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1、數(shù)學 練習（2009北京高考）1若正四棱柱的底面邊長為1，與底面成60角，則到底面的距離為 A B1 C D（2005北京高考）2在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論中不成立的是（ ）ABC/平面PDF BDFPAEC平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC（2010北京高考）3正方體ABCD-的棱長為2，動點E、F在棱上，動點P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DPz（x，y，z大于零），則四面體PEFQ的體積A與x，y，z都有關B與x有關，與y，z無關C與y有關，與x，z無關D與z有關，與x，y無關（2008北京高考）4如

2、圖，動點在正方體的對角線上過點作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于設，則函數(shù)的圖象大致是ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO（2011北京高考）5如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.（）求證：平面（）若求與所成角的余弦值；（）當平面與平面垂直時，求的長.證明：（）因為四邊形ABCD是菱形，所以ACBD.又因為PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.（）設ACBD=O.因為BAD=60，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系Oxyz，則P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以設PB與A

3、C所成角為，則.（）由（）知設P（0，t）（t0），則設平面PBC的法向量,則所以令則所以同理，平面PDC的法向量因為平面PCB平面PDC,所以=0，即解得所以PA=（2010北京高考）6如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求證：AF平面BDE；（）求證：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。（）略（）因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面 相互垂直，且CEAC， 所以CE平面ABCD. 如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系C-.則C（0，0，0），A（，0），B（0，0）,D(, 0, 0)，E(0, 0,

4、1)， .所以，.所以,所以,. 所以BDE.（）二面角的大小為.（2009北京高考）7如圖，在三棱錐中，底面，點，分別在棱上，且（）求證：平面；（）當為的中點時，求與平面所成的角的大?。唬ǎ┦欠翊嬖邳c使得二面角為直二面角？并說明理由。（）略（）與平面所成的角的大小.（）在棱PC上存在一點E，使得AEPC，這時，故存在點E使得二面角是直二面角.ACBP（2008北京高考）8如圖，在三棱錐中，（）求證：；（）求二面角的大小；（）求點到平面的距離（）略（）二面角的大小為（）點到平面的距離為（2007北京高考）9如圖，在中，斜邊可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角動點的斜邊上（I）求證：平

5、面平面；（II）當為的中點時，求異面直線與所成角的大?。唬↖II）求與平面所成角的最大值（I）略（II）異面直線與所成角的大小為（III）CD與平面所成角的最大值為（2006北京高考）10如圖，在底面為平行四邊表的四棱錐中，平面，且，點是的中點.（）求證：；（）求證：平面；（）求二面角的大小.（）略 （）略（）二面角的大小為（2005北京高考）11 如圖, 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，DC2，AA1，ADDC，ACBD, 垂足未E， （I）求證：BDA1C； （II）求二面角A 1BDC 1的大小； （III）求異面直線 AD與 BC 1所成角的大小（I）略（II）二面角

6、A1BDC1的大小為90（III）異面直線AD與BC1所成角的大小為OABDC（2011西城一模）12如圖，四面體的三條棱兩兩垂直，,，為四面體外一點.給出下列命題.不存在點,使四面體有三個面是直角三角形不存在點,使四面體是正三棱錐存在點,使與垂直并且相等存在無數(shù)個點,使點在四面體的外接球面上其中真命題的序號是A B C D（2011東城一模文）13空間點到平面的距離如下定義：過空間一點作平面的垂線，該點和垂足之間的距離即為該點到平面的距離平面，兩兩互相垂直，點，點到，的距離都是，點是上的動點，滿足到的距離是到到點距離的倍，則點的軌跡上的點到的距離的最小值為A BC D（2011西城一模）14

7、ABCDFE如圖, 是邊長為的正方形，平面，與平面所成角為.（）求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得平面，并證明你的結論.（）證明： 因為平面，yBCAEzDFxM所以. 2分因為是正方形，所以，從而平面. 4分（）解：因為兩兩垂直，所以建立空間直角坐標系如圖所示.因為與平面所成角為，即， 5分所以.由可知，. 6分則，所以， 7分設平面的法向量為，則，即，令，則. 8分因為平面，所以為平面的法向量，所以. 9分因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為. 10分（）解：點是線段上一個動點，設.則，因為平面，所以， 11分即，解得. 12分此時，點坐標為

