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1、第四章量綱分析和相似原理,第一節(jié)量綱分析的意義和量綱和諧原理,一、量綱的概念,單位（Unit）：量度各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)量，稱單位。如長度單位為m或cm等?！傲俊钡谋碚?。,量綱（Dimension）：撇開單位的大小，表征物理量的性質(zhì)和類別。如長度量綱為L?！百|(zhì)”的表征。,基本量綱（FundamentalDimension）：具有獨(dú)立性的，不能由其他量綱推導(dǎo)出來的量綱叫做基本量綱。一般取質(zhì)量M，長度L、時間T、即M-L-T為基本量綱體系。,導(dǎo)出量綱（DerivedDimension）:是指由基本量綱導(dǎo)出的量綱。,A=L2,=ML-3,F=MLT-2,量綱公式:,某一物理量q的量綱q都可用3個

2、基本量綱的指數(shù)乘積形式表示,二、無量綱量,當(dāng),無量綱量可由兩個具有相同量綱的物理量相比得到；可由幾個有量綱物理量乘除組合，使組合量的量綱指數(shù)為零得到。,特點(diǎn)：(1)無量綱量的大小與所選單位無關(guān)，具有客觀性；(2)不受運(yùn)動規(guī)模的影響，模型與原型常用同一無量綱數(shù)；(3)在超越函數(shù)（對數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)）運(yùn)算中，均應(yīng)用無量綱量。,三、量綱和諧原理（TheoryofDimensionalHomogeneity）,凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱都必須是一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。這稱為量綱和諧原理。,量綱和諧原理的重要性：,b、根據(jù)量綱和諧原理可用來確定公式中物理量的指數(shù)

3、。,c、可用來建立物理方程式的結(jié)構(gòu)形式。為科學(xué)地組織實(shí)驗(yàn)過程、整理實(shí)驗(yàn)成果提供理論指導(dǎo)。,a、一個方程在量綱上應(yīng)是和諧的，所以可用來檢驗(yàn)物理方程或經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和完整性。,第二節(jié)量綱分析法,一、瑞利法（Rayleigh）,瑞利法是量綱和諧原理的直接應(yīng)用。,具體分析步驟如下：,1、確定與所研究的物理現(xiàn)象有關(guān)的n個物理量；,2、寫出各物理量之間的指數(shù)乘積的形式，如：,3、根據(jù)量綱和諧原理，即等式兩端的量綱應(yīng)該相同，確定物理量的指數(shù)a，b，p，代入指數(shù)方程式即得各物理量之間的關(guān)系式。,應(yīng)用范圍：一般情況下，要求相關(guān)物理量個數(shù)n不超過4個，待求量綱指數(shù)不超過3個。,【例4-1】求水泵輸出功率的表達(dá)式

4、【例4-2】求圓管層流的流量關(guān)系式（P74）,二、布金漢（Buckingham）定理（定理）,若某一物理過程包含n個物理量，即,其中有m個基本量（量綱獨(dú)立，不能相互導(dǎo)出的物理量）,則該物理過程可由n個物理量構(gòu)成的nm個無量綱項(xiàng)所表達(dá)的關(guān)系式來描述，即,定理的解題步驟：,（1）確定關(guān)系式：根據(jù)對所研究的現(xiàn)象的認(rèn)識，確定影響這個現(xiàn)象的各個物理量及其關(guān)系式：,（2）確定基本變量：從n個物理量中選取m個基本物理量，一般取m=3，如q1、q2、q3。在管流中，一般選d，，三個作基本變量，而在明渠流中，則常選用H，，。,（3）基本變量依次與其余物理量組成項(xiàng)，即,,（4）滿足為無量綱項(xiàng)，定出上面各項(xiàng)中基本量

5、的指數(shù)ai,bi,ci,（5）整理方程式,選擇基本變量的原則：1）基本變量與基本量綱相對應(yīng)。即若各物理量中基本量綱（M，L，T）出現(xiàn)三個，那么基本變量也選三個；倘若基本量綱只出現(xiàn)兩個，則基本變量只須選擇兩個。2）選擇基本變量時，應(yīng)選擇重要的變量。換句話說，不要選擇次要的變量作為基本變量，否則次要的變量在大多數(shù)項(xiàng)中出現(xiàn)，往往使問題復(fù)雜化，甚至要重新求解。3）不能有任何兩個基本變量的量綱是完全一樣的，換言之，基本變量應(yīng)在每組量綱中只能選擇一個。,應(yīng)用范圍：對相關(guān)物理量個數(shù)n沒有限制，應(yīng)用更為普遍。,例用布金漢定理確定圓管流動中邊壁切應(yīng)力的表達(dá)式0。已知0與液體的密度，液體的動力沾滯系數(shù)，圓管直徑D

