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1、2.1.2 數(shù)列的遞推公式,觀察數(shù)列an,a1=2,a2=4,a3=8,a4=16, 即a1=2,從第2項(xiàng)開始,每一項(xiàng)是它前一項(xiàng)的2倍,因此該數(shù)列可以用如下方式給出:,a1=2, an=2an1,(n=2,3,4,),再如數(shù)列,由操作計(jì)算器給出:,a1=1, an=cos(an1),(n=2,3,4,),如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且從第2項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式,遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。,數(shù)列的遞推公式,a1=a, an=f(an1),(n=2,3,4,),例1已知數(shù)列an的第1
2、項(xiàng)是2,以后各項(xiàng)由公式 給出,寫出這個數(shù)列的前5項(xiàng).,解:a1=2,,例2. 已知直線l:y=x與曲線c: (如圖所示),過曲線c上橫坐標(biāo)為1的一點(diǎn)P1作x軸的平行線交l于Q2,過Q2作x軸的垂線交曲線c于P2,再過P2作x軸的平行線交l于Q3,過Q3作x軸的垂線交曲線c于P3,設(shè)點(diǎn)P1,P2,Pn,的縱坐標(biāo)分別為a1,a2,an,試求數(shù)列an的遞推公式。,解:由題意,點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為1,縱坐標(biāo)為a1= ,,點(diǎn)Qn+1與Pn的縱坐標(biāo)相同,都是an, 同時點(diǎn)Pn+1與Qn+1的橫坐標(biāo)相等,,點(diǎn)Pn+1在曲線c: 上,,由橫坐標(biāo)得它的縱坐標(biāo)為,即,這就是數(shù)列an的遞推公式。,例3. 根據(jù)下列各個數(shù)
3、列an的首項(xiàng)及其遞推公式,寫出數(shù)列的前5項(xiàng),并歸納出通項(xiàng)公式: (1)a1=0,an+1=an+(2n1),nN+; (2)a1=1, , nN+;,解:(1)因?yàn)閍1=0,an+1=an+(2n1),nN+; 所以, a2=1 , a3=4, a4=9, a5=16 , 歸納出它的通項(xiàng)公式是an=(n1)2 。,(2)a1=1, , nN+;,解:,歸納出它的通項(xiàng)公式是,例4. 數(shù)列an中,a1=1,對于所有的n2且nN+,都有 (1)求a3+a5; (2) 是此數(shù)列中的項(xiàng)嗎?,解法1:(1)因?yàn)?所以,兩式相除得 n2,nN+,,所以,解法2:(1)因?yàn)?,,所以,解得a2=4,,又,解得,同理可得,解:(2)令,則,解得n=16.,所以 是此數(shù)列中的一項(xiàng)。,(2) 是此數(shù)列中的項(xiàng)嗎?,