《第二講 等 比 數(shù) 列數(shù)列的求和》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第二講 等 比 數(shù) 列數(shù)列的求和（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二講 等 比 數(shù) 列 數(shù)列的求和1. 等比數(shù)列的概念(1) 文字語(yǔ)言：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列(2) 符號(hào)語(yǔ)言：_q(nN，q是等比數(shù)列的公比)2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：設(shè)an是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，則第n項(xiàng)ana1qn1 推廣：anamq(nm)3. 等比中項(xiàng)：若a，G，b成等比數(shù)列，則G為a和b的等比中項(xiàng)且G4. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1) 當(dāng)q1時(shí)，Snna1 (2) 當(dāng)q1時(shí)，Sn5. 等比數(shù)列的性質(zhì)(1) anamqnm(2) 等比數(shù)列an中，對(duì)任意的m、n、p、qN*，若mnpq，則amanapaq特殊的

2、，若mn2p，則amana(3) 等比數(shù)列an中依次每m項(xiàng)的和仍成等比數(shù)列，即Sm、S2mSm、S3mS2m、仍成等比數(shù)列，其公比為qm(q1)6. 當(dāng)已知數(shù)列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)an.7. 當(dāng)已知數(shù)列an中，滿足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用迭乘法求數(shù)列的通項(xiàng)an.8. (1) an(2) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn，推導(dǎo)方法：倒序相加法(3) 等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn 推導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減法9. 常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和：(1) 123n； (2) 2462nn(n1)；(3) 135(2n1)n2； (4) 122232

3、n210. (1) 分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列(2) 拆項(xiàng)相消：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成二項(xiàng)差的形式，相加過(guò)程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和(3) 錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和(4) 倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法11. 常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ().1.等比數(shù)列an中，a10，a2a42a3a5a4a636，則a3a5_答案：6 解析：a2a42a3a5a4a6(a3a5)236，又a10， a3，a50， a3a56.2. 已知數(shù)列an中，a11，(n1)an1nan(nN*)，

4、則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an_答案：an 解析：.3. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an，則S4_答案： 解析：an， S41.4.數(shù)列1，2，3，4，的前n項(xiàng)和是 _ 答案：Sn1解析：Sn(123n)1.題型1等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，3Snan1(nN)(1) 求a1，a2； (2) 求證：數(shù)列an是等比數(shù)列； (3) 求an和Sn.(1) 解：由3S1a11，得3a1a11， a1. 又3S2a21，即3a13a2a21，得a2.(2) 證明：當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(an1)(an11)，得，所以an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列(3) 解：由(2)可得ann， S

5、n.1 在數(shù)列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1) 求證：數(shù)列ann是等比數(shù)列； (2) 求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；(3) 求證：不等式Sn14Sn對(duì)任意nN*皆成立(1) 證明：由題設(shè)an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.又a111，所以數(shù)列ann是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列(2) 解：由(1)可知ann4n1，于是數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n1n，所以數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.(3) 證明：對(duì)任意的nN*，Sn14Sn4(3n2n4)0，所以不等式Sn14Sn對(duì)任意nN*皆成立題型2等比數(shù)列的性質(zhì)例2已知等比數(shù)列an中，a232，a8，an1an.(1)

6、求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)Tnlog2a1log2a2log2an，求Tn的最大值及相應(yīng)的n值解：(1) q6， an10，且即解得或(舍)， 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an33n13n，nN(2) 由(1)可得bnlog3ann，所以anbnn3n. 所以Sn13232333n3n，所以3Sn132233334n3n1，兩式相減得，2Sn3(32333n)n3n1(332333n)n3n1n3n1，所以數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn.6 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn3n1.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2) 若bnlog(Sn1)，求數(shù)列bnan的前n項(xiàng)和Tn.解：(1) 當(dāng)n1時(shí)，a1

7、S12，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1， 綜上所述，an23n1.(2) bnlog(Sn1)log3nn， 所以bnan2n3n1，Tn214316322n3n1， 3Tn2314322(n1)3n12n3n， 相減，得2Tn2123123223n12n3n 2(131323n1)2n3n，所以Tn(131323n1)n3nn3n，nN*.1.已知數(shù)列an滿足3an1an0，a2，則an的前10項(xiàng)和為_(kāi)答案：3(1310) 解析：q，a14，則S103(1310)2.若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snan，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an_答案：an(2)n1解析：Snan，Sn1

8、an1(n2)，相減得ananan1，即an2an1(n2)又S1a1，即a11，故an(2)n1.3.等差數(shù)列an中，a74，a192a9.(1) 求an的通項(xiàng)公式； (2) 設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1) 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)d，因?yàn)樗越獾胊11，d. 所以an的通項(xiàng)公式為an.(2) bn， 所以Sn .4.設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a10，2ana1S1Sn，nN(1) 求a1，a2，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和解：(1) S1a1. 當(dāng)n1時(shí)，2a1a1S1S1a10，a11.當(dāng)n1時(shí)，anSnSn12an2an

9、1an2an1an是首項(xiàng)為a11公比為q2的等比數(shù)列，an2n1，nN*.(2) 設(shè)Tn1a12a23a3nan qTn1qa12qa23qa3nqanqTn1a22a33a4nan1， 上式左右錯(cuò)位相減：(1q)Tna1a2a3annan1a1nan12n1n2n Tn(n1)2n1，nN*.1. 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1an66，a2an1128，Sn126，求n和公比q的值解：解法1：在等比數(shù)列an中，a1ana2an1128.又a1an66， 解得或q1. 由ana1qn1和Sn126，得或解得或綜上所述，n的值為6，q2或.2. 已知等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，且滿足a4a

10、715，a3a88.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 令bn(n2)，b1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1) 根據(jù)題意：a3a88a4a7，a4a715，知：a4，a7是方程x28x150的兩根，且a40，q1或者a10，0q0，0q1或者a11時(shí)，等比數(shù)列an遞減；當(dāng)q0時(shí)，等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，等比數(shù)列為常數(shù)列；函數(shù)的思想：用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)理解和掌握等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式4. 巧用性質(zhì)，減少運(yùn)算量，在解題中非常重要5. an的兩種常見(jiàn)變形ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(累加法)ana1(累乘法)6. 數(shù)列求和的方法技能 倒序相加 錯(cuò)位相減 分組求和 拆項(xiàng)相消