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1、9.8直線與圓錐曲線,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 (1)從幾何角度看,可分為三類:沒有公共點,僅有一個公共點及有兩個不同的公共點. (2)從代數(shù)角度看,可通過將表示直線的方程代入圓錐曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來判斷.設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0,圓錐曲線方程為f(x,y)=0.,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,如消去y后得ax2+bx+c=0. 若a=0,當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時,直線l與雙曲線的漸近線平行;當(dāng)圓錐曲線是拋物線時,直線l與拋物線的對稱軸平行(或重合). 若a0,設(shè)=b2-4ac. 當(dāng)0時,直線和圓錐曲線相交于不同的兩點;

2、 當(dāng)0時,直線和圓錐曲線相切于一點; 當(dāng)0時,直線和圓錐曲線沒有公共點.,=,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,2.直線與圓錐曲線相交時的弦長問題 (1)斜率為k(k不為0)的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),則所得弦長|P1P2|=或 |P1P2|=. (2)當(dāng)斜率k不存在時,可求出交點坐標(biāo),直接運(yùn)算(利用兩點間的距離公式).,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,4.常用結(jié)論 (1)過橢圓外一點總有兩條直線與橢圓相切. (2)過橢圓上一點有且僅有一條直線與橢圓相切. (3)過橢圓內(nèi)一點的直線均與橢圓相交. (4)過雙曲線外不在

3、漸近線上一點總有四條直線與雙曲線有且只有一個交點,分別是兩條切線和兩條與漸近線平行的直線. (5)過雙曲線上一點總有三條直線與雙曲線有且只有一個交點,分別是一條切線和兩條與漸近線平行的直線. (6)過雙曲線內(nèi)一點總有兩條直線與雙曲線有且只有一個交點,分別是兩條與漸近線平行的直線.,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,(7)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點,分別是兩條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線. (8)過拋物線上一點總有兩條直線與拋物線有且只有一個公共點,分別是一條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線. (9)過拋物線內(nèi)一點只有一條直線與拋物線有且只有一個公共點,該直線

4、是一條與對稱軸平行或重合的直線.,2,知識梳理,雙基自測,3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“”. (1)直線l與橢圓C相切的充要條件是:直線l與橢圓C只有一個公共點.() (2)直線l與雙曲線C相切的充要條件是:直線l與雙曲線C只有一個公共點.() (3)直線l與拋物線C相切的充要條件是:直線l與拋物線C只有一個公共點.() (4)如果直線x=ty+a與圓錐曲線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則弦長 () (5)若拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的兩點,則需滿足直線l與拋物線C的方程聯(lián)立消元得到的一元二次方程的判別式0.(),答案,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1

5、,5,2.過點(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點,這樣的直線有() A.1條B.2條C.3條D.4條,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,3.已知拋物線y2=2px(p0)的焦點為圓x2+y2-6x=0的圓心,過圓心且斜率為2的直線l與拋物線相交于M,N兩點,則|MN|=() A.30B.25C.20D.15,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,自測點評 1.弦長公式使用時要注意直線的斜率情況,對于斜率不存在的直線要單獨處理,對于拋物線中的

6、過焦點的弦要使用其特定的公式. 2.直線與雙曲線或與拋物線的交點問題比直線與橢圓的交點問題更為復(fù)雜,除了利用方程分析,還可以結(jié)合圖象更為直觀.,考點1,考點2,考點3,考點4,例1(2018河南鄭州一模)已知圓C:x2+y2+2x-2y+1=0和拋物線E:y2=2px(p0),圓心C到拋物線焦點F的距離為 . (1)求拋物線E的方程; (2)不過原點的動直線l交拋物線于A,B兩點,且滿足OAOB.設(shè)點M為圓C上任意一動點,求當(dāng)動點M到直線l的距離最大時的直線l的方程. 思考如何靈活應(yīng)用直線與圓錐曲線位置關(guān)系?,考點1,考點2,考點3,考點4,解:(1)C:x2+y2+2x-2y+1=0可化為(

7、x+1)2+(y-1)2=1, 則圓心C為(-1,1).,拋物線的方程為y2=12x.,考點1,考點2,考點3,考點4,(2)設(shè)直線l的方程為x=my+t(t0),A(x1,y1),B(x2,y2). 與拋物線方程聯(lián)立可得y2-12my-12t=0. y1+y2=12m,y1y2=-12t, OAOB,x1x2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0. 整理可得t2-12t=0,t0,t=12. 直線l的方程為x=my+12,故直線l過定點P(12,0). 當(dāng)CPl,且MP經(jīng)過圓心C(-1,1)時,M到動直線l的距離取得最大值.,考點1,考點2,考點3,考點4,解題

8、心得直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法: 用直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組的解的個數(shù),可以研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,即用代數(shù)法研究幾何問題,這是解析幾何的重要思想方法.直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點問題,實際上是研究方程組解的個數(shù)問題.,考點1,考點2,考點3,考點4,(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若過點P(2,1)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點M,求直線l的方程和點M的坐標(biāo).,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,思考如何求圓錐曲線的弦長?,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,考向二中

