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1、高考大題增分專項四高考中的立體幾何,從近五年的高考試題來看,立體幾何是歷年高考的重點,約占整個試卷的15%,通常以一大兩小的模式命題,以中、低檔難度為主.三視圖、簡單幾何體的表面積與體積、點、線、面位置關系的判定與證明以及空間角的計算是考查的重點內容,前者多以客觀題的形式命題,后者主要以解答題的形式加以考查.著重考查推理論證能力和空間想象能力,而且對數學運算的要求有加強的趨勢.轉化與化歸思想貫穿整個立體幾何的始終.,題型一,題型二,題型三,線線、線面平行或垂直的轉化 1.在解決線線平行、線面平行問題時,若題目中已出現了中點,可考慮在圖形中再取中點,構成中位線進行證明. 2.要證線面平行,先在平

2、面內找一條直線與已知直線平行,或找一個經過已知直線與已知平面相交的平面,找出交線,證明二線平行. 3.要證線線平行,可考慮公理4或轉化為線面平行. 4.要證線面垂直可轉化為證明線線垂直,應用線面垂直的判定定理與性質定理進行轉化.,題型一,題型二,題型三,例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90. (1)證明:直線BC平面PAD;,題型一,題型二,題型三,(1)證明:在平面ABCD內,因為BAD=ABC=90,所以BCAD. 又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD. (2)解:取AD的中點M,連接PM,CM

3、. 由AB=BC= AD及BCAD,ABC=90 得四邊形ABCM為正方形,則CMAD. 因為側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD, 所以PMAD,PM底面ABCD. 因為CM底面ABCD,所以PMCM.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,對點訓練1如圖,在四面體ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD. (1)證明:ACBD; (2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E為棱BD上與D不重合的點,且AEEC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.,題型一,題型二,題型三,(1)證明:取AC的中點O,連接DO,BO. 因為AD=CD,所以

4、ACDO. 又因為ABC是正三角形, 所以ACBO. 從而AC平面DOB,故ACBD. (2)解:連接EO. 由(1)及題設知ADC=90,所以DO=AO. 在RtAOB中,BO2+AO2=AB2. 又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2, 故DOB=90.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,1.判定面面平行的四個方法: (1)利用定義:即判斷兩個平面沒有公共點. (2)利用面面平行的判定定理. (3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行. (4)利用平面平行的傳遞性,即兩個平面同時平行于第三個平面,則這兩個平面平行. 2.面面垂直的證明方法: (1)用面

5、面垂直的判定定理,即證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線. (2)用面面垂直的定義,即證明兩個平面所成的二面角是直二面角.,題型一,題型二,題型三,3.從解題方法上說,由于線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)之間可以相互轉化,因此整個解題過程始終沿著線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)的轉化途徑進行.,題型一,題型二,題型三,例2如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED平面ABCD,EFAB,AB=2,BC=EF=1,AE= ,DE=3,BAD=60,G為BC的中點. (1)求證:FG平面BED; (2)求證:平面BED平面AED; (3)求直線EF與平

6、面BED所成角的正弦值.,題型一,題型二,題型三,(1)證明:取BD的中點O, 連接OE,OG. 在BCD中,因為G是BC中點, 所以OGDC且OG= DC=1. 又因為EFAB,ABDC, 所以EFOG且EF=OG, 即四邊形OGFE是平行四邊形, 所以FGOE. 又FG平面BED,OE平面BED, 所以FG平面BED.,題型一,題型二,題型三,(2)證明:在ABD中,AD=1,AB=2,BAD=60, 由余弦定理可得BD= , 進而ADB=90,即BDAD. 又因為平面AED平面ABCD,BD平面ABCD,平面AED平面ABCD=AD,所以BD平面AED. 又因為BD平面BED,所以,平面

7、BED平面AED.,題型一,題型二,題型三,(3)解:因為EFAB,所以直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所成的角. 過點A作AHDE于點H,連接BH. 又平面BED平面AED=ED,由(2)知AH平面BED. 所以直線AB與平面BED所成的角即為ABH.,題型一,題型二,題型三,對點訓練2 如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90. (1)證明:平面PAB平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱錐P-ABCD的體積為 ,求該四棱錐的側面積.,題型一,題型二,題型三,(1)證明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.

8、 由于ABCD,故ABPD,從而AB平面PAD. 又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD. (2)解:在平面PAD內作PEAD,垂足為E. 由(1)知,AB平面PAD,故ABPE, 可得PE平面ABCD.,題型一,題型二,題型三,1.對命題條件的探索三種途徑: (1)先猜后證,即先觀察與嘗試給出條件再證明; (2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件,再證明充分性; (3)將幾何問題轉化為代數問題,探索出命題成立的條件. 2.對命題結論的探索方法: 從條件出發(fā),探索出要求的結論是什么,對于探索結論是否存在,求解時常假設結論存在,再尋找與條件相容或者矛盾的結論.,題型一,題型二,題型

9、三,例3(2018全國,文19)如圖,矩形ABCD所在平面與半圓弧,(1)證明:平面AMD平面BMC; (2)在線段AM上是否存在點P,使得MC平面PBD?說明理由.,題型一,題型二,題型三,(1)證明:由題設知,平面CMD平面ABCD,交線為CD. 因為BCCD,BC平面ABCD, 所以BC平面CMD,故BCDM.,所以DMCM. 又BCCM=C,所以DM平面BMC. 而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC. (2)解:當P為AM的中點時,MC平面PBD. 證明如下:連接AC交BD于O. 因為ABCD為矩形,所以O為AC中點. 連接OP,因為P為AM中點,所以MCOP. MC平面PBD,O

10、P平面PBD, 所以MC平面PBD.,題型一,題型二,題型三,對點訓練3如圖,直角梯形ABCD中,ABCD,ADAB,CD=2AB=4,AD= ,E為CD的中點,將BCE沿BE折起,使得CODE,其中,點O在線段DE內. (1)求證:CO平面ABED. (2)問:當CEO(記為)多大時,三棱錐C-AOE的體積最大?最大值為多少?,題型一,題型二,題型三,(1)證明:在直角梯形ABCD中,CD=2AB,E為CD的中點,則AB=DE. 又ABDE,ADAB,知BECD. 在四棱錐C-ABED中,BEDE,BECE,CEDE=E,CE,DE平面CDE,則BE平面CDE. 因為CO平面CDE,所以BECO. 又CODE,且BE,DE是平面ABED內兩條相交直線,故CO平面ABED.,題型一,題型二,題型三,(2)解:由(1)知CO平面ABED,1.三種平行關系的轉化方向,如圖所示:,2.注重空間直線與平面垂直的相互轉化.,3.線面、線線垂直與平行的位置關系在面面平行與垂直位置關系的證明中起著承上啟下的橋梁作用,依據線面、面面位置關系的判定定理與性質定理進行轉化是解決這類問題的關鍵.證明面面平行主要依據判定定理,證明面面垂直時,關鍵是從現有直線中找一條直線與其中一個平面垂直,若圖中不存在這樣的直線,則應借助添加中線、高線等方法解決.,