《第二講 等 比 數(shù) 列數(shù)列的求和》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《第二講 等 比 數(shù) 列數(shù)列的求和(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二講 等 比 數(shù) 列 數(shù)列的求和1. 等比數(shù)列的概念(1) 文字語(yǔ)言:如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列(2) 符號(hào)語(yǔ)言:_q(nN,q是等比數(shù)列的公比)2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:設(shè)an是首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列,則第n項(xiàng)ana1qn1 推廣:anamq(nm)3. 等比中項(xiàng):若a,G,b成等比數(shù)列,則G為a和b的等比中項(xiàng)且G4. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1) 當(dāng)q1時(shí),Snna1 (2) 當(dāng)q1時(shí),Sn5. 等比數(shù)列的性質(zhì)(1) anamqnm(2) 等比數(shù)列an中,對(duì)任意的m、n、p、qN*,若mnpq,則amanapaq特殊的
2、,若mn2p,則amana(3) 等比數(shù)列an中依次每m項(xiàng)的和仍成等比數(shù)列,即Sm、S2mSm、S3mS2m、仍成等比數(shù)列,其公比為qm(q1)6. 當(dāng)已知數(shù)列an中,滿足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)an.7. 當(dāng)已知數(shù)列an中,滿足f(n),且f(1)f(2)f(n)可求,則可用迭乘法求數(shù)列的通項(xiàng)an.8. (1) an(2) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn,推導(dǎo)方法:倒序相加法(3) 等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn 推導(dǎo)方法:錯(cuò)位相減法9. 常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和:(1) 123n; (2) 2462nn(n1);(3) 135(2n1)n2; (4) 122232
3、n210. (1) 分組求和:把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列(2) 拆項(xiàng)相消:有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成二項(xiàng)差的形式,相加過(guò)程消去中間項(xiàng),只剩有限項(xiàng)再求和(3) 錯(cuò)位相減:適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和(4) 倒序相加:例如,等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法11. 常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有:(1) ; (2) ;(3) ; (4) ().1.等比數(shù)列an中,a10,a2a42a3a5a4a636,則a3a5_答案:6 解析:a2a42a3a5a4a6(a3a5)236,又a10, a3,a50, a3a56.2. 已知數(shù)列an中,a11,(n1)an1nan(nN*),
4、則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an_答案:an 解析:.3. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若an,則S4_答案: 解析:an, S41.4.數(shù)列1,2,3,4,的前n項(xiàng)和是 _ 答案:Sn1解析:Sn(123n)1.題型1等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,3Snan1(nN)(1) 求a1,a2; (2) 求證:數(shù)列an是等比數(shù)列; (3) 求an和Sn.(1) 解:由3S1a11,得3a1a11, a1. 又3S2a21,即3a13a2a21,得a2.(2) 證明:當(dāng)n2時(shí),anSnSn1(an1)(an11),得,所以an是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列(3) 解:由(2)可得ann, S
5、n.1 在數(shù)列an中,a12,an14an3n1,nN*.(1) 求證:數(shù)列ann是等比數(shù)列; (2) 求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn;(3) 求證:不等式Sn14Sn對(duì)任意nN*皆成立(1) 證明:由題設(shè)an14an3n1,得an1(n1)4(ann),nN*.又a111,所以數(shù)列ann是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列(2) 解:由(1)可知ann4n1,于是數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n1n,所以數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.(3) 證明:對(duì)任意的nN*,Sn14Sn4(3n2n4)0,所以不等式Sn14Sn對(duì)任意nN*皆成立題型2等比數(shù)列的性質(zhì)例2已知等比數(shù)列an中,a232,a8,an1an.(1)
6、求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2) 設(shè)Tnlog2a1log2a2log2an,求Tn的最大值及相應(yīng)的n值解:(1) q6, an10,且即解得或(舍), 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an33n13n,nN(2) 由(1)可得bnlog3ann,所以anbnn3n. 所以Sn13232333n3n,所以3Sn132233334n3n1,兩式相減得,2Sn3(32333n)n3n1(332333n)n3n1n3n1,所以數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn.6 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn3n1.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2) 若bnlog(Sn1),求數(shù)列bnan的前n項(xiàng)和Tn.解:(1) 當(dāng)n1時(shí),a1
7、S12,當(dāng)n2時(shí),anSnSn1(3n1)(3n11)23n1, 綜上所述,an23n1.(2) bnlog(Sn1)log3nn, 所以bnan2n3n1,Tn214316322n3n1, 3Tn2314322(n1)3n12n3n, 相減,得2Tn2123123223n12n3n 2(131323n1)2n3n,所以Tn(131323n1)n3nn3n,nN*.1.已知數(shù)列an滿足3an1an0,a2,則an的前10項(xiàng)和為_(kāi)答案:3(1310) 解析:q,a14,則S103(1310)2.若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snan,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an_答案:an(2)n1解析:Snan,Sn1
8、an1(n2),相減得ananan1,即an2an1(n2)又S1a1,即a11,故an(2)n1.3.等差數(shù)列an中,a74,a192a9.(1) 求an的通項(xiàng)公式; (2) 設(shè)bn,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解:(1) 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則ana1(n1)d,因?yàn)樗越獾胊11,d. 所以an的通項(xiàng)公式為an.(2) bn, 所以Sn .4.設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知a10,2ana1S1Sn,nN(1) 求a1,a2,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2) 求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和解:(1) S1a1. 當(dāng)n1時(shí),2a1a1S1S1a10,a11.當(dāng)n1時(shí),anSnSn12an2an
9、1an2an1an是首項(xiàng)為a11公比為q2的等比數(shù)列,an2n1,nN*.(2) 設(shè)Tn1a12a23a3nan qTn1qa12qa23qa3nqanqTn1a22a33a4nan1, 上式左右錯(cuò)位相減:(1q)Tna1a2a3annan1a1nan12n1n2n Tn(n1)2n1,nN*.1. 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1an66,a2an1128,Sn126,求n和公比q的值解:解法1:在等比數(shù)列an中,a1ana2an1128.又a1an66, 解得或q1. 由ana1qn1和Sn126,得或解得或綜上所述,n的值為6,q2或.2. 已知等差數(shù)列an是遞增數(shù)列,且滿足a4a
10、715,a3a88.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2) 令bn(n2),b1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解:(1) 根據(jù)題意:a3a88a4a7,a4a715,知:a4,a7是方程x28x150的兩根,且a40,q1或者a10,0q0,0q1或者a11時(shí),等比數(shù)列an遞減;當(dāng)q0時(shí),等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列;當(dāng)q1時(shí),等比數(shù)列為常數(shù)列;函數(shù)的思想:用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)理解和掌握等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式4. 巧用性質(zhì),減少運(yùn)算量,在解題中非常重要5. an的兩種常見(jiàn)變形ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(累加法)ana1(累乘法)6. 數(shù)列求和的方法技能 倒序相加 錯(cuò)位相減 分組求和 拆項(xiàng)相消