8、，符合題意. 13分（2011海淀一模）15在如圖的多面體中，平面，,，是的中點() 求證：平面；() 求證：；() 求二面角的余弦值. 解：()證明：，. 又,是的中點， ， 四邊形是平行四邊形， . 2分 平面，平面， 平面. 4分() 解法1證明：平面，平面， 又，平面， 平面. 5分過作交于，則平面.平面， . 6分，四邊形平行四邊形，又，四邊形為正方形， ， 7分又平面，平面,平面. 8分平面,. 9分解法2平面，平面，平面，又,兩兩垂直. 5分以點E為坐標原點，分別為軸建立如圖的空間直角坐標系.由已知得，（0，0，2），（2，0，0），（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2）

9、，（2，2，0）. 6分，7分, 8分. 9分()由已知得是平面的法向量. 10分設平面的法向量為，即，令,得. 12分設二面角的大小為，則， 13分二面角的余弦值為 14分（2011海淀二模）15在一個正方體中，為正方形四邊上的動點，為底面正方形的中心，分別為中點，點為平面內一點，線段與互相平分，則滿足的實數(shù)的值有 A0個 B1個 C2個 D3個（2011海淀二模）16如圖，四棱錐的底面是直角梯形，和是兩個邊長為的正三角形，為的中點，為的中點 ()求證：平面； ()求證：平面； ()求直線與平面所成角的正弦值（）證明：設為的中點，連接，則，F(xiàn)四邊形為正方形，為的中點，為的交點， ， .2分，

10、在三角形中，4分，平面； 5分()方法1：連接，為的中點，為中點，平面，平面，平面. 9分F方法2：由()知平面，又，所以過分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知得：，則，.平面，平面，平面； 9分() 設平面的法向量為，直線與平面所成角，則，即，解得，令，則平面的一個法向量為，又則，直線與平面所成角的正弦值為. （2011西城二模）17如圖，已知菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，使，得到三棱錐.（）若點是棱的中點，求證:平面；（）求二面角的余弦值；M（）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得，并證明你的結論.（）證明：因為點是菱形的對角線的交點，所以是

11、的中點.又點是棱的中點，所以是的中位線，. 1分因為平面,平面,ABCODxyzM所以平面. 3分（）解：由題意，因為，所以，. 4分又因為菱形，所以，.建立空間直角坐標系，如圖所示.所以 6分設平面的法向量為，則有即：令，則，所以. 7分因為,所以平面. 平面的法向量與平行，所以平面的法向量為. 8分，因為二面角是銳角，所以二面角的余弦值為. 9分（）解：因為是線段上一個動點，設，則，所以， 10分則，由得，即，11分解得或， 12分所以點的坐標為或. 13分（也可以答是線段的三等分點，或）（2010海淀一模）18如圖，三棱柱中，側面底面，,且,O為中點.（）證明：平面；（）求直線與平面所成

12、角的正弦值；（）在上是否存在一點，使得平面，若不存在，說明理由；若存在，確定點的位置.解：（）證明：因為，且O為AC的中點， 所以.1分 又由題意可知，平面平面，交線為，且平面， 所以平面.4分（）如圖，以O為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.由題意可知，又所以得:則有： 6分 設平面的一個法向量為，則有 ，令，得 所以. 7分 . 9分 因為直線與平面所成角和向量與所成銳角互余，所以. 10分（）設 11分即，得所以得 12分 令平面，得 ， 13分 即得即存在這樣的點E，E為的中點. 14分（2009海淀一模）19如圖，在Rt中，點、分別在線段、上，且，將沿折起到的位置，

13、使得二面角的大小為. （）求證：； （）當點為線段的中點時，求與平面所成角的大?。?（）求四棱錐體積的最大值. （）證明：在Rt中，. 又， 平面. 2分 又平面，. 4分（）解法一：過點作交于，連結.平面，平面，.，平面.是在平面內的射影. 是與平面所成的角. 6分點為線段的中點， .，是二面角的平面角. 8分二面角的大小為，.在Rt中，.在Rt中，.在Rt中，.與平面所成角的大小為. 9分解法二：如圖，以為原點建立空間直角坐標系點為線段的中點， .，是二面角的平面角.二面角的大小為，. 6分可得，.則，且平面的法向量n.與平面所成角的大小為. 9分（）設，則.同（）可求得.在等腰直角三角形

