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1、1,E(X+Y)=E(X)+E(Y),,,E(XY)=E(X)E(Y).,,2,性質(zhì)4的逆命題不成立，即,若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定相互獨立.,反例,注,3,但,4,若X0，且EX存在，則EX0。,推論:若XY，則EXEY。,證明：設X為連續(xù)型，密度函數(shù)為f(x),則由X0得：,所以,證明：由已知Y-X0，則E(Y-X)0。而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，E(X)E(Y)。,,,,,5,性質(zhì)2和3,性質(zhì)4,例1.設XN(10,4)，YU1,5，且X與Y相互獨立，求E(3X2XYY5)。,解：,由已知，有E(X)10,E(Y)3.,,6,例2.(二項分布B(n,p))

2、設單次實驗成功的概率是p，問n次獨立重復試驗中，期望幾次成功？,解:引入,則XX1+X2++Xn是n次試驗中的成功次數(shù)。,因此，,這里，XB(n,p)。,,7,,例3.將4個可區(qū)分的球隨機地放入4個盒子中,每盒容納的球數(shù)無限,求空著的盒子數(shù)的數(shù)學期望.,解一:設X為空著的盒子數(shù),則X的概率分布為,,8,解二:再引入Xi,i=1,2,3,4.,9,例4.將n個球放入M個盒子中,設每個球落入各個盒子是等可能的,求有球的盒子數(shù)X的期望。,解:,引入隨機變量:,則X=X1+X2++XM,于是,E(X)=E(X1)+E(X2)++E(XM).,每個隨機變量Xi都服從兩點分布,i=1,2,,M.,,10,

3、因為每個球落入每個盒子是等可能的均為1/M,所以，對第i個盒子,沒有一個球落入這個盒子內(nèi)的概率為(1-1/M).,故，n個球都不落入這個盒子內(nèi)的概率為(1-1/M)n,即:,,11,注：129頁4.27以此題為模型。,12,例5.用某臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知正品率隨著該機器所用次數(shù)的增加而指數(shù)下降，即P第k次生產(chǎn)出的產(chǎn)品是正品=,假設每次生產(chǎn)100件產(chǎn)品，試求這臺機器前10次生產(chǎn)中平均生產(chǎn)的正品總數(shù)。,解：,設X是前10次生產(chǎn)的產(chǎn)品中的正品數(shù)，并設,,13,例5.（續(xù)）,14,例6.某廠家的自動生產(chǎn)線，生產(chǎn)一件正品的概率為p(0

4、元，正品的價格為s元，次品不能出售。這樣，廠家生產(chǎn)一件正品獲利sc元，生產(chǎn)一件次品虧損c元（假定每個產(chǎn)品的生產(chǎn)過程是相互獨立的）。若生產(chǎn)了N件產(chǎn)品，問廠家所獲利潤的期望值是多少？,15,解：設第j個產(chǎn)品的利潤,則為N件產(chǎn)品的總利潤。,由已知,16,,前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望，它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均，是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征.,但是在一些場合，僅僅知道隨機變量取值的平均是不夠的.,4.2隨機變量的方差,17,例如,甲、乙兩門炮同時向一目標射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標的位置如圖：,你認為哪門炮射擊效果好一些呢?,甲炮射擊結果,乙炮射擊結果,因為乙炮的彈著點較集中在中心附近，所以乙

5、炮的射擊效果好.,18,為此需要引進另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機變量取值在其中心附近的離散程度.,這個數(shù)字特征就是我們下面要介紹的,方差,19,設隨機變量X的數(shù)學期望為E(X),若E(X-E(X))2存在,則稱它為X的方差（此時，也稱X的方差存在)，記為Var(X)或D(X),即,定義,稱Var(X)的算術平方根,,為X的標準差或均方差，記為(X).,A.方差的概念,Var(X)=E(X-E(X))2,,20,若X的取值比較分散，則方差較大.,刻劃了隨機變量的取值相對于其數(shù)學期望的離散程度。,若X的取值比較集中，則方差較?。?Var(X)=EX-E(X)2,方差,21,注意：,1)Var(X

6、)0，即方差是一個非負實數(shù)。2）當X服從某分布時，我們也稱某分布的方差為Var(X)。方差是刻劃隨機變量取值的分散程度的一個特征。,22,方差的計算公式,(1)若X為離散型，概率分布為,(2)若X為連續(xù)型，概率密度為f(x),則,則,23,方差的計算公式,常用的公式：,證明:,,24,常見隨機變量的方差,(1)參數(shù)為p的01分布,概率分布為：,前面已經(jīng)計算過：E(X)=p，又,所以,25,概率分布為：,已計算過：E(X)=np，又,所以,(2)二項分布B(n,p),26,概率分布為：,已計算過：E(X)=，又,所以,(3)泊松分布P(),27,概率密度為：,已計算過：E(X)=(a+b)/2，又,所以,(4)區(qū)間a,b上的均勻分布Ua,b,28,概率密度為：,已計算過：E(X)=1/，又,所以,(5)指數(shù)分布E(),29,,概率密度為：,已計算過：E(X)=，所以,(6)正態(tài)分布N(,2),30,例7.設,求E(Y),D(Y).,解:,,31,32,例8.已知X的密度函數(shù)為,其中A，B是常數(shù)，且E(X)=0.5.,求A，B.(2)設Y=X2,求E(Y),D(Y).,33,解:(1),,,,,34,(2),f(x)=(-6x2+6x)I(0,1),