6、，管壁材料的粗糙度以及管中斷面平均流速有關(guān)。,解f（D、v、、0、、）=0從各獨(dú)立影響因素中選取D（幾何量）、（運(yùn)動量）、（動力量）為基本量建立（63）項(xiàng)：,對1：,同理求得,將各代入得,整理得,令，則,例題：管中紊流，單位管長沿程水頭損失hf/L，取決于下列因素：流速v，管徑D，重力g，動力粘度，管壁粗糙高度和密度。試用定理分析確定方程的一般形式。,解：,取v，d，為基本變量，則的個數(shù)n-m=7-3=4,進(jìn)行量綱分析，則有,a1=0，b1=0，c1=0a2=1，b2=1，c2=1a3=0，b3=1，c3=0a4=2，b4=-1，c4=0,,即,解得：,第三節(jié)相似原理,一、流動相似,原型(Pr

7、ototype)：天然水流和實(shí)際建筑物稱為原型。模型(Model)：通常把原型（工程實(shí)物）按一定比例關(guān)系縮?。ɑ蚍糯螅┑拇砦铮Q為模型。,水力學(xué)模型試驗(yàn)的目的：利用模型水流來模擬和研究原型水流問題。,關(guān)鍵問題：使模型水流和原型水流保持流動相似。,流動相似：若兩個流動的對應(yīng)點(diǎn)上的同名物理量（如速度、壓強(qiáng)及各種作用力等）具有各自的固定比例關(guān)系，則這兩個流動就是相似的。,模型和原型保證流動相似，應(yīng)滿足：幾何相似運(yùn)動相似動力相似初始條件和邊界條件相似,1.幾何相似（geometricsimilarity）,指原型和模型兩個流場的幾何形狀相似，即對應(yīng)的線段長度成比例、夾角相等。,以腳標(biāo)p表示原型、m表

8、示模型，則有,長度比尺,面積比尺,體積比尺,2.運(yùn)動相似（kinematicsimilarity）,指原型和模型流體運(yùn)動的速度場相似，即兩流場各相應(yīng)點(diǎn)（包括邊界上各點(diǎn)）的速度u及加速度a方向相同，且大小具有同一比值。,速度比尺,加速度比尺,3.動力相似（dynamicsimilarity）,指原型和模型流動相應(yīng)點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)受同名力作用，力的方向相同，大小成比例。,分別以符號T、G、P、Tw和I代表影響流體運(yùn)動的作用力，如粘滯力、重力、壓力、表面張力和慣性力，則有,力的比尺,4.初始條件和邊界條件相似,邊界條件相似指兩個流動相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，如原型中有固體壁面，模型中相應(yīng)部分也是固體壁面；原型中的自

9、由液面，模型相應(yīng)部分也是自由液面。,對于非恒定流動，還要滿足初始條件相似；而對于恒定流動，無需初始條件相似。,流動相似的進(jìn)一步解釋：邊界條件和初始條件相似以及幾何相似是流動相似的前提與依據(jù)；動力相似是決定流體運(yùn)動相似的主導(dǎo)因素；運(yùn)動相似是幾何相似和動力相似的最終表現(xiàn)，是流動相似的目標(biāo)；凡流動相似的原型與模型流動，必然同時滿足幾何相似、動力相似和運(yùn)動相似。,二、動力相似準(zhǔn)則,動力相似準(zhǔn)則：在兩相似的流動中，各種力之間保持某種固定不變的比例關(guān)系。,1、雷諾（粘滯力）準(zhǔn)則,考慮原型與模型之間粘滯力與慣性力的關(guān)系,,無量綱數(shù)Re稱雷諾數(shù)（Reynoldsnumber）,雷諾數(shù)表示慣性力與粘滯力之比。兩