14、中，. . 11分 設，則，由得.當時，單調遞增；當時，單調遞減.當時，四棱錐體積取最大值為.14分（2009海淀二模）19在棱長均為2的正四棱錐中，點為的中點，則下列命題正確的是 （ ）A平面，且到平面的距離為B平面，且到平面的距離為C與平面不平行，且與平面所成的角大于 D與平面不平行，且與平面所成的角小于（2009西城二模）20如圖，在直三棱柱中，D是AA1的中點.() 求異面直線與所成角的大小；() 求二面角C-B1D-B的大??； C B C1 B1 A A1 D() 在B1C上是否存在一點E，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.方法一：（）解：如圖，設F為BB1的中點，

15、連接AF，CF，C G BC1 B1 A A1 D E F 直三棱柱，且D是AA1的中點， ， 為異面直線與所成的角或其補角. -2分 在Rt中，AB=1，BF=1， ，同理， 在中， 在中， 異面直線與所成的角為. -4分（）解：直三棱柱， 又，平面. -5分如圖，連接BD，在中，即，是CD在平面內的射影，為二面角C-B1D-B的平面角. -7分在中, , BC=1, ，,二面角C-B1D-B的大小為. -9分（）答：在B1C上存在一點E，使得平面，此時.-10分以下給出證明過程.證明：如圖，設E為B1C的中點，G為BC的中點，連接EG，AG，ED， 在中， ，且， 又，且， ， 四邊形為平

16、行四邊形， ， -12分 又平面ABC，平面ABC， 平面. -14分 方法二：（）如圖，以B為原點，BC、BA、BB1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系O-xyz， 則， , -2分，異面直線與所成的角為. -4分 C B C1 B1 A A1 Dxy z E G（）解：直三棱柱， 又，平面. -5分 如圖，連接BD，在中，即，是CD在平面內的射影， 為二面角C-B1D-B的平面角. -7分， 二面角C-B1D-B的大小為. -9分（）同方法一. -14分（2010西城一模）21如圖，平面平面，直線，是內不同的兩點,是內不同的兩點，且直線, 分別是線段的中點. 下列判斷正確的是A當lBA

17、CDMN時，兩點不可能重合B兩點可能重合，但此時直線與直線不可能相交C當與相交，直線平行于時，直線可以與相交D當是異面直線時，可能與平行ABCDEP（2010西城一模）22在四棱錐中，側面底面，為中點，底面是直角梯形，.（）求證：平面； （）求證：平面；（）設為側棱上一點，試確定的值，使得二面角為.解：（）取的中點，連結，因為為中點，所以，且，在梯形中，所以，四邊形為平行四邊形，所以， 2分平面，平面，所以平面. 4分（）平面底面，所以平面，所以.5分ABCDEPyxzQF如圖，以為原點建立空間直角坐標系.則6分，所以，8分又由平面，可得，所以平面.9分（）平面的法向量為，10分，所以，11分

18、設平面的法向量為，由，得所以，所以，12分所以，13分注意到，得. 14分 （2012海淀高三期末）23在四棱錐中，底面是直角梯形，平面平面.（）求證：平面； （）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；（）在棱上是否存在點使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由. （）證明：因為 ，所以 . 1分因為 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 3分（）解：取的中點，連接.因為， 所以 .因為 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 4分如圖，以為原點，所在的直線為軸，在平面內過垂直于的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標系不妨設.由直角梯形中可得，.所以 ，.設平面的法向量.因為 所以

19、 即令，則.所以 . 7分取平面的一個法向量n.所以 .所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小為. 9分（）解：在棱上存在點使得平面，此時. 理由如下： 10分取的中點，連接，.則 ，.因為 ，所以 .因為 ，所以 四邊形是平行四邊形.所以 .因為 ，所以 平面平面. 13分因為 平面，所以 平面. 14分1D2C3D4B12D13D15C19D21B（2012西城高三期末）24如圖，在直三棱柱中，是的中點（）求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）試問線段上是否存在點，使與成 角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由 （）證明：連結，交于點，連結.由 是直三棱柱，得 四邊形為矩形，為的中點.又為中點，所以為中位線，所以 ， 2分因為 平面，平面， 所以 平面. 4分（）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標系. 5分設，則.所以 ， 設平面的法向量為，則有所以 取，得. 7分易知平面的法向量為. 8分由二面角是銳角，得 . 9分所以二面角的余弦值為.（）解：假設存在滿足條件的點.因為在線段上，故可設，其中.所以 ，. 11分因為與成角，所以. 12分即，解得，舍去. 13分所以當點為線段中點時，與成角. 14分第 27頁，共27頁