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人教版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué) 27.2.1 第3課時(shí) 兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似 教案

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1、27.2.1 相似三角形的判定 第3課時(shí) 兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似                     1.理解“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”的含義,能分清條件和結(jié)論,并能用文字、圖形和符號(hào)語(yǔ)言表示;(重點(diǎn)) 2.會(huì)運(yùn)用“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”判定兩個(gè)三角形相似,并解決簡(jiǎn)單的問題.(難點(diǎn)) 一、情境導(dǎo)入 利用刻度尺和量角器畫兩個(gè)三角形,使它們的兩條對(duì)應(yīng)邊成比例,并且夾角相等.量一量第三條對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng),計(jì)算它們的比與前兩條對(duì)應(yīng)邊的比是否相等.另兩個(gè)角是否對(duì)應(yīng)相等?你能得出什么結(jié)論? 二、合作探究 探究點(diǎn):兩邊成比例且夾角相等的

2、兩個(gè)三角形相似 【類型一】 直接利用判定定理判定兩個(gè)三角形相似 已知:如圖,在△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)D、E分別是AB、CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn),CE=9,AD=15,連接DE.若BC=6,AC=8,求證:△ABC∽△DBE. 解析:首先利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng),再由已知條件可求出DB,進(jìn)而可得到DB∶AB的值,再計(jì)算出EB∶BC的值,繼而可判定△ABC∽△DBE. 證明:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,∴AB==10,∴DB=AD-AB=15-10=5,∴DB∶AB=1∶2.又∵EB=CE-BC=9-6=3,∴EB∶BC=1∶2,∴EB∶BC=DB∶AB,又

3、∵∠DBE=∠ABC=90°,∴△ABC∽△DBE. 方法總結(jié):解本題時(shí)一定要注意必須是兩邊對(duì)應(yīng)的夾角才行,還要注意一些隱含條件,如公共角、對(duì)頂角等. 變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第2題 【類型二】 添加條件使三角形相似 如圖,已知△ABC中,D為邊AC上一點(diǎn),P為邊AB上一點(diǎn),AB=12,AC=8,AD=6,當(dāng)AP的長(zhǎng)度為________時(shí),△ADP和△ABC相似. 解析:當(dāng)△ADP∽△ACB時(shí),=,∴=,解得AP=9.當(dāng)△ADP∽△ABC時(shí),=,∴=,解得AP=4,∴當(dāng)AP的長(zhǎng)度為4或9時(shí),△ADP和△ABC相似.故答案為4或9. 方法總結(jié):添加條件

4、時(shí),先明確已知的條件,再根據(jù)判定定理尋找需要的條件,對(duì)應(yīng)本題可先假設(shè)兩個(gè)三角形相似,再利用倒推法以及分類討論解答. 變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第5題 【類型三】 利用三角形相似證明等積式 如圖,CD是Rt△ABC斜邊AB上的高,E為BC的中點(diǎn),ED的延長(zhǎng)線交CA的延長(zhǎng)線于F.求證:AC·CF=BC·DF. 解析:先證明△ADC∽△CDB可得=,再結(jié)合條件證明△FDC∽△FAD,可得=,則可證得結(jié)論. 證明:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠DAC+∠B=∠B+∠DCB=90°,∴∠DAC=∠DCB,且∠ADC=∠CDB,∴△ADC∽△CDB,∴=.∵E

5、為BC的中點(diǎn),CD⊥AB,∴DE=CE,∴∠EDC=∠DCE,∵∠EDC+∠FDA=∠ECD+∠ACD,∴∠FCD=∠FDA,又∠F=∠F,∴△FDC∽△FAD,∴=,∴=,∴AC·CF=BC·DF. 方法總結(jié):證明等積式或比例式的方法:把等積式或比例式中的四條線段分別看成兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊,然后證明兩個(gè)三角形相似,得到要證明的等積式或比例式. 【類型四】 利用相似三角形的判定進(jìn)行計(jì)算 如圖所示,BC⊥CD于點(diǎn)C,BE⊥DE于點(diǎn)E,BE與CD相交于點(diǎn)A,若AC=3,BC=4,AE=2,求CD的長(zhǎng). 解析:因?yàn)锳C=3,所以只需求出AD即可求出CD.可證明△ABC與△ADE相似,再

6、利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AD. 解:在Rt△ABC中,由勾股定理可得AB===5.∵BC⊥CD,BE⊥DE,∴∠C=∠E,又∵∠CAB=∠EAD,∴△ABC∽△ADE,∴=,即=,解得AD=,∴CD=AD+AC=+3=. 方法總結(jié):利用相似三角形的判定進(jìn)行邊角計(jì)算時(shí),應(yīng)先利用條件證明三角形相似或通過作輔助線構(gòu)造相似三角形,然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等和對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解. 變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題 【類型五】 利用相似三角形的判定解決動(dòng)點(diǎn)問題 如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,5AC-3AB=0,點(diǎn)P從B出發(fā),沿BC方向以2c

7、m/s的速度移動(dòng),與此同時(shí)點(diǎn)Q從C出發(fā),沿CA方向以1cm/s的速度移動(dòng),經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間△ABC和△PQC相似? 解析:由AC與AB的關(guān)系,設(shè)出AC=3xcm,AB=5xcm,在直角三角形ABC中,利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值,進(jìn)而得到AB與AC的長(zhǎng).然后設(shè)出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts,根據(jù)相應(yīng)的速度分別表示出PC與CQ的長(zhǎng),由△ABC和△PQC相似,根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不同分兩種情況列出比例式,把各邊的長(zhǎng)代入即可得到關(guān)于t的方程,求出方程的解即可得到t的值,從而得到所有滿足題意的時(shí)間t的值. 解:由5AC-3AB=0,得到5AC=3AB,設(shè)AB為5xcm,則AC=3xcm,在

8、Rt△ABC中,由BC=8cm,根據(jù)勾股定理得25x2=9x2+64,解得x=2或x=-2(舍去),∴AB=5x=10cm,AC=3x=6cm.設(shè)經(jīng)過t秒△ABC和△PQC相似,則有BP=2tcm,PC=(8-2t)cm,CQ=tcm,分兩種情況:①當(dāng)△ABC∽△PQC時(shí),有=,即=,解得t=;②當(dāng)△ABC∽△QPC時(shí),有=,即=,解得t=.綜上可知,經(jīng)過或秒△ABC和△PQC相似. 方法總結(jié):本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不同,分兩種情況△ABC∽△PQC與△ABC∽△QPC分別列出比例式來解決問題. 變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題 三、板書設(shè)計(jì) 1.三角形相似的判定定理: 兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似; 2.應(yīng)用判定定理解決簡(jiǎn)單的問題. 本節(jié)課采用探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法和參與式教學(xué)法為主,利用多煤體引導(dǎo)學(xué)生始終參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)的全過程中,處于主動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài).采用動(dòng)手實(shí)踐,自主探索與合作交流的學(xué)習(xí)方法,使學(xué)生積極參與教學(xué)過程.在教學(xué)過程中展開思維,培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力,進(jìn)一步理解觀察、類比、分析等數(shù)學(xué)思想.

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