9、點弦問題 思考解中點弦問題常用的求解方法是什么?,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得1.求弦長的方法及特殊情況: (1)求弦長時可利用弦長公式,根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和、兩根之積的代數(shù)式,然后進(jìn)行整體代入弦長公式求解. (2)注意兩種特殊情況:直線與圓錐曲線的對稱軸平行或垂直;直線過圓錐曲線的焦點.,考點1,考點2,考點3,考點4,2.處理中點弦問題常用的求解方法: (1)點差法:即設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1+x2,y1+y2, 三個未知量,這樣就直接聯(lián)系

10、了中點和直線的斜率,借用中點公式即可求得斜率. (2)根與系數(shù)的關(guān)系:即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,考向一定點問題,(1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)橢圓E的右頂點為A,不過點A的直線l與橢圓E相交于P,Q兩點,若以PQ為直徑的圓經(jīng)過點A,求證:直線l過定點,并求出該定點坐標(biāo). 思考如何解決直線過定點問題?,考點1,考點2,考點3,考點4,(2)證明:由(1

11、)得A(2,0). 設(shè)直線l的方程為my+t=x,P(x1,y1),Q(x2,y2).,考點1,考點2,考點3,考點4,(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, 即(my1+t-2)(my2+t-2)+y1y2=0, 化為(m2+1)y1y2+(mt-2m)(y1+y2)+(t-2)2=0,考點1,考點2,考點3,考點4,考向二定值問題 例5 如圖,已知拋物線C:x2=4y,過點M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點,過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D(O為坐標(biāo)原點). (1)證明:動點D在定直線上; (2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y=2相交于點N1,與(1)中的定直

12、線相交于點N2.證明:|MN2|2-|MN1|2為定值,并求此定值. 思考求圓錐曲線中定值問題常見的方法有哪些?,考點1,考點2,考點3,考點4,證明 (1)依題意可設(shè)直線AB的方程為y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2), 即x2-4kx-8=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1x2=-8, 因此動點D在定直線y=-2(x0)上.,考點1,考點2,考點3,考點4,(2)依題設(shè),切線l的斜率存在且不等于0,設(shè)切線l的方程為y=ax+b(a0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0, 由=0得(4a)2+16b=0,化簡整理得b=-a2.

13、故切線l的方程可寫為y=ax-a2. 即|MN2|2-|MN1|2為定值8.,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得1.求定值問題常見的兩種方法 (1)從特殊情況入手,求出定值,再證明這個值與變量無關(guān). (2)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值. 2.定點的探索與證明問題 (1)假設(shè)定點坐標(biāo),根據(jù)題意選擇參數(shù),建立一個直線系或曲線系方程,而該方程與參數(shù)無關(guān),故得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組,以這個方程的解為坐標(biāo)的點即所求定點; (2)從特殊情況入手,先探求定點,再證明與變量無關(guān).,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓(xùn)練3已知橢圓C: (ab0)的左、右焦點分別為F1,

14、F2,過F2的直線l交橢圓于A,B兩點,ABF1的周長為8,且AF1F2的面積最大時,AF1F2為正三角形. (1)求橢圓C的方程;,考點1,考點2,考點3,考點4,(1)解:由已知A,B在橢圓上,可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,又ABF1的周長為8, 所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8,即a=2. 由橢圓的對稱性可得,AF1F2為正三角形當(dāng)且僅當(dāng)A為橢圓短軸頂點,則a=2c,即c=1,b2=a2-c2=3,考點1,考點2,考點3,考點4,(2)證明:若直線l的斜率不存在,即l:x=1,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,

15、考點4,(1)求E的方程; (2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點,當(dāng)OPQ的面積最大時,求l的方程. 思考圓錐曲線中最值問題的解法有哪些?,考點1,考點2,考點3,考點4,(2)當(dāng)lx軸時不合題意, 故設(shè)l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得圓錐曲線中常見的最值問題及其解法 (1)兩類最值問題:涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題;求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關(guān)的一些問題. (2)兩種常見解法:幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決;代數(shù)法,若題目的條

16、件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值,最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解.,考點1,考點2,考點3,考點4,(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;,考點1,考點2,考點3,考點4,(2)根據(jù)已知,得M(0,m),設(shè)A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),考點1,考點2,考點3,考點4,解得-2m-1或1m2. 綜上所述,實數(shù)m的取值范圍為(-2,-1)(1,2).,考點1,考點2,考點3,考點4,1.涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷有兩種方法: (1)代數(shù)法,即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,組成方程組,通過方程組的解來解決; (2)幾何法,即利用數(shù)形結(jié)合思

17、想并找出關(guān)鍵點或關(guān)鍵線. 2.弦長問題 (1)弦長公式: 設(shè)直線與圓錐曲線相交于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點,則可結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到如下弦長公式:,考點1,考點2,考點3,考點4,(2)弦的中點問題的解決有點差法、設(shè)而不求法. 1.直線與橢圓有且只有一個交點,則直線與橢圓相切;直線與雙曲線或直線與拋物線有且只有一個交點,則直線與雙曲線或直線與拋物線不一定相切. 2.利用圓錐曲線中的弦長公式時要注意直線斜率情況,還要注意在拋物線中的焦點弦及其特殊的結(jié)論.,審題答題指導(dǎo)圓錐曲線中的綜合性問題,(1)求橢圓的離心率; (2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點,以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1,經(jīng)過點F2的直線l與該圓相切于點M,|MF2|=2 ,求橢圓的方程.,