益和以0.5概率不盈不虧,那么方案A2為以1的概率獲多少元收益時(shí),方案A1與A2等價(jià)？”答：“80元。”假定u(300)=1,u(-50)=0。（1）根據(jù)上述對(duì)話,你能求出效用曲線上的哪些點(diǎn)？畫出它的效用曲線。（2）根據(jù)所作出的效用曲線找出150元的效用值。多少元的收益其效用值為0.6？(3)該決策者是屬于保守型還是冒險(xiǎn)型？,