10、相似流動，粘滯力起主要作用時，雷諾數(shù)相等。,適用范圍：水流阻力即粘滯力起主要作用的有壓流動，如層流狀態(tài)下的管道、隧洞中的有壓流動和潛體繞流問題等。,2.弗勞德（重力）準(zhǔn)則,考慮原型與模型之間重力與慣性力的關(guān)系,,弗勞德數(shù)（Froudenumber）表征慣性力與重力之比。兩相似流動，重力起主要作用時，弗勞德數(shù)相等。,適用范圍：凡有自由水面并且允許水面上下自由變動的各種流動（重力起主要作用的流動），如堰壩溢流、孔口出流、明槽流動、紊流阻力平方區(qū)的有壓管流與隧洞流動等。,3.歐拉（壓力）準(zhǔn)則,考慮原型與模型之間壓力與慣性力的關(guān)系,,歐拉數(shù)（Eulernumber）表征壓力與慣性力之比。兩相似流動，壓

11、力起主要作用時，歐拉數(shù)相等。,由于壓力通常是待求量，這樣只要粘滯力、重力相似，壓力將自行相似。換言之，當(dāng)雷諾準(zhǔn)則、弗勞德準(zhǔn)則成立時，歐拉準(zhǔn)則可自行成立。,4.韋伯（表面張力）準(zhǔn)則,考慮原型與模型之間表面張力與慣性力的關(guān)系,,韋伯?dāng)?shù)（Webernumber）表征慣性力與表面張力之比。兩相似流動，表面張力起主要作用時，韋伯?dāng)?shù)相等。,5.馬赫準(zhǔn)則（馬赫數(shù)）,高速氣流中，考慮原型與模型之間彈性力與慣性力的關(guān)系,,馬赫數(shù)（Machnumber）表征慣性力與彈性力之比。兩相似流動，彈性力起主要作用時（如水擊，空氣動力學(xué)中的亞音速或超音速運(yùn)動等），馬赫數(shù)相等。,思考：,為什么每個相似準(zhǔn)則都要表征慣性力？,作

12、用在流體上的力除慣性力是企圖維持流體原來運(yùn)動狀態(tài)的力外，其他力都是企圖改變運(yùn)動狀態(tài)的力。如果把作用在流體上的各力組成一個力多邊形的話，那么慣性力則是這個力多邊形的合力，即牛頓定律，流動的變化就是慣性力與其他上述各種力相互作用的結(jié)果。因此各種力之間的比例關(guān)系應(yīng)以慣性力為一方來相互比較。,第四節(jié)模型實(shí)驗(yàn),建立與原型相似的小尺度模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，并以模型實(shí)驗(yàn)的結(jié)果預(yù)測原型將會發(fā)生的流動現(xiàn)象及規(guī)律。,一、模型律的選擇,為了使模型和原型流動完全相似，除要幾何相似外，各獨(dú)立的相似準(zhǔn)則應(yīng)同時滿足。但實(shí)際上要同時滿足各準(zhǔn)則很困難，甚至是不可能的。（見書上推導(dǎo)）,原型與模型流動雷諾數(shù)相等的這個相似條件，稱為雷諾

13、模型律。原型與模型流動弗勞德數(shù)相等的這個相似條件，稱為弗勞德模型律。,模型實(shí)驗(yàn)想做到與原型完全流動相似是困難的，一般只能達(dá)到近似相似，就是保證對流動起主要作用的力相似，這就是模型律的選擇問題。,實(shí)際模型試驗(yàn)中，根據(jù)流動的特點(diǎn)，抓住主要矛盾。在幾何相似的基礎(chǔ)上，只滿足雷諾模型律，或者只滿足弗勞德模型律，或者兩者都不滿足（處于自模區(qū)，只需滿足幾何相似），即可近似認(rèn)為流動相似，在主要方面滿足試驗(yàn)要求。,二、模型設(shè)計(jì),步驟：,1、通常是先根據(jù)實(shí)驗(yàn)場地，模型制做和量測條件定出長度比尺l；再以選定的比尺縮小原型的幾何尺寸，得出模型區(qū)的幾何邊界；,2、根據(jù)對流動受力情況分析，滿足對流動起主要作用的力相似，抓住主要矛盾選擇模型律；,3、最后按所選用的相似準(zhǔn)則，確定流速比尺v及模型的流量。,例題：書P84,例長度比l=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牽引前進(jìn)時，測得波浪阻力為0.02N。求（1）原型中的波浪阻力；2）原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的功率？,解由于重力在起主要作用，所以原型和模型的弗勞德數(shù)應(yīng)相等,由于gp=gm，故上式可寫成,或,由于,所以,